Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 133
Текст из файла (страница 133)
Ь=О число таких сочетаний равно коэффициенту ль = (") перечисляющей пр наводящей функции (знумератора) Более общая модель описывает сочетания с повторениями. Если какой- либо объект А! может повторяться О, г,, гж ... или г раз, то в выражении 7 для Е (э) множитель !+А)з следует заменить на 1-(-А.'8 1-1-...-(-А рэ О! Со- 1 ''' ! ответственно, в выражении для г"'в (з) один множитель 1+8 заменяется на 1+э !+...+э О. Если повторяются и другие объекты, то подобным жс образом заменяются другие множители. Если каждый из объектов может повторяться любое число раз, то и со р (8)=(1-1 8.1 зз 1 )а ( 1 ) ~~ п~л+й — 1) ь Ь=-О Если при этои ка)кдый из л объектов дол)кон встретиться хоть один раз, (Ь) Число размещений нз л различных объектов по А без повторений равно коэффициенту Ьь перечисляющей производящей функции Если один из обьсктов мо)кет повтоРЯтьсЯ О, г, гв, ...
или г Раз, то 1 а б,(э)= 1+-- + ...+ — — !(1+8)а г! Если допустимо любое число повторений каждого объекта, то Р (8)=(1 1.8 1' 1...)"=нас, Если при этом каждый из л объектов должен встретиться хоть один раз, ба(з)=(8+,— ', +") =(е'-1)" (с) Теорема Пойа о подсчете. Пусть конечное множество Р состоит из л элементов (точек) р и с каждой точкой р сопоставлен определенный элемент (ооьект) г' из другого конечного множества 7(; при эюм с несколькими 878 тл щ теория Вероятностеп и случлпные процессы 18 8-1. 188.
ГПШ!ПЛЛШ1ЫЕ РЛСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТПОСТЕП 571 разными точками р может быть сопоставлен один и тот же объект !'. Это отобрл жение 0 в )7 можно представить в виде конфигурации (схемы) (ри .. - ) 7)йзеглгим)дхи удг (7 «1 7) 78 )7 )'3 ° 74 Р4 ° 78 уг )Гввригурйимг Рг 2) ~3 'кйнр)игирпиил 2 уз ц4 78 Рна 18,7-1. два прнмерз ханфз«ррлчый. конфкгурзцня у получена нз нонфнгтраднн! перестановка точек р, н й р, Две такие нанфнгурацнн могут быть эквнвзлентныыя прн ныостн в х соответствующем соглашевнн о снмметрнн точек множества П н нерззлнч д у (нлн более) свмволов в М (тля прнмсрз 7, н 1,).
Пусть 6 — группа подстановок (перестановок) элементов множества Р (п. 12.2-8). Две конфигурации С, н Сз называются эквивалентными ло атноению к группе 6, если некоторая йерестаноака в 0 переводит С, в С,; эквивалентные конфигурации обязательно содержат одни и те же обьект ы. Каждая перестановка Р из 0 разбивает точки р на определенные под.
множества (циклы) так, что в каждом подмножестве перестановка будет циклической (п. !2.2-8). Обозначим через Ьй число таких циклов длины й для некоторол перестановки (Ьт+2Ь1-1-...+пЬ„=п). Тогда Чиклический индекс 2О группы 6 определяется как миогочлсн ъ-! ап (81 зэ " ан)= ~и гь ь ь 1 а" н Рып где д — общее число перестановок в 0 (т. е. порядок группы 6), пь ьа... ь„— число перестановок, содержащих Ьз циклов длины 1, Ье циклов длины 2, ... ..., Ьн циклов длины и (сумма берется по всем перестановкам Р из О). С оставим далее с ка)кдым объектом [ из )7 неотрицательное целое числом (зес объекта) и обозначим через иы число различных объектов ! веса и.
Ве ох . Вс комфинррииий назовем сумму' весов входящих в нее объектов, Обозначим через Ал число неэквивалентных конфигураций деса ш. Те о рема Пой а. Произеодящиз Функ((ии со и(8)= ~П~ иызы и А (з)= '~ Ая,эы ы=о и О числом объентов и (Ц= ~ ! им соотношением ге=о А (Ц=г [и(Ц, и(Ц, ..., и(Ц[. Теорема может быть збобщена на случай, когда объекты ! н конфнгурвцнк харак' теряаукжся двумя нлн более весами [18.(О!. озюаны соа!лношением А (8) = Еп [и (з), и (зя) и (зл)[ В частности, об!цее число конфигураций А (Ц= ~П ~Аы связано с общшй ш=о 18.7-4.
.'задачи с дискретным распределением вероятностей: успехи и неудз !"и в составляющих кспытаннях. Часто рассматрив, ются такие составля!о!цне !!спытаиин, которые допускают тол~ко два возмов(ных исхода («успеха и «неудзчаэ). Вероя !ности различных сложных событий при этом могуг бь1ть подсчитаны методами пп. 18.2-2 — 18.2-6 через вероятности Оы 81, .
успехов в нервом, шогоч, ... составляющих испытаниях. Пля прнмснсзня ь етадан пп !8.8-8 — 18.5-8 следует связать с й-ч са«ыи лзющны нспьн,:енсы дискретную случайную велнчнву х! са спсьтральнымн зп:шшня;н ! н О. соатсетстеую -нян сабытняы «успех» п «неудача»; для этан еелнчнны змеем; 'тХа (1) =Ой ЛХа ОП =1 Ой (18 7 З) Охй =О„(! — Ой), (18 7-1) (Ч) == (1 — О!) -) Ойе В, М (Э) = (1 — Оа! +ОйЕЗ, Т (З) =- (1 — бй) -! Ойэ. (18 7 5) Усае: н г двух нлг более незазисылых нспытаннях будут по опредалснню неззвпснмы".з собыгнямн (и.
(ал-!) повторные незазнсв пзе испытан я, наждое из которых имеет::и:пь дса зоэчояпыт а«хада, называются нспытаннямн по схеме Бернуллн (О,=- =О, = .. =О). Вероятность налвлення таяна х=я,-)-х, -)- ... -1-хл успеха» в л нспы танин' по схеме Бернулли дается бнномпальнмм рзспределенаем (табл.
18 8-3) 18.8. СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 18.8-!. Дискретные одномерные распределения вероятностей. Таблицы 18 8-1 — 18.8-7 описывают некоторые дискретные одномерные распределения, представляющие интерес в связи с выборочными обследованиями, теорией Т зб ля ца 18,8-! Вырожденное (причинное) распределение (см. так)ке табл. 18.8-1 Ц Таблица 1882 Гипергеометрическое распределение лМ лМ (Л' — М)! ! з — 1 Ы Мэ.
= — — =- лб; Ох = 'М ' М ( М вЂ” 1,)= 1 — — ') =лб(1 — О) (!в М вЂ” 1). (с) Типичное толкование. р (х) есть вероятяоась того, что случайная беслазтарлал выборка объема л (о. 19 8-8) содержит точно х элементов типа 1, если эта выборки пронзваднтся нз генеральной савокупыостн М элементов, сРеди наторых М, =- ОМ элементов принадлежат типу 1. (4) Пряблвжелня. Если М со, в та время как л н О = М„'М остаются фнксн. рованнымн, то гнпергеонетрнчсскае распределенне стремится к билолыахьналз раслределенпю (табл. 18.8-8; бесповторпые выбаркн мало отлпчаются от повторных ныборон, если отвашенне л)М мало). Лппрокснмапня бнномнальнын распределеннем прнь~езнма, еслв л(М < 0,1. е(".: ') (з) р (х) = 7 М ) '(л ! (х=0,1,2.„.,тмлОММ«=ОМО), Б72 Т а б л н ц а 18.8.3 щлодолксеиис) Бннемнальное распределение (рнс.
18.8-И см. также и. 18.7-3) х — — — 1( 1 р(х) йг5 И '! г д дха ! г дм а) Ь) д) с=б Гл. 18. теОРия ВеРОятнОстеЙ и слунА!тныБ пропГГГы !8.8-!. Тлблнца !883 5, Ркс. 18 8.1, Бнномкалькое распределение: и) л = 4, 6 = О 4; Ы л = 3, 6 О 8; с) л = 16, б = 9?! л! — нада.
ОО л ( > = ("1 бк (! — 6)л " (к = а. 1, 2, ..., л; 6 < 6 < И ',«7 Всрояслласте р !х) имеет ьаиболыиее значение, когда х риеся целой чисти числ (л 1- 1! 6 (есл» ето екало к~~~а, то р 1(л+ И 61 == у Пл + !) 6 — 1В. Пли 6 > + 1 лсследолательиость р (0), р (1), р (2), ... монотонно аозрастаст, лри 6 < — они лсонотолно у м но бывает, а остальлык случаях биномиилььос раснлщслсиис одномодально (ркс. И.з-)). Заметим также, что ?т т( тч 'л) /сл, б .лз (,'7' ( ) '!6(,2' 2 ) ! б'и'(ты т„)1 †.г (.!) С та= 2 !К-)- 1), те = 2 (Л «) (СМ, ПП. !9.5-3 Я 2!.4-5), л (Ь) Ых= лб, Ох=по (1 6), Ч Вд =- (ба+ 1 — 6) и, =.=лб-1-л (л — И б', п,=л (л — 1) (л — 2) б' — , 'Зл (л — 1) 6*+ лб, И = иб П вЂ” б) (1 — 26), М =лб (! — 6) [1+3 ( — 2! 6 !! — 6П, 1 — 26 1 — 66 (1 — 6) Ъ= .
Чэ= у а!6 (! — Ги лб (! — 6) (с) Типичное толаоаанае. р (х) есть: 1) «ероятпость тою, что лоан!орнал случайная аыборна объема л (и. 19Л-5) содержит точно к элементоа типа 1, если генеральная соаокупяость объема Л) содержит бы элементов типа и 2) аераятлость паяалекня событня точно х раэ и л кеэзаяслмых нспытаккях па схеме Бернулли (и. !8.7-3! прк условия, что аероятпость сабмткя я каждан яспытзннк ранка 6. 18.8-2. 188. СПЕПИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТ!4ОСТЕЙ 873 М) прпблнжеккя. Бкномяальное распределенне прн л со «аляется аснмптотнче«кн нормальным с центром лб = 1 я дясперсней лб Π— 6) = и' (лр дельная тсолеми Л1уизра — Лиллиси, частный случай центральной предельной теоремы, и 18.6-5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
