Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 136
Текст из файла (страница 136)
Функцак (2), вообще говоря, уже ке будут скмметркчвммк относительно перестановке иар Х ., 11 к Х(, 1Ы отделенных зертекахьвьй чертОЙ. (с) Многомерный случайный процесс, порождаемый, например, парой функ- ций х(1), у(1), опречеляется подобным же образом с помощью совместных распределений выборочных значений х (1;), у (1й). В частности, Фз(Х(, (1', уз, (,)=Р(х((1) (Хг, у((з) ()гз). (18 9-3) 18,9-3. Средние по множеству наблюдений. Корреляционные функции. (а) Общие оп ределен и я. Для функции /[х((1), ..., х((„)[ от и вь:барочных значений х ((1), ..., х ((„) (са)тпистик, см. и, 19.1-1) формула М/= — М/[Х ((1), ..., Х((„)[ьм /(Х1 " ° Хх) йФ(лг 'Х( (1! " ' Х» (и) ()В 9.4) определяет среднее по множеству наблюдений (предполагается, что стоящий справа интеграл сходнтсн абсолютно). В форыуле (4) интегрирование произао- днтся по Хм ..., Х„) М/ есть функция от 1м Аналогично для многомерного процесса, описываемого функциями х(1), у((), М / [х (( ), у (( )' х ((з), у ((4)' " 1 = /(Хт, 1',; Хз, 1'4! „,) йФ (Хт, (1; уз, (,; Хз, 18', )х4, 141 ...).
(18.9.5) (Ь) Корреляционные функции. Особый интерес представляют средине Мх(О=$(О, Мхз(() н корреляционные функции! автокорреляцнонная функция )(х„(1„1,) = М [х (1,) х (1,)[ (18.9.6а) ы.з, теория случйиныд процессов 68? 19.9-9. 686 гл. )з. теория вероятностеи и случйиные процессы 19.9-9, (!8.9-7) (18.9-9) (!8.9-10) ц.т»(С С)=М !х(С) ' ~ йкр((1, С,) [9~М (х((1) (зМ !У(гз) !' причем из существования математических ожиданий в правой части вытекает существо!!анне корреляционных функций в левой части. (с) Характеристические функции.
пмерная характеристическая функция, соответствующая функция распределения и-го порядка для случайного процесса, есть (см. также и. 18.4-10) л )(слс(41, Сй дт С,; ..., рю Сл)=Мехр~( ~, 'цьх((ь) . (18.9-!1) Ь=) Аналогично определяется совместная характерястическая функция для х (С), у(С), ... Дифференцирование характеристических функций позволяет находить моменты Мх (11], Мх" (11), Ккк (Сг, 1,)..., так же как в пп. !8.3-10 и 18.4.10, 18.9-4.)( Йнтегрироваиие и дифференцирование случайных функций.
(а) пусть х(с) — случайная функция, а/(с)-заданная не случайная функция, Интеграл Ь у=За(с) к(с)йс (!8.9-19) и взанммаи кврреляцнонная функция Ккр (С(, 11)=М [»(1,) У(С,)[. (18.9-6Ь) Они выражают важнейшие свойства случайного процесса и часто представ. лают все, что известно о данном процессе; заметим, что Мх (С) = ркк (С, С)! 1)х (С) = Якк (К С) — Б (С)[з, соу [к (1,), у (1,) [ = К „(Сы 1,) — й ((1) т) (С,), где т) (Ст) =Му((з). формулы (189-6) и (!89-7) относятся только к дсйсспеи- шельнмм случаййым процессам. )(3 а и е ч а н н е.
Но многих руководствах веедепные функции я и я называгот с лзгяпиачстлиыми. Автокорреляцвонная фувкцн» вводится соотиотеннеы ( .,) = Ы [к (1!)к (11)[, где к (1) к (1) — 1 (1) — нгнтрирозаннал случайная функция. Легко к„к(сн 1,) н„к(сн 19) — 2(11)4 (с,). Аналогично взанмнаи «орреляцнонная функция опрецеляется квк кк„(си 11) =и [;(11) р(1,)), Нрн таком определения корреляцнонеых фупкцнй о. щ= кк„(1, 1) н с [к(11), р(11)[= кк (11, 19))(. Если х (С) и у (С) являются комплексными случайными процессзмн (фактически двумерными случайными процессами), то корреляционные функ- ции определяются соотношениями Е„„ «1, С ) = и [ ((1) х (Ст)'[= Е к (Сю С,), 1 (18.9.8) )ску (С( Сз) ™ !х (11) у (Сз)! = пик (Сз (1) [ кото ые содержат соотношения (6) кан частный случай.
аметим, что и для действительных и для комплексных х и у Ь есть случайная величина, значения которой суть )с(С)Х(с)йг', где Х(С)— а какая-либо реализация х(С) (предполагается, что интегралы существуют для всех реализаций Х (С)). Справедлива формула ь ь му — м ) / (1) х(1) ус =) 7(1) мк(1) йс. ь ь ) с (1,) дс, ) с (1,) Як ( сы 1 ) щ = м ! Р Р. (19.9-!Я) а а Несобственный интеграл (а = — со н?нлн Ь = со) определяется обычным образок, как предел собственных интегралов, (Ь) Пусть случайная функция к(с) такова, что все ее реализации Х (с)— дифференцируемые функции.
Тогда производная случайной фуинцин (18.9-16) будет представлять собой случайную функцию, возможные реализации кото. рой суть производные соответствующих реализаций Х(с). Математическое ожидание и корреляционные ф>нкции для производной определяются формулами к 1 (йя (с) = м = 6 (с), Нкк (11 Сз) )1 (сг сз)= кк ' дгг д1, Пхк( 1 Са) кк 1' з дгс (18.9-!6а) Если существуют производные от Х(с) высшнх порядков, то формулы (16а) обобщаются следующим образом (р и д — целые числа, порядок производной).
дп+тпхк Сы С, Мхпс (С) =йспс (С), К„срс „(91((1 Са) = к» 1 ° (18 9 Р6Ь) Случайный процесс к Ьо непрерывен в среднем в смысле п. !З.б-а, если Нт М,'к((+До — к(1)1'=О ьх 0 это ннеет место тогда и только тогда, когда я 11, 1 ! непрерывна прн 1 хь( 1 тс 1 3 Случайный процесс к (1) назыеаетсн п!юнззохиой в среднеи от случайяого процесса х (1), еслн пт М[ (к(1-Ьбс) — к() ' '* Π— к (1) [ =О. ьх о Для суп(ествовання производной в среднем от случайного процессе х (1) необходимо Н ДОСтаГОЧИО, Чтаби СУЩЕСтЧОВапа ПРОИЗИОДНаа ' ПРИ 1г =сз =-1. д1г дгз Если производная а средаен существует прн всех 1, то дл» нее спрааедлввы формулы (!9), Можно также определить интеграл н производную в смысле слоднноств по вероятиотсг (и. 19.6-1).
Далеко нпущнн обобщение» является определение нвтегрзла (!2) как предела в срехьсн (п. (з.б-з) соответствующнх интегральных сумм (стохастический интеграл) Юнспгграл гга!гстгрст з среднем тогда и тол~ко ттда, когда сри!гстзрггл 18.19. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЪ| 388 ГЛ 18, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУ"1АЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.9-5. 18.
18-2. 389 Важные соотношения этого пункта применяются, в частности, для вывода соотношений между входными и выходными сигналами в п. !8.12-2. 18.9-8. Процессы, определяемые случайными параметрами. Иногда случайный процесс можно представить как неслучайную функцию х=х(|; т)1, цщ "-) от ! и случайных параметров Е„т)з..., При этаж случайный процесс вполне апредсллгтсл саамсгтным распределением парамгтраа ))1, Чз, ... и М [ [х (1,), ..., х (1„)[ = ~ [[„(1„„,, „,, „.), ..., (1„) ц,, 02 ...Д йф„„, „, [Ч, Ч, "). (18.9-17) В частности, наждов распределение вероятностей для такого случайного процесса однозначно определяется его характеристической функцией (п, 1 .
- ) Х!л!(ц! !1! " ' ца !и)= ! „Л [; Р ~,, )Ь; Э„ Л„ ...>] Э ... !ЛН, Л„ ...). ! Л,~.П! — со -ьэ 1. л=! аэ Ь Х!О = 2 г,и, |!), гй=) и 10 х 80 Ш |а=1, 2...,), |1л,9-19) где язтегрзлы и ряд сходятся з среднем я смысле и. 18,5-3 |см, также п 18.9-4, э>. Таким образом, случэйяый процесс представляете» мяажестзом слу!зйных коэффпцяеэтэв (сй); первые и каэффэпяеятэв могут дать подходящее прябляжеэнаа предстэз. ление, В чзстяастм, сри!ггтэрет таках пэл«пл эптз«эрмирэза«мам гигтэма иь |О = — фь П). «тз эге ° ээи«и«ы гл брдрт «эхзррзлирэза«ными гтамдаптизэзам«мми г»рэайммми осличимами, т, е, М =9, М г =б.
У,Ь=|,2...,> |18,9-29) М.л= . |тЕЭРгМа Кара«з«а — Лаз!а) А ЯМанэа, УПаМЯЯУтЫЕ ФУНКЦИИ фэ|0 бУДУт СабьтЗЕНЭЫЯЯ функпкямэ эятегрэльяага урззяеяпя |!3 9-21) (см, также а, 15 3-3>, Саатзетстзу!ощпе сабстзеявыа зээчеяяя К эеотркчател!яы я магуг иметь крзтэость яе более каке«~лага парядкз |по теарэлле Мерз р... ° ), р е э, п, 15 3.4), и ячзм Ь Ь ьл 1 М~)х!О! Л=~п„,[г, г>йг- ~,,—.
а а Л=| й !18 9-22) Теорема Кзруяеэз — Льээа обобщает теорему и, 18.5-5 П ь, Пе надячегкяй случайный прачеса |и, !8.11-1), шум с агрзниченяой паласоМ чэатат (и 18 11-2, Ы, Несмотря яа ть. па явное зпалэтяческое ре е ш апе пптег рэльпага урззэеэкя |2!) редко возможпэ, эта теарема применяется в теории обнаружаммя сэгязлав, 18.9-8. Разлажемме па арталюрммраззяиай системе. Еслк действительный ялк кэмпленсэый случайный процесс х !О с канечяым математическим ожядээкем М х(!) и эепрерызяой каррелхянаэяьй фуякцпей п„„(г, ! ) задэп аа замкнутом интервале [а, 51, то существует полная ортзпармярьззнпэя сйстемэ фуякняй (иь р)) !и.
15,2-4) такая, ьта 18,10. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПЛОТНОСТИ 18.10-1. Стационарные случаииые процессы. Случайный процесс х (!) пазы. вается стационарным, если все его конечномерные распределения вероятностей инвариантны относительно сдвига по параметру С Е,„,(Х,, 1,+1,; Х,, |,+1,; ...; Х„, |„+1,)ан =0>п,(Х|, !Е Хз, !з; ...; Х„, 1„) ( — оо(!9(оо; и=1, 2,.„), (!8.10-1) т. е.
если распределение вероятностей и-го порядка зависит только от и†! разностей (!8. ЕВ2) 11=!З !! Тэ="Э "1 "° Тп-1=!и выборочных моиентов )ь. Аналогично, два или более случавных процессов х(!), у(!), ... называются совместно стационарными, если все их совместные распределения вероятностей инвариантны относительно сдвига по параметру 1, Для стационарных и совместно стационарных стучайных процессов каждое среднее по множеству наблюдений (п, 18.9-3) зависит только от и†1 разности (2); например, М[ [к(!!), х(Й), ..., х(!п)[=М[[к(0), х(т,), ..., х(тп 1)[ (18.10-3) для всех 1, (см.
также п. 18.10-2). 18.!0-2. Корреляционные функции по множеству наблюдений (см. также п 18. 9-3). (а) Для действительного или комплексного стационарного процесса х (!) [и совместно стационарных процессов х(!), у(!)[ средние значения Мх (!) = Мх (О) = Мх = й; М ! х (!) Я = М ! х (О) ' = М ) х )з; му (!) = Гн м ' у (!) Р =- м ! у )з па тач«ны а карргляцианмыг функции зазислт только от запаэдьыа«ил т = |,— |,. В этом случае э) [х„,. (т) = М [» (!) х И+ у)] = К„„( — т), (18.!0-4) П~(т)=М [х(!) у(!+Т)[= [(„. ( — т), ! [(хэ(т) ! ~ [[хм(0)=М~х)з, (18.!0-8) ! Ямщ ( ) .2 [(хх (О) [(ра (О) = М ! х,э М ! У !з. (18.!0-8) В последних формулах из сущеолгаэанип матс»!атичгских ожиданий спраэа гып!ехаглп гущггтзалалие карргляциалных функций слева.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
