Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 139
Текст из файла (страница 139)
!8.9-5) являются совместно нормальными случайными величинами, 18.11-4. Марковские процессы п процесс Пуассона. (а) Случайный процесс порядка и. Случайный процесс имеет порядок и, если он вполне определяется своими функциями распределения Фон порядка и (п. 18.9-2), но ие определяется функциями распределения порядка н — 1. (Ь) Чисто с луча 5 ный процесс, Случайный процесс х(!) называется чисто случайным, если случайные величины х(<,), х(<з)..., взаимно 600 тл, рк теприя ВЕрОЯтнпсТЕЙ И СЛУЧАЙНые п»ОЦЕССЫ <а.(<-з.
ми. типы случяииых процессов. примеры независимы для любого конечного мвожества йи <ю ... Чисто случайный процесс аполмг опргдгяяипся функцией Ф<м(Х(, <1). Р!и <Хл <!) ихи ф~<! (Х! <1). П р н м е н ы: носледоватеаьность веззввснллых нвбхюяеннй, нсцмтання по схеме Берну«эх, .случайный выбор в ствтнстнне (о. 19.1.2) представляют «исто слуеабнме неследоеаюельнесюи. чисто случзйнмй процесс с нелл»с»э!эньлм нарам«трон предоолегает реал»- эзцнн с неогрвннченным снектром н, строго говоря, не мажет описывать действнтехьные фнзнчесвне явления, (с) Ма р конски е и ро це с сы.
Дискретный или непрерывный случайный процесс х (<) называется (простым) марковским процессом, если для любого конечного множества 1,(<з ... (<„,(1„ Р(Хьн <н ! Х,, <б ...; Хн,, <н,)=Р(Хн, <н / Х„,, <„1) (18.11-20а) или ф(Х <я~Хы <1> " ' Х < 1)=ф(Х, <н! Хн ы <и 1) (181120У) р(Х, < /Х(, <1)=~ар(Хз, <з(х, ПР(х, </Х< <!) (<! х и) (!8.11-22а) или !р(Х., <з <Х<, <,)= ) ф(Хз 12 )х, <) ф (х, 1! Х<, <!) йх (! з). (!8.11-22О) Уравнение (22) есть разностное уравнение первого порядка (п. 20.4 3), которое может быть решено относительно неизвестной функции (21) независимой переменной О если задана р(х, << х,, <,) или ф (х, <! х<, <,). если ров(Х<, <,) или <р,п (Х„ <!) известна, то марновскнй процесс вполне опреде.
лен при всех <) <,. (й) П у асса н о вск и й про цес с. Во многих задачах со случайным поиском, очередями, радиоактивным распадом н т. и. х (<) есть дискретная случайная величина со спектральными значениями О, 1, 2, ... (число «успеховэ, телефонных вызовов, распадов и т. п.). Применяемые модели часто предполагают выполнение марковского свойства (20а) и следующих свойств пере- ходных вероятностеи: 0 1 — ай<+ о (Л<) р(Хз <э~ «, 1)= ад< ! о(Л<) о (Л<) при Х (х, при Хз=х, при Ха=«+1, при Хз)х+1, (18.11-23) где Л<=.<з — <; х, Х,=О, 1, 2, ..., а через о(Л<) обозначены такие чяены, что — -0 при Л< 0 (п.
4А-З). о <АО га соответственно. Если дано х(<„,)=Х„,, то знание х(<„з), х(1„,), ... ие добавляет никакой ионой информации о распределении х(<„). Марковский процесс вполне определяется своим распределением згроятностсй второго порядка и, следовательно, )аожет быть задан распределениями вероятностей первого порядка и «вероятностей переходаз р(Хз, <з)х, <) или ф(Хз, <з!х, 1) (<(<з). (18,11-21) Марковские случайные последовательности часто называются цепями Маркова. Каждый чисто случайный процесс является марковским. Многие физические процессы могут быть описаны как марковские, Важный класс задач состоит а отис«цнии функций (21) ло заданным их «нт!альмым зяачеииялм при <=<р Из определяющего свойства (20) марковского процесса вытекают ура«лелин Колмогорова — Смолухоаг«ого — Чгямена Чтобы найти р (Х, < ! Х„<,) = Р (К, Т) (К=Х вЂ” Х,=О, 1, 2, ...; Т=< тс авим переходные вероятности (23) в уравнение Колмогорова (22а) при <,=-<+Л< и получим разностное уравнение Р (К, т->юы) — Р (К, т) е <би = — иР(К, Т)+яр(К вЂ” 1, Т)-(-е (!8.!1-24) (К=О, 1, 2, ...), где Р( — 1, Т) ВЕО.
При Л< 0 уравнение (24) приводится к дифференциальноразностному уравнению д д — Р (К, Т) = — сс Р (К, Т)+ а Р (К вЂ” 1, Т) (К = О, 1, 2, „.) (18.! 1-25) Решая уравнение (25) последовательно для К=О, 1, 2, ... при вачальных условиях Р(О, О)=Р(Х„<,~Х,, <,)=1, Р(К, 0)=Р(Х,Ц К < >Х <)=О (К)О) <18.11-26) получаем 1'(К, Т) = е ' К, (Т зв О, К= О, 1, 2, ...), (18 11 27) Таким образом, число К изменений состояния в любом интервале времени длины Т имеет распределение Пуассона (табл. 18.8-4); <х есть средняя л тиос попн ть числа событий за единицу времени илн средняя снорость отсчетов в процессе Пуассона. Вероятность того, что не произойдет он одного мзменевня состонвня, расее <г) о>; »<о, т>=« (1З.(1-29) но!тому вероятность того, что состояние изменится но «радила лере один роз, ревев 1 — 1 <О, Т>=1 — с — ОТ <Г ежа>.
< !3. !1-29) и нтервен вреыеон Т между ооснецоэвтехьнымв нзмененнямн состояния е ь случзю нзз венечное с охотностью рзсореденення р < Тд =ос — от <т,)о> па.))-зо> н мзтемвтнчесннм ожнденнем 1(о знз р Внутри любого конечного нвтервзлв времени длины Т оуессоноеснна процесс о нчно определен рзсореденевнем множестве вэзвмно неэззнсцмых случайных везцчвн К; р до- ..(А., где К есть число взменензй состояния в течение времецн Т, з <, (, ...,< нты време н первого, второго, „,, К-го нзменення состояния в течевне этого интервала временн.
!1рн этом Р <К) = (К. Т>=с — <К=О, 1, 2, ...>, — Т<ог>К К< 1 ф< ~к((а!к) т <к=) 2 - й='2 -"к> а (( ' « ' " к ! К) (<с = 1 2 ...). 1 к, к ТК !8.11-6. Некоторые случайные процессы, порождаемые процессом Пуассона. (а) Случайная телеграфная волна (рнс.
!8.!1-1,с). Функ. ция х(1) принимает только значения +а или — а, причем последовательность изменений знака представляет собой процесс Пуассона со средней скоростью (18.11-37) и, следовательно, Ы4)в 14)лю — ! Ф„„(ш)=Ох Л(~ „( ) +2п525(ы). 2 (18.11.38) (/уи — (/уи (18.11-35] Мх (Г) =; = иМа(, ° ) о (Г) ()Г, а) мх" (г) = 64+ имайз ° )г я (() 4(( (18,11-35) (т) = еа-)- иМ азу ° )г о (О и (Г+ т) ((( Фх.(ы)=йльа5(ю)+иМай УУ('ю)Г. 502 гл. )з- теОРия Вероятностеи и случАйные процессы (3 п.а отсчетов и (п, 18.11.4, д). Такой процесс стационарен и эргодишн, если оп начинается с 1= — со н для него Мх(()=О, К, (т)=а'а йа'т', ) хх( ) ы +чач (Ь) Процесс, порождаемый пуассоиовской выборкой (рнс.
18.11-1, г(). Функция х (() изменяет значение с кажчым изменением состояния некоторого процесса Пуассона со средней скоростью отсчетов и; межау нзмезенияьш состояния функция х (() постоянна н принимает непрерывно распределенное значение х с математическим ожиданием 6 и дисперсией о'-'.
Такой процесс стацнонарен и эргодкчен, если он начинается с (= †и для него МХ(() а Р (т) 52 ! П26 — «)т! (с) Дро ба в ой эффект н формулы К е ми белла (рис, 1811-1, е), Функция х(() есть сумма большого числа кратковременных импульсов: х(Г) = ~3~ айо(à — (6), (!8.!1-34) 6.—.=) форма которык дается функцией о=о(() с о())а ™((!= 1'.((ш), в то время как амплитуда нмцульса ай есть случайная величина с конечной дпсверсией, а последовательность случайныя моментов Гл представляет процесс Пуассона со средней скоростью отсчетов и.
Такой процесс стацпонарен и эргодичен, если он начинается с Г= — со; он аппроксимнруется гауссовским случайным процессом, если импульсы перекрывают друг друга достаточно часто. Для этого процесса аз В частном случае, когда ай — фиксированные постоянные, фориулы (35) известны как фармулы Кемлбелла. 18.11-8. Случайные процессы, порождаемые периодической выборкой. Состояние некоторого стационарного и эргодического случайного процесса 6(() измеряется пернодпческн и результат фиксируется в течение постоянного промежутка врез(ени ЛГ. Получаемый случайный процесс х(Г) стацнонарен я эргодпчен, если момент начального измерения выбйрается случайно и распределен равномерно в интервале (О, Л().
Реализация х(() подобна изображенной на рис. 18.11-1, с(, ио здесь изменения состояния отделяютсв яитервалаин, кратными ЛЕ Если 6 †случайн велкчина, принимающая только два )6.)2-(. Млк деиствия нлд случйиными И~Оцессдми 583 значения + а и — а с вероятностями '/а и '/в, то х (() имеет вид случайной телеграфной волны, как на рис. 18.11-1, с (с той же оговоркой, что и выше). Если различные измерения величины д независимы, то Кхх (т) =(М())з=(Мх)я=фа при ! т ! ) Л( Кгх (т)= М (6') Р (С Г+т — в одном промежутке ЛГ)-)- +(Мд)' Р(Г, у+т — в разных промежутках ЛГ) = =()х (1 — !а )'.)+62 прп !т/~Л) На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
