Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 143
Текст из файла (страница 143)
Хсд =.2! "х,. 1эги5. Тяпы расзредеаеннй Пирсона. Паотность многих непрерыэных распределений вероятностей может быть определена как решение дифференциального уразне.сня дч х-(-П, (х Ч, -(- П,х -1- т>,х' содержащего четыре параыетра. Каждый параметр и ма!нет быть выражен через переые четыре момента а иаи р (и. 19.4-3), но расчет аыборочиых распределений, даже э наиболее простых случаях, труден. Распредеаения, определяемые ураэиениен (9>, могут быль кдасспфнцнроэанй э заэисимостн от хаааитера корней ураэнения ч, — ' п,х+ ф п,хл =- О.
Вти распределения охнатыэают многие распределения, приэеденные э табл, 13 а-и, пп. 18.8-3 а 9.о-з, как частные случаи. Дая распределений (1ирсопа зэодится парсоноэская мера асим:зетрни (табл 18 3-1) $ — 1 „тг (уз + 8) а 2(бу,— Отз фа)1 (19.3-10) 1 прн малых то тз отсюда следует, что 5 5 — — ать а! 19.4-1. Свойства оценок [сы.
также п. 19.1-3). (а) Статистика у(х„х,, ..., хя) называется состоятельной оцеииой для параметра !] теоретической совокупности, если у сходится к т] по вероятности при увеличении объема ныборки л, т. е. если вероятность любого конеч>юго отклонения ]у — т! ', стремятся к нулю прн п оз (п, 18,б-]). (о) Смещением некоторой оценка у параметра Ч называется разность Му — Ч, Пшенка у называется несмещенной оценкой параметра т], если ййу=!], (с) Лснмптотячески эффективные оценки и эффектна: и ы е оценки.
)Келательво применить такие оценки, выборочные распре деленна которыя возможно меньше рассеиваются около искомого значения параиетра, т. е. Оценкп с возможно меньшей стандартной ошибкой ггОу = =-о(у). Для важного класса оценок у(х„хз, ..., х„), выборочные распреде. ленин которых а«ими!патически нормальны со средней 3] и дисперсией л>п (см.
также п. !9.5-2), погтояииая Л определяется формулой Л= Вш п()У--Лт(„=,53 (19.4-]! дч Ш 4 О11ЕИКИ ПАРАМЕТРОВ 617 (З.(-4. 616 ГЛ. 12. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Ага )и Аснмптотнческая эффективность е (у) = — такой оценки измеряет рассеяние асимптотического распределения около параметра )); у называется аснмптотнческн эффективной оценкой параметра тй если А=А пп 7(ах(дал асимлтотичгски зффгхтигиая оценка является состоятельной.
более Общо, Относительная эффснтиннэсть» Оценки у (к, л,, х„) параметра ч ло данией эыборкс сбъсна и измеряется Обрэтиой эеличиной среднего квадрата огкло. ивина м (д — ч)' при достаточно общих условиям средний кнэдраг отклонения М(д — и)' различных возможных Оценок у дэннэгэ параметра и имеет конечную нижнюю грань, ОЛРСДСЛЯЕМУЮ фОРМУЛОй (Ь " х (!+и — ) (Ш.4-2) М(у и)'~ л (о!не(э' дч где Ь (тб = Мд — Ч (см, [18,8]) Для иесмещснных оценок у выражение (2) сводится и "щ!я ! (!8.4-3) дч ) эффективность е (у) = — несмещенной оценки, удоэлегнэряющей соотнэюению (з) нэ" Ал1!и лбу меряет рассеяние выборочного распределения Около Ч = Мд. В этом случае предел Пт е (у), если Он существует, называется асимигэткческей эффективностью, Иексгэ.
рая (Обяээтельнэ несмещеннэя и состоятельная) Оценив диаэыэаегсяэффеигиннэ Оценй ю1и иэй параметра и, если Оу существует и рэниа нижней грани (д) Достаточные о цен к и. Оценка У(х,, хю ..., хл) паРаметРа Ч называется достаточной оценкой, если функцию правдоподобна для выборки (п. 19.1.2) можно представить в виде [(А( Х " )Сл! )))=81(У Ч)[.з(Х ° Хз," Хл). ~ ( эм у (А( Аз " Ал) где [ч не зав е [ч не зависит от тр В этом слУчае Условное Расппеделепие веРоЯтностей величины (х,, хз, ..., х„) при условии (у = у ) ие зависит от ти так что до.
статочиая оценка у параметра Ч подьпложизаст есю информацию относительно ть содгрхсащуюся е выборке. Эффективная оценка обязательно является достато (ной. (е) О ба 6 шеи и я. Формулы (1) — (3) применимы и к дискретным распределениям, если вместо плотности распределения !р(х,, хз, ..., х„) подстав!Иь в них Р(х„хз, ..., х„]. ТеоРпй, изложеннаа выше, пРименима без изме. пения к совокупностям, описываемым многомерными случайными величинами.
Совокупность т иедхэдящих нссмсщениых оценок у . д, ..., д называется соныестнэ эффентнзнэй Оценнэй сн ларэмсгрон ч, и...,, ч, если эллипсоид рассеяния (и 18 4 8, с) совместного выборочного распределений совпадает с «эллипсоидои мни имэльнэгэ рассеяния», аналогично минимуму дисперсии, Определенному формулэй (3) совместные есин эффеитннныс Оценки Оиредсляюгся подсбным Обоаэом через асинигэтические выборочные распределения. Обратная величина Обсбщеиной лисиерсни(и. , -', ), . !8,4-8, с, сээтнегсгнуюи(ей совместному выборочному распределению величии у, у..., у, является ер ь и Ой Относит»юлой со«исгтлэй»ффехтивлэсти этОй совокупности Оцсион Чтсбы Определить совокупность т совместна досгатэчиых Оце~ и, д ..., > надо только заменить случайную величину у и формуле (4) т-мерной случайной нслнчиьэй (у, у..., .
д ). 19.4-2. Некоторые свойства статистик, применяемых в качестве оценок (см. также п. 19.2-4). (а) уикц ( ) Ф пи от момента в. Каждая статистика, представимая. я состоя" е виде ациональной функции от выборочных яомгитоз а, является л Р тельной оценкой той жг самой функции от соответствующих моментов аг генеральной соеокулнося1и лри условии, что рассматриваемые моменты сущест- вуют и что зла«гниг функции в них конечно (см.
также п. 18.3-7), Несмещенную состоятельную оценку часто удается получить нз смещенная состоятельной оценки путем умнол(ения ее на подходящую функцкю от п. Аналитичная теорема применима и функции ог ныборэчных момситоэ аг г я ДлЯ иногэиеРных выбоРок В частнОсти, величины Я, Я, !.З, г З и г (и. 1Цт-2) являются сосгеятсльныии оценками соответствующих параметров т, Т, А, Р. г з М И И Р ГЕНЕРаЛЬНОй СОЭОКУИНОСГИ, „... Л> (Ь) Для выборок из нормальной твохупности имеем; 1) Х вЂ эффективн оценка для 8. 2) х и зз — совместные аскмптотически эффективные оценки для с и л оз, но М вЂ” смещенная оценка; х и Эз = — зз — совместные достаточл — 1 ные и аснмптотическп эффективные оценка для 8 и пз; Эз имеет эффекл — 1 тивность — . 3) Если 8 известно, то з 2 = (х — 3)з †эффективн оценка для пз.
4) Выборочная медиана х, имеет асимптотическую эффективность 2(п. Для выборок из бииомиального распределения (табл. 18.8-3) х †эффектив- ная оценка для 8. Для выборок из двумерного нормального раглредглгиия (п. 18.8-6) с изве- стным центром распределения выборочные центральные моменты 111, 112 к 1 з (п. 19.7-2) являются совместными асимптотнческн эффективными оценкам!! для )ч! 712 и лзз 19.4-3. Нахождение оценок. Метод моментов. Если распределение гене- рвлыюй совокупности описывается функцией Ф(х; 1)ы т)з, ...), (р(х; 1)ы т)з, ...) или р(х; 1)ы т)з, ...) заданного вида с подлежащими определению параметрами т),, тЬ, ..., то каждая числовая характеристика распределения Мх, Вх, а, и т.
д. является функцией параметров Ч„ г)з, ... В частности, а>= с'1(Ч( 1Ь " ) аз = аз (Ч( 1Ь " ) если этн моменты существуют. Мапод моментов определяет (совместные) оценки у,(х,, хз, ..., х„), уз(х), хя, ..., хл), ..., ут(х,, хм ..., х„) дла соотаетстзУющих паРаметРов Цы !)ы ..., Чю посРедством т УРавненпй а (уы у>, ..., ую)=а,(х,, хю ..., х„) (1'=1, 2, ..., л!), (19.4-5) получаемых путем прираенизания переыхт выборочных яомгнтоз а, саотеетг>пвующия моментам и генеральной а>еохупности. Получаемые при этом оценки уь будут функциями от выборочных моментов (см. также п. 19.4.2, а). 19.4-4.
Метод наибольшего правдоподобия. Для любой данной выборки (хы хз, ..., хл) значение функции правдоподобия й(х(, хю ..., хл) (п. 19.1-2) есть функция неизвестных параметров Ч„цю .,. По методу наибольшего правдоподобия в качестве оценки каждого параметра т)й выбирается такая функция уь (х,, хз, ..., х„), которая придает возможно большее значение величине А(х,, х„..., х„; у(, ую ...) для всех выборок (х,, хю ..., х„). Для получения совокупности т (совместно) наиболее правдоподобных оценок у((х( хз "» хл) уз(хы хз " 1 хл) " 1 ут(х) хз " 1 хл) 1 6 ВЫВОРОЧНЫЕ РАСПРЕЛРЛЕНИЯ 19.4-9.
619 6!8 ГЛ 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 6 (л — 2) (л ч- 1) (л Ф д) рйй,=б, (19.5-!) (19.5.2) г' решают систему т уравнений наибольшего правдоподобия *) — !и(.(хг, ха, ..., хл', у,, ув, ..., уш)=9 (А=1, 2, ..., !и), (19.4.6) да„ которые выражают необходимые условия максимума функции праедолсдобия„ если последняя дифференш!руема (п. 1!.З-З).
Хотя метод наибольшего правдоподобия часто приводит к более слож- ным вычислениям, чем метод моментов, наиболее правдоподобные оценки могут оказаться предпочтительнее, особенно в случае малых выборок, так ках: !) Если эффектияная оценка (или согокупность совместно эффективных оценок) суи(естеует, то ана будет единственных! решенном уравнения (или системы уравнений) праедаподабия (6). 2) Если достаточная оценка (или совокупность достаточных оценок) существует, то каждое Решение уравнении (или сис!лемы ураенекий) прыдоладобия (6) будет функцией знюй оценки (или оценок). Кроме того, при Ноствточно общих условиях уравнения правдолонобия (6\ ныеют решения, дающие состоятельные, есннптотически нормальные н всныптотнческн ьффек- тиввые оценки [16.61 П р н не р Если величина х распренелеяа норыально, ненбосше правдоподобная л оценка Х хдля 1 является аффективной оценкой н нинныквнрует 2 (х( — Х)в (мемед (=! лолнслыних кеодаал>ее е теории ошнбон).
Заметны, что ыетох ненбольшего правловолобия применим ганжа к ыногонерныы совокупностям. 19,4-6, другие иетоды нахожаення оценок. Некоторые ыетояы, обычно прннеияеные в критериях согласия, могут быть нспольеоввны н хля оценок параметров (и, 12 6-1, см также пп. !99-1-!9Т9-6), 19.5. ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 19.5-1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
