Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 145
Текст из файла (страница 145)
(и, и, ...,и ) / й=( Лаигов соотгетстгеяко т) (п. 13.6-4, Ы, пю у, д, ..., у таимио лезогосимы и имеют Хкраслтдглеиия с т, т, ..., т отенскими тободы |ногдо и только глогда, когда т + гл +... Ф т = т (ттргма разложения). 1 З сумма г игхагисимых случайных гегиеии д, д...,, у„, имгюи(их хьдасяргдглю ииг с т, т...,, т степенями сеободы соотеетстегико, имеет Хкрасиогдгление 1' х' г т = т + т +...
+ т сттгнлми тободы (теорема сложения ихи сеойстго услюйв тихости, см, также п !8.8.9). (6) квантилн для у обозивчаютс» через хзр или хр (гп), В табляцах час~о дается Х) ц(т) в зависимости ото„ ! (е) Прнближеима. При т са( у распределена всимптотически нормально с центром гл н дисперсией 2т. у(т распределена асимптотнчески нормально с центром 1 и диспер. сией 2(т. У 29 распределена асимптотически нормально с центром у 2лг — 1 н дисперсией 1. Из последнего свойства вытекает аппроксимация квантнлей гДе и — квантили станДвРтизованного ноРмального РаспРеДелениЯ (п 18 8.4, Ы.
Р Бта аппроксимация не годится при значениях Р, близких к О нли 1. Лучшая аппрок- ! симвция дастся формулой Х' (т) тт 1 — — +и 'у Р 9гн Р У 9т) Т а б л и ц а 19.5-2 Рраспределенае Стьюдента с т степенямп свободы (рис, 19.5.2 и табл, 19,5-5; см. также пп, 19.5.3 и 19.6-6) -4 -д -2 -) 0 ) 2 д 4 Рис. 19.5.2. (.распределение Стыодента; сравнение со ствндархизовакным нормальным распрсделением. 1:ога О.
8 (гл — 2) Кого( тп епт ы:сцссса гл — 4 Мог соты г.г рядка 2г относительно 1 3... (2г — 1) гп (2г% т) (и — 2, ии — 4)... (гл — 2г) интерпретация. Ры преде лев им С гь адепта под лшегго от нешс я не где хо, х, х, ..., х, — хзаок,ш независимые порнально распределенные случайные а' '' ' т величины с цеьзуазш О н дисперсиями оЦ Звыетгнг, что г от ог не заеиснт. н!) кваитилн ! для д обозггечаются горев 1; ааметим, по г = — (! р.
Р' ' Р Распределение величины; у ! = ! (, связано с !.Распределением формулаггн Р (,' д ) < У ) = Р ( — 1' К У ( 1') = ! — Е (д)ау=2Ф (У) — (=Ф !(,л)((У), Р (, 'у ! ) У) = 2 ) Сг (а ) (Ю ду.= 2 (1 — Ф( (гл) (У)] = 1 — Ф Г (л ) (У). У К.а- .. 1 — ам' опредсляемые соотношением Р г! д ! ) , 'Г ' ! = а, 1-аг табуляроьавы; в некоторых та(лицах значения !! обоаначепы через / (е) Приближении. Прн ги .з респределснве у асоыптотвческп кормальао с г!ентротг О н двсперсвей 1, твк что (сы.
п. !8.8.4, Ы 1 ' ! о 'и!1 =", Ол)ЗО). О2 хц ! — а 2 Таблица Распределенне отношенпя дпсперснй (о'-распределенне) н снпзанные с ннм распределения (табл, 19.5-6; см. также п. 19.6-6) 625 1злнб. [Р.Б-Б 1З.Б. ВНВОРОЧНЫЕ РАСПРЕЛЕЛЕНИЯ 624 с Т а б л и ц а Ю.б-й [прсдсллсгнпг) 2п~ (т [ т — 2, 2 (Ь) Му пд — 2 т' [л1 — 2) рл > 2). о 5 зк , (1') с (т, лу) при У <О, ( 0 при У>0 2) 2=1п и= — 1» о' с плотносгто 1 2 р, [2) 2 Рп, т ) о (т, со) -- у (т), 2 1 з р ' т р о (1,со) п ) о 2 и" (1, гп) = [! [ р [гп), Р 2 1 о [оо, 1) = —. ~[2 ' 1 о (со, т)— т уз (т) 1 Р ! с2 (т и— (т) Р[2 ГЛ.
ГК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА й (т)2 -[- О) Г (т [2 г) Момент порядка г относительно у О.' Г (лд2) Г т22) (тЧ 0. (с) Типичная вигерпретация. Етому распределени:о годчииеио отношение о' двух случайных всличиа, имеюших !'-Распределения с т и ~гг степенями свободы, нлн „1 ((+хйф "+ ') у о' гл 1 — Бе —.,(»; +~,'+" +.т) г е все т+ т пелнчви «! и х вваимао независимы и нормально распределены д й с цеитоаии 0 н дисперсиями пк Замесим, чзо с* от и* ие завнсис. [б) Преобразование переменных. Распределение огнь~лепин дисперсий о' описывается хаил е другими случайнымн величинами; 1) с с ллогиосгью (т-[-т') т +т Г( — )1( — ) (Распределение Фишера>: 3) Б* —, о* 1+ —, и') с белья-рпслргдглгкигм (сабл, 18.8.11).
ту ., т' (е) Кнантилп о (т, т')=,, о (гл, т') в 2 рп, гл') ! — о ' оа(л л) ' 1 — о сабуляроеаны в фуикцнях от и длн различных значений т, гпд Слт[ппльлые случаи б) приближения, прн т со, лг' оз величина 2 распределена асимпгоснчески альио с вихром , и дисперсией , . Вта аппрокснмания пр ди т — т' т+т' нго з нормально ц " 2лпк' глпп' при п~ ~ 30, т' ) 30. Е ь н 5 $ и и о ь и 2 д и и о Й о ь а Е $ о о с н и ч и о ю и а ю и б28 49.5-5. К о с » о о о с о с с о о Ф о С г о и е Е о о с л С 3 о ГЯ 49 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА » ЗЖ- аЗЖэй сэй-ЖЖЗэй фй ф ЗДЯВ4Ж Я ЯЯЯ сой Жай-с Я лвс Ж- В ЦИЗЯЯ ЯЖВВ Я ЗЗЗВЗЖ ЯжЖЖЯФЗФ ЖВЗФЖиз ЖЗХлаэЗЖЖЖЖЯ ЖЗЯлзй слЦВФ Ззаззйзэ ЗЖЖВЖВ В .и†. а ии .Ийи -Жса В Жй о-аоа р а йсй с с л с л и с и л — ос Ж в с и сз ВЖЖ ф З сз с» л с с с» л л л л с с о е э ал с а» сч З» З Ж В -и и и 'и и-и" »5 и и и-В -'и-сХ ' ааэя я в ла а ЖЖ и ЗВ с" 'сч 'и "и "и-сс -"Ю-'В-'сч 'сс -л-Н-с~-л "сч ЯВ%3% асзй ВОЖФ ЖЖЖЯЯВЯЖ ЖийД в»»ВИл сззззй„ л-'л:сХ 'л-"Н- -"и 'СХ 'сс-"и-и и сс:и "-'л «4-'Н-" ЖВЖЯВЖ ВзиоаЯЯВФ ВзйазйосЖВ ЯйайййлЯЖЖ физо 'и-'и-'сХ 'сХ-'л-'и-сс -и 'сч "сч с5 "л-л-Ю-Ю-и "л-и и ЖйЯЗЯЗ ВэзиЯЗЖВ иаЖВФВЯЯ ЖЯЖ ЖЖВБЖВ Зе ЖЯЯФ лВ с" чл и" " с5 сХ "сс-'л 'л сс -'е -и 'л -сч ЧХ сХ 'л са В о ЖВВФ а .с Ззла я я Жф Ж йз чл.
ис4сХ ии "ллЙ. л л с4«5 и Й 'сч "сч "=Й:л 'л-'сХ с" Ф о с эаа и а оси эа ивова лилФ лЫиилЯВ ".НЯиил 'и:и"-и-Л-и" "и-и-сХ лаз ийа с а л . а — а и с И с-в Ф -в а-в-в с с4 са ФФ »4,» о ."»а ХиссХ с И ЧХ»и.'сХ 'л" с лс» сл с" лНс "с " "Ы » "о» и -с и с о»» и и «Ф» и л „И с ои в"-„С исаса ала Н«5 " чЫ«5и 5 сХЯи» - ииллНи»лНсч .
ИЯИНВ я . я- ЗВЗ Чааи а с я л Ж. оз НаН«5 В:» лсллаН«5 »Я:4«ХЫе». сс:4«5 «Хлс Яи:чсс ' В. с4 Жазюйз ЖЗЗЖВЗВ»е ЗВЖВИЖЖЯ ЖЯЖЯЯЯВ ИЖ ЯЖДВЯВ 4 5Н 5. «5 'е». в а;4 Н 5 се ' 5:ХВ лз,4». «Х. »». 5 .»Ж-» Зо ФЖ ЗВ - З ЗЗ а $' "» Жд "ле»с а" 'аН .' ". " . »»:4ал«5» " -4 с чЯа 4 ". ФДЖЖЖ- ЖЯЗЯ-ЯЗВ сЯЯЖФазс Жс"ЖЯ Жзэз Зйзаазй 'С ол л . "'"'"л",'Си "4" ' .Ф4а»аХВЯ»54а »я»в а — ляс и е» «а»и-вои эа о ласс л'»- с-и -иФ лоло-~-Ч вЂ” -" е ф, с- о еаа»а»а "»ааа»а»5 и "»"''5 Язиййа„ЯИЯэ5сслсзя ЩЯЯЖЯСХ ВЯЯЖЯЯВайо„зйзлза„ «Х с '»5 с "с»" ч'с о "сЧХа»с- а а 5с55» о»»В Ж Ж Я '-' с З З Я Ж З Я Я Я ф Я Е БЕА.
ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕЛЕЛЕНИЯ аэа. ° л а э а с с -с Еа,а' с,' . » л . эсйаэо;Ь оо э с ссс л-» л сс а . -Фс с и-в Яс', 4» о е с Е Л а «5 сч-л-сХ л-'Ю 'и-сХ=л-"л 'л -'л с -л-и сХ-' Ф а«а О» «5 л" " л-В-"сс-л "В "В-В 'Я "Й:Ы "Я-л- -В с"-" ЯИ ..Ж ФБЖЯоЖЖ ВЖ Жйййорс ЗЯЯа .о ВФД оР а ~ ЧЖ.- и -Ж:В=ЖЯЯЯЗ Ж»ЖВЖКЯЗЗМЖ ЖЧЗаЩЯВВЯ ЖЯ ' Я в.. » и л ' л сХ аоэ с Ж, -В- Ж Ж а- В. а .»» а л.-с " .
В В л-'и-сХ 'сс "сс-и-"с5 В -В л»Я 5 ла5 СааХН»5 4 " 'сХ с" »л и 'и сл -и-и-"с -'с4.4л -'и=сХ л э ев эа в а алоэ о и » 4 и с - - а Ф о со а а о В«5 .4 В И «5 а ' ". сХ В «5 В НЫВ«4В ~Й-и -ол-'Н Ж Жайяс а а я с ..а-в Фйа:ойя .«, ° «5. »:»ХВ "'»5 аИРЮл»:55 Й "сХ»л сХ»ис НЙ Л '' л Жя ЖЖЗЖ о а л иэ а аэ аи ис о ' са»». л ° о Ф СС 'в" 'вЯ«5 ' "л»«5й " '.
ЯНа. ал«ХЯи '«5. л и 'лНл ' лсч" эв Л аа и . = - .сэ в асс а„'""а»и ', », и. и. » „' с. с"-с — „-в »В»" "»а. «5«» . »л» "Ы»с«ХН" 'В.. "сс ЯсХ с а с осаиса ЧЗЗ Взс я И Р В, с .'с5 а айал »и«5 'аН ». «» еиа »5 ЙЧа 'Й."»5 а л ЯЕЯЯ Зйзл „-ЯЖЯЖ„ ЯаЯФЯ „ЖЖЯВ ЯЯЗЯЯЯЯЯЖ ЯиЯЗ »."с" »Н" ---э З"лйй-а-Ж" ~Ж-ЖайаЯ-Ж ВЗ--Жйай-В иа- "4 "иа.-»в;.» 5Я«5 'а И 5«Х 4 оив И 5» " .': с5 'Й эсй Яс З З лйрй — в а Ж с е ЗВ Нол ..
"» а «4 сс Ю. 5л»Й ~вил" с»а " »:4«5 Жс З Ж -Ж а -с Ж ЗЖ «ЗВЗФ си Жайай "Н . ' ' ' лз. Я.' " » ' »:4е»Н 5 ' ~НИ ."».»" са ' Ж ВЯФВФЯЯИ И ЗЯ Д',, В„ЗВ ЕЗ »а" "»" ..:» "»4".» '.:Я Яйссс ЯЯЖ оад с ВЖВВа ВВ, ЖВВЗВВВЖВ С»ос о""» "о'""'» "4"'.«"» "с".".
"4" »С ЯЗЖ ЗЯЗ ЖВЗВЯЯ Я ЖЯФЯК ЯаЖЗЯЖЖВлаа язяя ФХ» ео ° 'а 'е»""» '»"5»"5Ф5а" а" »» »5»" »о 'о ЗЖУФЖЖЖФДФВлсЯВЯЖЯВЯРВВЖЯЖЗЖсййо воэ В а «5 а э сзолЯ З и Ж Я Ч Я Ч Я Ж И Я 19.б.!. 630 ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19,6. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 19.6-1. Статистические гипотезы. Рассмотрим пространство выборок (х, х, ..., х ), где х, ..., х — действительные случайные зсличины.
Кахсдое непротиворечивое множество предположений, относящихся к распределеншо н-мерной величины (х, ..., к„), называется статистической гипотезой. Стати- стическая гипотеза 01 называется простой, если она однозначно опредес)пот распределение вероятностей; и противном случае она называется сложной. Пусть распределение и-мерной величины (к„ хэ, ..., х„) определено од- ной из функций б)(х„хе, ..., х„; Ч,, Чю ...), «р (х,, х,, „., х„; Ч,, т)ю,..) или р(к,, хю ..., кл! Чк, Чэ.
".), где т)„т)э ".-параметры (см, также п. 19 1 3). Тогда йрпстал статистическая гипотеза приписывает параметрам Чт, т!ю,.. вполне опРелеленные значениЯ Чко, Чт„... («точка» г пРостРанстве лаРамет- рог), тогда как еаожная статистическая гипотеза ограничивает «точки» ... неноюрой областью в пространстве параметров. Класс допуспы!ых статйстических гипотез (допустимых комбинаций параметров) ограничен усло- виями рассматриваемой задачи. Если случайная выборка (х, х, ..., х ) получена из одной теоретической сово- купности (т. ст (т. е, если случайные величины х взаимно независимы я одинаково распрел делены), ), то статистические гнпотезы относятся к значениям параметров совокупности . -г к тношеввям между вима.
Заметим, однако, что теории пп. 196-1 я 19.6- отно- сится не только к таким выборкам, но в к выборкам вз любого случайного пр пес о са. 19.6-2. Критерии с фиксированной выборкой; определения. Пусть дана некоторая фиксированная выборка объема и; критерий статистической гипо- тезы Н есть правило, позволяющее отвергнуть или не отвергнуть гипотезу И на основании выборки (Х,, Ха, ..., Хл). Каждый критерий определяет критическое множество (область) 5 «точекз (х„кю ..., хнр гипотеза Н отвер- гается, если выборка (Хк, Хы ..., Х„) принадлежит критическому множеству, и не отвергается в протйвном случае. Такое принятие или отбрасывание гипотезы не дает логического доназа- тельства ее или опровержения.
Здесь возможны четыре случая: 1. Гипотеза Н верна и лрпнамагтся согласно критери)о. 2. Гипотеза Н неверна и отвергается согласно критерию. 3. Гипотеза Н верна, но отггргается согласно критерию (ошибка первого рода). 4. Гипотеза Н неверна, но прпнимаепшя согласно критерию (ошибка второго рода). Для любого множества (фактических) значений параметров Ч,, т)э. вероятность отвергнуть проверяему!о гипотезу по данной критической обла- сти 5 равна лд (Ч), Чз, ...) = — Р ((кз, хб, ..., х„) ~ 5; Чк, Чб, ...) =- =~йб)(х), хз " кл Чы Чз ") (1961) Если с гипогезой Н конкурирует лишь одна альтернативная простая гипотеза Нк (т),=Чп, т!1=1)эт...„), то вероятность лд(Ч11, Чсы ...) огпгергнуть гипотезу И, когда верна гипотеза Н„называется мощностью критерия, определенного иа 5, по отношению к гипотезе Н, (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
