Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 147
Текст из файла (страница 147)
Критерии сравнении нормаль- ных совокупностей. Дисперсионный анализ. (а) Ст а т и от и к и о бъ е д и н е н н ы х в ы ба рок. Рассмотрим г взаимно независимых слУчайных выбоуон (к;„к(м ..., к;и;) из г генеуальных совокупностей с центрами 61 и дисперсиями а! (1 =1, 2, „., г).
Пусть 1-я выборка объема л! имеет центр и дисперсию 126. ПРОИЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Эти г выборон можно пассматривать к б которой, центр и дисперсия даю и ф 'ак «о ъедвневн чоз вы тси ормулами ! и - Ж1!ку, объем 5з= „, Р (лт — 1)511, 5з = 1, Х л;(51 — д)з. 1=1 Статистики 5' (с мма ная нспе , ( у Р д ерсия) и 5л измеряют рассеяние епуюрм аыбоз рок и а!ежду выборками соответственно. (Ь) Сравнение но мальных с в х совок упностей (см. также та л.. - — .о- ). сли имеется г независимых выборок из норлольнак совокупностей с центрами 61 и одинаковыми дисперсиями о(=оа, то 5', 5' » 5лс яв яются состоятельными несмещенными и оценками для дисперсии гене- в ральной совокупности оа (как правило, не энес 5а н известной .
лучайные величины (и — г) — , 'и (г — 1! — „независ ы ( — ) — „анисимы н иммот Ха-Распределения со степенями свободы п- г и г — 1 соответственно. Отметим выборочные распределения следующих статистик: (к! — «6) — (1! — !ь) / п,.п, о иьюет стоандорашзояанлое нормальное распределение ! 'в (кт — кь) — (11 — 4ь) / и!и, )г — „' и имеет т-РаслРсдслспиг с л;+ ль — 2 гтгпсняли свободы. п1 па ! 5з. ! — имеет окрослредслснпс, 3.
) 5,. ! —.-' 1 (~ — — !9 — 1, ~'=~~ — 1). !и — -' имеет г.распределение ~ 5„ ЗЛ 1 —, щаест оа-распределение, 4 'ь (ю=г — 1, щ'=л — г). 5Л 1п — имеет г-распределение Таблица 19.6.3 показывает применение этих статист к ния но мальных со р овокупностей. Доверительные границы для разности а тик в критериях сравне- можно вычислить нз 1-распределения. Случай нормальных асп е елен с Рэзличными дисперсиями рассмотрен в [18.9). (с) Д и с п е р с и о н н и й а н а л и з. В тре~ьем критерии табг. !9.6-3 средние зиачепиа 3 с равниваются путем разбиения общей дисперсии 56 на 19. 6-6. ГЛ.
19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19,6-7. 637 г 1 5' = й й~ (х!» — х) ! 1»=1 Т в б л и ц в 19.6-3 (19.6-6) Критическая область, в которой гипотеза отвергается при уровне значимости а Правераемвя гяоатезз ~(п- ~>г с, 2' !з (т= л,. — 1, т'= л » (критериб д.ашера) 5! (ив 51, 52 али 5» >21 сг ое о»2 (Ь > а) — а 3(е й» (пвна о; = о») 22 (га = л; + л» вЂ” 2) у.критернйз отметим спе- циальный слу- чай лг= !) х.— х» / л!л, л..(- и е г» 3!тй» (дано о! = о») 11=! =.. =! 2 ( азио о = а' = ..
=и ) г у=п » =- 1 (!» — Р»)2 ~( (» лр»)2 а ~ ар» (е = 1 (19.6-9) П 12 ''' 19 21 22 '' 29 х хг ... х 1 Ъ \ хи — лг х составляющие 52 и 5~~, обусловленные соответственно стптисгпи«вской флукпсуицисй внутри выборок и различием между выборками. Этот ме!од извес!ен как дисперсионный анализ; рассматриваемый здесь частный случай относится Критерии значимости для сравнения нормальных совокупностей (см. также табл 19.6-2 и 19.6-3) ! — ! 5 А ~ (ш=г — 1, аг'=л — г) (п ! > 2 а (критерий Фишера) 2 к группировке по одному признаку, соответствующему значению индекса 1, Подобные нритерии применяются в исслепованиях эффекта различных методов лечения, обработки почвы и т.
п. (16.6), [16.9). дасаерсасааыв анализ длл еапчаираека аа деда признакам (случайные блака). Рассмотрен го выборочных значений х.», рзсполагкепвых в таблицу Не' и введем средние па стрвкзм х(, средине па столбцам х» н общее сречцее х с помощью формул г г х,» = — ~'~ х), х — ~ ~ кт. (19 6-7) 1= 1»=! 196 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЦЕСКИХ ГИПОГЕЗ Общая дисперсия рззбавзетсн следующим образом: 1 = — ((г — 1) (Š— !) 52.! (г !) Е5( ! г! !) 52 ) е 1 жч Мч „(дисперсия, абжеаееганая (г !) (1 !) х г" (хе» «!. х !2.(- к) ф еакжианаей енегелра 1=!»=1 стоек и свшлбг!ае), г 1 —.)2 (датеогиа нежди строками), е'= 1 5И= — ь гх — х)2 (дасаепсая лгежди стсивцала) 11= — з (21,— х»=1 Если случайные вели ~ины х,.» распределены нормально с апниякавыми цясперснямя, то случайные величины 5, 51 а 5!! взаимно ееззвисимы и имеют ь -рзсп едел е' ь -р пределенпя со степеиЯми свободы (г — 1)(! — 1), г — 1 в ! — 1 соответствеаео.
Статистика 5!2(5 имеет пьрвспределеиие с ж = г — 1, гп' = (г — 1)(е — 1) и служит для проверки равенства средннк по строкам Мхв =!о тем же способом, чта и в табл 19.6 3, Аналогична 5!21/52 имеет о'-Рзспределевие с гв=-Š— 1, т'=(г — 1) Ы вЂ” 1) и служит для проверки равенства средник по столбцам Мх 1, —— 3».
19.6-7. Критерий согласии у' (см, танже табл. 19.6-1), (а) Критерий )(2 контролирует согласованность гипотетических вероятностей р» — — Р(Е») случайных событий Е„Е„..., Ег с их относительнымн частотами й»=й (Е») =п»(п в выборке из й независимых наблюдений, Во многих приложенлях каждое событие Е» состоит в том, что некоторан случайная величина х попадает в определенный классовый интервал (и. !9.2-2), так что критерий уз позволяег сравнивать гипотетическое теоретическое распределение величины х с ее эмпирическим распределением.
Согласие нзмеряетсн с помощью статистики распределение которой при н со стремится к роспределеишо уз с т=г — ! степенями саободь!. Если все пр» ) !О (для этого прн необходимости обьедипяют некоторые классовые интервалы), то критерий уз отнергпеле гипотетические вероятности с уровнем значимости а при у у.'( ц(т), Если т~30, то вместо йюраспределения можно пользоваться нормальным распределением величины )г 222 с центром )г 2т — 1 и дисперсией 1. (Ь) Критерий Ез с оцениваемыми параметрами. Если гипотетические вероятности р» зависят от д неизвестных параметров т), -, !' 2 ..., 2)о, то сначала находят совместные наиболее правдоподобные оценки этих параметров по данной выборке (п. 19.4-4) и подставляют полученные значения р»=р»(т)1 Чм " ° т)9) в формулу (9).
При достаточно общих условинх (см. ниже) статистика у сходится по вероятности к уз с т=г — д — 1 степенями свободы и критерий уз применим с т=г — у — 1. Критерии этого типа проверяют применимость нормального распределенняг распределения Пуассона и др.
с параметрамн, оцениваемыми по выборке, юд, стйтпстнкн для многомерных распределения 641 13.7-4. 640 гл. ю, мйтемдтнческйй стйтнстикй ЮЛ.4. и дисперсия каждого выборочного среднего Х,, и выборочной дисперсии !п — — ',. аз даются формулами (19.2-8), (19.2-13) и (19 2-!4); дополнительно отметим формулы О!17=.„- [М (х,. — 31)з (х. -сз )з — )ьз(]+ О Я Г 1 соч (1и, 1(7) = „- [М(х; — 31)з(ху — 87)з — 3(717 ]+О ( —,~, (!9.7-10) соч [!и, 117]= — [М (хг — еьг)з (ху — 87) — з изл(7]+О Мга=р;)+О( — ) . (19.7-П) (19.7-12) Огу имеет порядок 1,'л при возрастании л, длн многомерных нормальных распределений (см.
также (л — 1) (л — 2) ... (л — ч) М бе1[10] = ''' бе([, ), т(2л+1 — ч) (л-)р(л-ур ., (л — ч)* 0 бе1 П.. ь г(] (л-ч) (л — ч+1) лаз п. 13.7.4) (л>т. 2) беы[Х, [, где х — 1 и "* йз (о О, и )О, — 1<р=р(з<!). Плотность распределеияя выборочного коэффициента корреляции гы — — г (п. 19.7-2) равна л — 1 е=-о 1 ,)л-з Еб (\ — рте) (1 рх) 2 (1 — гз) 2 ь о)л — (у) б* ( ! «7< ) и равна 0 при [г[ 1; отметим формулы Мг=р+О(ч, От=О '' +О( — „, ) (19.7.16) Заметим, что 1Р„,л,(г) не зависит от 31, Ее, ах, аз; лз 4.
Полезно ввести новую случайную величину 1 1-',-г у=-!п — ' 2 1 — гь (19.7-!7) (13.7-13) 19.7-4. Выборочные распределения в случае нормальной совокупности (см. также пп. 18.8-6 и 18.8-8). Для случайной выборки из многомерной нормальной совокупности выборочные распределения и критерии, содержащие только выборочные средние х,. и выборочные дисперсии 111=3,', получаютси непосредственно из п.
19.6-3. Остается исследовать статистики, которые аписы. вают стохостическис связи между случайными величинами хо в частности, выборочный коэффициент корреляции и коэффициенты регрессии. (в) Распределение выборочного коэффициента коррел я ц и и. Рассмотрим случайную выборку (хм, хзь( хтз, хзз; . ° 1 хън гзл) из двумерной нормальной совокупности с плотностью распределения (р (хт, хз) = ехр ! — — (и',— 2ритиз+ и])~, (197-14) 2па,а, У'1 — р* ( 2 (1 — рз) которап при л ) 10 распределена приблизительно нормально с центром и дисперсией Му — --1п — '+ 1+р р Оу=— 2 1 — р 2(л — 1) л — 3" Поведение статистик г и у при различных значениях р и л представлено на рис. 19.7-!.
Я- б 7 б 5 3 2 О 0 '0 03 Об-04 07 О 02 04 Об 03 70г 7 0 1 У а! Ю Плотности Распределении статистик г и у, примеинеч Финвеитз нерпе"Пии р Двумерных норман~них распределений еок кю- нь Если р и ч' — вне ~енин статистики (17), вычисленные нлн двух независимых с учай1к выборок объемов л н л' нз одной и той же нормальной совокупности, то у — и' л нь ~ест прнбхинсеино иормахьное распределение с аентром О и дисперсией ~ — + —, 1 1 л — 3 л' — 3' (Ь) г распределение. Критерий некоррелированности велич и н. В ва)ином частном случае Р=О (гипотеза некоррелироаанности величин!) плотность распределения (16) сводится к Г( — ", 1) гуг л (г)= — — =(1 гз) )гп г( 3) ( 1 < г < 1). (19.7-19) В ялом случае величина 7=] л — 2 — — имеет 1-распределение с л — 2 г:пспгчнми свобода (табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
