Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 144
Текст из файла (страница 144)
Вводные замечание. Здесь рассматриваются распределения стз. тисп!к, часто применяемых в качестве состоятельных оценок для соответст. вующих параметров генеральной совокупности, В п. !9.5-2 речь идет о приближенном расчете выборочного распределения для больших выборок, в пп !9.5-3 н 19,5-4 — о распределении статистик, получаемых нз нормальных совокупностей. 19.5-2. Аснмптотичесни нормальные выборочные распределения (см.
также п. !8.6-4). При достаточно большом объеме выборки выборочные распределения многих статистик можно аппроксимировать нормальным распределением с помощью следующих теорем, получаемых нз п. 18.6-5. (а) Пусть статистика у(х,, хе, ..., хл) прсдстаеима е виде функции у=( (ты т„...) от гыбарачных моментов та, и пусть 7 (т,, тв, ...) определена и деаждй непрерывно ди ффсренци ругма е окрестности точки т, = Р(, те =.
р„„ Тсжда выборочное распределение статистики у при и со асимлтотически сопя! ) ! нормально с центром 7(РП ры ...) и дисперсией вида — л+О ( —,~). Зта теорема применима, н частности, к выборочному среднему х, к выборочным дисперсиям зз и Юя н ко всем выборочным моментам а, н т, (п. !9.2-4).
Аналогичная теорема применима к многомерным распределениям. (Ь) Рослоеделенн» хо»хдоа »иберо«чой кеонтлли ХР осияшнотл«если нормо»с ю Р (! — Р) с нелтаол хр и длслсосиеа,, если только генеральная хво ллиль хр едчьссл. л се* (хр) ' еслло и если лрошшдллл ф'(х) сищесжеуст и лслоериено е оклеен>ности точки х=хр Вта теорема применима, в частности, н выборочной ыелнвие Х ) .При аналогичных усло.
виях любое совместное рвспрекеленне выборочных кввнтнлей (й, сяеховательио, например, выборочной нитеркнартнльной широты) также является асииптотнчесни нормальным. ») Функции Ь и )и Ь достигают ывкснмуыа одновременно. 19.5-3. Выборки нз нормальной совокупности. Распределевия ух, ( и п'-'. (а) В случае выборок нз нормальной совокупности (нормальных'выборок) нсе выборочные значения являются нормальными случайными величинами и многие выборочные распределения могут быть вычислены явно с помо!цью пп. !8.5-7 и 18 8-9.
Предположение о нормальности генеральной совокупности часто опирается па центральную предельную теорему (п. !8.6-5; пример: ошибки измерения). Для любой выборки объема п нз нормальной совокупности с центром 6 и дисперсией пв х — х, 1) —, выест стандартизованное нормальное распределение о >П! (и-распределение, п. 18,8-4); .с — 1 х — 1 2) — — =, (отношение Стыодента) имеет 1-распределсэ )~л ч'ь'« — ! пие с и — ! степенью свободы (табл. 19.5-2); (л — !) 6" лч ! 3) „, = —,=оп 2,' (хь — х)' имеет Хе-распределение Ь =-1 с л — 1 степенью свободы (табл. 19,5-1); х — 1 4) — имеет стандартизованное нормальное распределение; .1-- 1 х, - й $/-л - ! 5) †' = †, у „ имеет 1-распределение с и†1 степенью свободы; ° -х17' 1 6) —, г —,= — имеет г-распределение с т=-л — 2 степенями свободы (п.
19.7-4), лхч ! чч 7) —,=- -,- хн (х; — 6)з имеет украспределенне с и степенями 1=1 свободы. Дополнительные формулы см. ниже а табл. !9.6-1. Табл. [9.5-! — 19,5-3 описывают распределения уя, 1 и о'; кнантнлн этих функций табулнрованы (см. табл. 19.5-4 — 19.5-6). (Ь) Выборочное среднее х и выборочная дисперсия 62 незаеисил!ы тогда и только тогда, когда рассматриваемая выборка получена из нормальной сово- купности, г/ Для кажной нормальной выборки х, зт и т,т, 2взаимнонезависимы для «П,л, ессх !.; для ус>=таис )', ух= - ' — 3 имеем >яч рб Ь й 24л (л — 2) (л — 3) й~ л, Г Уе (л 1)ч(лфг)( 4 Ы 19.5-4. Распределение размаха выборки (см. также пп.
19.2-6 и !9.7-6). (а) Если генеральная совокупность имеет непрерывное распределение, то размах ю случайной выборки объема п имеет плотность распре- деления сую(ш)=п(п — 1] ) (Ф(х+ш) — Ф(х))ь зчр(х)чр(х+!а)йх, (19.5-3) 19.5-5. гл и млтсмлтичгскля стлтпстикл 621 19.5. ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ я я ПУсть х= — „гэ х( и За= — ч Р (х; — х)1 — соответственно выбоРочное 1= ! !=-1 среднее значение и выборочная дисперсия, Тогда Мх=ь, ()х= ' " —, М59= и', М вЂ” 1 ь' Ль — 1 (19.5.4) Мш.= йяо, Пш = с,'-',и'1 ()Зв )ч (ль — я) Х (гг — 1)' ( Ч вЂ” 2) (ж — 3) я (я — 1) х (2пльв — о(п-1-1)(м П (л !)()у где у, †коэффицие эксцесса. Зти формулы прп Л) со приводятся к формулам пп. 19.2-3 и 19.2-4.
Бсля коэффвцвэцтом эксцесса ыожяо пренебречь (Ч, О), то прв больших М велв- 2/г(гь — 1) в х — а ГЛЬ Ья — 1 ! чина 1 у — вмеет в первом првблнжввцв 1-распрепеленве с 1 У г) — а Ль — я ! чв лом степеней свободы, 2 (и — 1) П =(Ь вЂ” )в т л 1) („+ ) « — 1 Мш=(Ь вЂ” а) —, л+1' (!9 5-5) Т а б л в ц а 19.5-1 ув-распределение с т степенямн свободы (рвс, 19.5-1 в табл. !9.5-1; см, также пп. 15.5-7, 19.5-5 в 19.6-7) ДВ й( 0 В Л б В 15 )В )Л Рис, 19.5-1.
Х'-распределепве Лля раалвчвых эвачеяве т. о (а) Ед (! ) — = ьгкь (т) (1 ' = ~ Г (ьл)2) прв усе, т — 2 У !' 2 а - прв У>0. 2т!2 (19.5-8) Зта функция табулирозана для некоторых видов распределений генералыюй совокупности (18.9). (Ь) Для нормальной генеральной совокупности среднее зиаягииг и средигквадрапшчгское отклонение размаха сг пропорциональны среднему кгадритичгс. коми отклонению а генеральной совокупноспш: Ь„, г„н гп)йя табулированы нак Функции от и; ш)йя есть несмещенная оценка для о. Средний размах '+ '+'" ) ьл ш= т для т случайных выборок объема л имеет при т со асимптотически порах о* мальное распределение с центром йяа и дисперсией †" ; щьйя является нрп этом несмещенной состоятельной оценкой для а.
(с) Ллл равномерного распределения генеральной совокупыоспш в иктгрвале (а, Ь) н ш Я есть несмещеннап состоятельная оценка для Ь вЂ” а. в — 1 Заметны, что арифметическое среднее нз наиыеньшего и наибольшего выборочных значений есть состоятельная несмещенная оценка для Мх, (В) Для любого вепрерыввогв рагпреаелевия геваральяоп сввояупвогтн вэровтяэьтэ того, что по крайней мэра доля г всае сввовупвоств расположена чэльду врааявмы эяэчэввамв хш)п и «п,ах данной слУчайной вмбоРкв вбьама Я, Равна ! — лг +(л — 1) г (19.5-6) 19.5-5. нйыборочный метод для конечной совокупности.
Пусть дана конечная совокупность Лг элементов (событий, результатов измерений или наблюдЕВНй) Е, Е, ..., Е , КаждЫй ИЗ КОтОрЫХ ОтЫЕЧЕН ОдинМ ИЗ Л( ( ьу 1' В' ''' ' г)' различных спектральных яначений Х, Х, ..., Хл( некоторой дискретной случайной величины х (п. 18.3-1). Функции р (х) определяется значениями р(Х )=Аь 1)у, где А) — количество элементов, отмеченных спектральным знгО= ь чецием Хо Математическое ожидание и дисперсия случайноп величины х равны 51 М Мх=р=- — ' '~~ Л',Хп 5)в=ах=-у ~~ Л)1(Х вЂ” $)' (195.7) 1=! 1=1 Пусть (х„хю ..., х„) — бесповторная случайнап выборка объема п. Здесь х рассматркваетсц как случайная величина, соответствующая числовой отХ1 метке первого случайно выбранього элемента, ха в второго элеыента и т.
д., причем элементы выбираются без возвращеиая. Любая из случайных величин х; имеет то же распределение, что и сама величина х, однако, в отличие от выборки кз бесконечной генеральной совокупности, вгличилэ) х( и хт ле являются нгзивисимыми, Имеем Мх)=$, ()х)=оа, о' ! сот (х(, х)) = — ы 1, Р (х( х)) = Р) (Ь) Мг= я, О„=.гт, Мода ьь — 2 (т ) 2) Момеят поряляа г огвосвтгльво в= О: т (т+ 2) ... (т+ 2г — 2). Семяивваряант порвдва т 2 (г — 1)'яь, Коэффвцвемт асямметрия 2 У2)т. Коэффицвент энсцесса !2)ьп Хараятерястячгсвая фувяцвя (1 2ьг) — ьх)2 Рдб. ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕДВЛЕНИЯ ГЛ.
19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Т а б л и ц а 19.5 2 (продолжение) Табл и ц а 19.5-1 (продолжение) г га Ст —; ! (~ )гтп Ы) гг, ()') =.= лг Од .=, (т ) 2) (Ь) Му=о Ог! .1), Коч;гбппьеот аспгпгстрпп О, (ог) 4). д = — Ог (с) Типичная х, у=-!= г'- (х! -)- х) +... -(- х,"л) ги (т) = — ! — (Уу: ! + и )Х (т) 361 Р 2 Р -и 19.5-3 [с) Типичная интерпретация. Если т взаимно независимых стандархнзоваяных (х, — 6,) случайных величии ий — — имеют нормальные распределения, то сумма их а, КааДРатан Х'= ~и иа ИМЕВт Х.РаСПРЕДЕЛЕНИЕ С т СТЕПЕНЯМИ СВОбОДЫ. й=) ги если ~' итй выражена е гиде суммы от г кгадиатичиых форм у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
