Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 146
Текст из файла (страница 146)
также рис. 19.6-1, а). Г бфик вероятности 1 — 6 правильного отбрасывания гипотезы Н в зависимости от вероятпосги а ложного отбрасывания ее называется операт вн н ой характеристикой критерия (рис. 19.6-1, д; см. также п. 19.6-3). 19,6-8. уровень значимости. Правило Неймана — Пирсона отбора критериев для простых гипотез.
(а) Желательно применять такую критическую область 5, чтобы вероит'- н сть л (т), Ч, ...) была мала, если проверяемая гипотеза верна, и велика о 631 19.6. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 1б.б.б. Ллы. сти при пдк ои(- дор тле писмит одри- рируеэы у тосплкп кп!., Вор котке с ы,д коз«косо ппипотио до обоосмо !при поподокио Ргн д оюу область ипомиспики У сипотсэо .Но отбрпкыдоотт) ар д)дрпптипомь у-д) прпдипзпщп птбппсвбпк грпптппстз а рнжиогп б) оп дрпгыдпнип Рнс. 19.6-1.о) Проверка нулевой гвпотеэы Лэ по сравнению с простой нонкурерующей гопотсзой Н, с помощью статистики у = у(к„ к, , к,).
Ц Опервтввпая хзрактериствка крйтерияТ (ошибки первого рода) есть лд(Ч, Ч, ...)=а; а называется уровнем значимости данного критерия: критическая область 5 проверяет простую гнпо. тезу на уровне значимости а, В слу ше дшкпсшнык случайных величаи х, к,, к нельзя задавать а произ. 1 а'"' л волю;ын образом, можно лишь указать верхи|ею границу для а. Критическая область, орнменяеная длн проаерзв сэожной гапотсвы Н == ((т)о э), ) ш Р), будет давать, вооа(е говоря, разлв ~вне уроавн знатности для различных простых гипотез (номбвээпнб паРзмегРов Ч„иэ, ..
), ДопУснаемык гипотезой Н; можно Указзть точнУю веРхьюю грань этих уровней значимости. (Ь) Для каждой выборки объема н н данного уровня значимости сс; 1. Наиболее мощный критерий для простой гипотезы Ио еи (Ч) =Чш Ч)=Вы..,) относительно простой альтериатииной гипотезы Н, =— (т),=ЧП, т),=11,1, ...) определяется такой критической областью 5, которая дает наибольшее значение вероятности д (Ч Ч ° " ).
2. Равномерно наиболее мощный критерий есгь наиболее мощный критерий относительно всех допустимых альтернативных гипотез; такой критерий не всегда существует. в противном случае. Пусть критическая область 5 применяется для проверки нропглпй гипотезы Н,=(Ч,=Чы, Ч«=Что, ...) («нулевая гипотезаь), и пусть эта гипотеза верна. То~да вероятность напрасно отвергнуть. гипотезу Н, ю,б.
пронеркд стдтистических гипотез 19.6-5. 6ЗЗ 632 ГУЬ 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА З, Критерий называется иесмещемиым, если пу (Чы Чз>ь "') для каждой простой альтернативной гипотезы Н;, в противном случе кр р ае критерий будет смещенмым. Наиболее мощный несмещенный критерий относительно данной альтернативной гипотезы Н, рави номерно наиболее мощный несмещенный критерий выделяются из нгсмгщгнлык критериев, как указано выше, Критическая область 5 для наиболее мощного критерия строится так, чтобы для всех выборочных точек (х>, ха, ..., х„) отношение правдоподобия 49(хл хз " хп' Ч!а Чзз " ))ф(хю хз " г хя! Чп Чщ ") или Р(хы хю " хп: Чгз Чю ° ))Р(хт хз " хп! Чп Чм ") было меньше некоторого постоянного С; различные значения С будут давать «лучшие» критические области при разлнчньщ уровнях значимости а.
Равно- мерно наиболег мощный критгрий представляет особый интерес при проверке гийотезы На по отношению к сложной альтернативной гипотезе. На практике б е критерия решающим фактором может оказаться легкость вычисления. бъ- Обычно можно увеличить мощность каждого критерия путем увеличении о н- ема выборки и (см.
также п. 19.6-9). 19,6-4. Критерии значимости. Пусть проверяемое свойство генеральной совокупности сводится к л!ножеству значений параметров Ч>=Ч,», Ч»=Чю, ..., поторые сравниваются с выборочными оценками этих параметров. В качестве основы критерия пробуют построить такую статистику У=У(хл кз " хя' Чш Чю ") — (Уы Уз ' Чш Чза " ) ( ) значения которой измеряют отклонения илн отношения сравниваемых пара- метроп генеральной совокупности н выборки. Прн этом простая гипотеза Й вЂ” 'Ч =т,, =Ч, ...) отвергается с данным уровнем аначнмости а («отклонение» значима), если выборочное значение у попадает аиг допустимого интервала (ур ( у ~ уу, ), для которого Р (у, ~ у ( у, ) Рт — Р, = 1 — а. (19.6-3) Таким способом определенные критерии часто называются крнтернямн значимости. Формула (3) опргдглягт У), =у>, (т), Ч, ...) и у, = (, Ч, ...) как явантили выборочного распределения статистики УР !Ч10' Ч20' (,, ..., х; Ч),,, ...).
Часто оказывается возможным выбрать стас,, ... Важ- тнстнку у так, чтобы ее квантили УР были независимы от Ч, Ч, ... аж- ные примеры приведены в табл. 19.6-1 и в пп, 19.6-6 и 19.6-7. В приложениях я вон»рплю хаю«тва гранвцы у н у, определенные барм>лпй !3), азыза!от«я границами допуска прн каннам урвана зйачнмастн а, а нптарзаа (, у ) называет«в ввтврвзлпм яппу«аа !«м.
также рнс, 19.6- ). а . -2 "1, ир,) 19.6-6. Доверительная область. (а) ПУсть постРоено семейство кРитических областей За(тц, Чз, ...,) Дли провер ве ки множества простых гипотез (допустил!ых комбинаций параметров Ч\ Чз ) при некотором заданном уровне значимости а '). Тогда для любой фиксированной выборки (хт= Хл,..., х„ = Х„) множество 7)а(Х1, Хз.
. . Ха) комбинаций паРаметРов (Ч„ Чз, ...) («точек» в пРостРанстве паРаметРов), сог- ласуемых с данной выборкой, есть доверительная область уровня бп 1 — а называетсн доверительной вероятностью. Доверительная область содержит все допустимые комбинации параметров, принятие которых на основе ') В случае днскратнпгп распределения арнтняасяна пб.застя В (ч, ч, ...) зпрадаляют«я для уровня звачнмостн, па нреазсхздли!«га а, Таблица Ше! Некоторые критерии значимости, относящиеся к параметрам 3, а' нормальной совокупности !сч. тзяжа пп. 19д-з.а н 19.6-4). Выбпрян прадпплагзютсы случайнымн. Квантнлн находятся пз таблицам.
Прн большом объеме выбппхн прнманвмы аппрпяснмацвя авантвлай, данныа в табл. Ш.5-1 я !«,5.2 ') КРитическая абаз«ть и атбрасычання гипотеза прн даннам уровне звачнча«та а !-а для сложных гнпптаз> Мпщвп«ть яз !Е а> Прим«чапая !д)>!и'1 =и 1 — —- 2 !и и ) а)а а)>сн.
7 ! 'рп '!ат ! =) а))ся $ = 1* !П нзва- «тна) к — 1, аг>ся $1» 4П нэаа- «тна> и) и1 Фи (иа+ -- ) 1»с йа !а язза- стнп) и< и и 1-а Простая гнпптаза; дзустпрпнннй ! яря таран». См. прямача. вна а ярнтарпю 1 1 а= =! а«) 1 — —— 2 4ш = и — 1) х «а ВУУ'а Применяется йюр. мула И9.6-1) и) 1 !а! =- и — 1) Слпжаыа гнпптазы; «пднпстарпннвй 1-врыт«рай». См.
прн. мачанва а крнтарням 2нй у<! а 1 — и !т = и — ! > Проста» галат«за: на существует рачяпмар. нп нанбппеа мощный ярвтарнй а* = аа Б !я — 1) —. а- Р)Х > !— ,, Х) — а~ у) х! !т =и — 1) а«аа 9 Р )(Хз < — Э Ха~ В < Ха )т = я — 1) а« аэ ') Ва мнзгнх таблвцах !1,'1 пбоэначанп через 1 '1-а ') ЗаМ«тНМ, Чта З табЛНЦаа ЧаЩЕ ДаЮтСЯ Х1 а, ЧаМ Ха, дует внаматальнп проверять уяазавня к таблицам. в язждпм случае схе- « и н нч «" и.
щ чо «,а а ос ма м сс ьч с мз в „д 'аз с ам сс и< х,",7, *> (т =- и — 1) У>Х 1, 1 2 .~х'3«ха)ч~, ФР)Х >;, Х а~ Прпсгая гнпп»а»а Наиболее мпи)ныв и«- смгщ«чний хрвтарнй; разномерна наиболее мощный прнтарнй на сущз«твуат Слзжныа гнпптазы. Если дону«!ямы« гяпптазы пгрзннчаны усппвнам « = Н для аратарня 2 нлн 1 1, для яра»ария 3, тз любой нз этих крите.
рнав будет рззномарнп нанбзпаа мощным дчя простой гяпптззы 1 = 1« Сапжныа гнпп!азы! аслн допустимые галат«вы пгрзна !«ны условием и' аз для й хрнтарнн 8 влн а аз для ярнтарня 9, 5 тп любой нз этих арнтарнзз будет равномерно ванбплаа мпптным для простой гн. пптазы а' = аз !9 С.а. 634 19.6-6. ГЛ. !9.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Т а б л и ц а 19.6-2 Г л= — ~~~ л; к пт к — к;ь=-. — ~~~ л х. (19,6-3) =16=! доасритсльныа нитсраал (т, Ч, та), Доасритсльиая вероятность 1 — о = Р, — Р, Параметр Ч, и 66 1 1=-1 — а = — [(~ — ) 5'+(» — 1) 5-", ], о и а — 1 к — и 9 (о' изасстио1 (19.6-6) 5 к — 1 4 (о» неизвестно! где ,и — 1 ип — ! 5 — 'н Ос хр в хр ! Рис. 19.6-2. Построения доверительных иптсраалон.
л! и,. 1 жт 5'= — а'= — г (к ь — д )а я. — ! ! и. — 1 с с с В =1 (1= 1, 2...., г). ! 31= — Г КЫ, и,. е ! (19,6.4) Доверптельные гремины для нормальной совокупности Прн бопьмик л примаиима аппроисимация, даииан а табл. 19 6.1 — 19,6-9 данной выборки имеет вероятность Р ((Хт Хз " Хп) ~ 5а(Ч» Пм ")) ~ зв1 — а.
(Ь) Доверительные интервэлы, построенные по кратер и я м з я а ч им о с т и (са, также п. 19 6 4 и табл. 19 6 2). Чтобы найти доверительные области, связывающие значения одного нз неизвестных пара- метров, скажем, т(„с данным выборочи ным значением У=у(Х„Хз, ..., Х„) у /%! подходящей статистики у, обратимся В Рз ! к рис. 19.6-2. Начертим нижнюю и верхнюю границы допуска ур (111) и ь р( с! ур (Е) в зависчмости от т) для данного ф у У уровня значимости сс. Пересечение этих граничных кривых с каждой прямой даберилекьныл у= У определяет нижнюю и верхнюю унмербак ! оно Рбак границы Тт=у, (У), Т,=уз (У) довери- тельного интеРваЛа Ро = — (У,, Тс) УРовна $ оъ Довервтельвый интервал содержит , 'ут- уст такие значения параметра за)т, принятие которых на основе выборочного значения у= У имеет вероятность Р (ут, (т)1) ~ У ( у(, (Ч )) аз 1 — съ !9.6.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
