Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 150
Текст из файла (страница 150)
также пп. 13.4-5, 18М-6 и 13.4-9), где гр (зр,' х,, хз, ..., хл) получается из ср(хт, хз, ..., х„, 'зы зю ..., зш) с помощью формулы Байеса цш,(з)," з )х) " * х )=- в«! (х,..., хл)з...,з )р (з,...,з ) ! Чг)з (хр " ' х )з! "' ш) ег( !' '" ' ы) 1"' гн з П р и м е р. Излгрение слнсайгссй ггллчинм ла гйслг глрсссгского нл!«со. Нада оцснип случайнуго зе.гичнну з по выборке (к, х, ..., х ) измеренных ааачеинй р и"'' л хй=а-';л)„ если дл» величняы а известна платность априорного распределения вероятностей а опгоситсльно величин л известно, что оин везахшсяхгы мсскду собой и от 3, причем й Г 1 е з(г)хр х, ..., х )= — ехр~ — — —, !з — 1)'1, 19.9.
ЗАДАЧИ СО СЛУЧЛЙИЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ! и» хл) = аг РН аз) ( и 1)-г Паттону оценка по ыетояу ианыеньши«кзадргтоа !минимизеция М 1р- зу ц дит к заачению звачевнй хл только через статистику х !выборочное ОЦЕньай; СМЕЩЕНИЕ ЗОЗРает*ст С ВОЗРгетаниЕЫ Рн И Убм. поаученной оценки охсидаемый риск равен РН а," — з)' =- —- ( л „РН л а,ц+ вж(-2, 20.2. ЧИСЛЕ)!ИОГ РШЦЕИИЕ У!'АВИЕИИИ ГЛАВА 20 ЧИСДЕННЪ|Е МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.1. ВВЕДЕНИЕ 20.1-1. Вводные замечания. Глава 20 содержит описание вычислительных методов, панчем упор делается на методику, а не на схемы или программы расчета.
В пп. 20.4-1 — 20.5-7 дается исчисление конечнык разностей. Разностныс методы представляют интерес нс только для численного интэгрпровання дифференциальных уравнеивй, но также и в тех математических моделях, где переменные изменяются днскреш1ымн шагами. 20.1-2. Ошибки. За исключением возможных промахов (грубых ошибок) в приблии<енвых вычислениях встречаются ошибки начальных данных, ошибки округления, вызванные использованием конечного числа знаков, и ошнбни усечення, вызванные конечной аппроксимацией бесконечного процесса.
ВлняЬс! нне малых ошибок Ах; нли малых о<носительных ошибок — „— ' на результат )(21, 2„...) может быть оценено с помощью дифференциала (п. 4.5-3); так, Ь (х<+хз) =Ах!+Ьхз, А (х<х ) =х, Ьхя+хе Ахп (20, 1-!) 1,'-. ((=' Ь(х — л») ! ! Ьл«1-1-! Ьл,< Ь (л,л,) Ьл, +Ьх„ Возникновение и распространение ошзбок в более сложных вычислениях составляют предмет продолжающихся исследовании; точные результаты получены лишь в отдельных классак вычислений. Желательно сваевременао обнарун<нвать прок«ахи и ошибки с полющью различных программ контра.«я (например, подстановкой приближенного решения в исходпос уравнение), осуществляемых на кая(дом этапе расчета.
В качестве весьма грубого прак)нчсского совета можно рекомендовать сохранять на две значащие цифры больше, чем это оправдывается точностью исходных данных илн требуемой точностью результата. В сходящихся итерапионных процессах (пп. 20.2-2, 20.2-4, 20.3-'2, 20.8-3 и 20.9-3) элияние ошвбки уменьшается, за исключением ошиаок, нарушающих сходнмость.
ныннсл«пельнвя схеыэ ннэынвется устайннной, еслн ошебкн округления (вбсолюгные нлн относительные) в нсхадвых данных н прн расчете не вызывают еозресглшп«.го зэ)ектв полее точна, определенве устойвнностй вывнслнтельноп «хенн чв«то аквзыввсгся нознажнын связать с всннптатнческой устойкнеостью решення рвзношваго урзннення <ренуррентного саатношсння), кок в и. 20.8-0, Выесто слова «ошнбкз» шота прныеня«ос «погрзпп«ость», 20,2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 20.2-1. Вводные замечания. Численному решению уравнения /(г) =0 (20.2.!) даян<но быть предпослано хотя бы грубое исследование вопросов существования и положения корней, нх оценка н т д.
(сч. также пп, 1.6-6 и 7.69), Решения могут быть проверены подстановкой. е 20.2-2. Итерационные методы. (а) Данное ) рвш«синс (1) приводят к виду 2= 2) (2). В<юирая нека!орое нпкалояое приближение г ., вычисляют пос)гдова«пельные 10) приближения г!' '1» й)(г!/1) (/'=О, 1, 2, ...). (20.2-3) Слодимасть таких приближений к искомому решению г требует отдслыюго исследования. Терпежи о сжимающих атобрижеиинх п. 12.5-6 касто паэволяшп успшнот(ть сходило«ть и о<(гнил!о быстро«пу сгодимоспш. Итерации закапчива!от ! 2(Л вЂ” И< !1 ( тогда, когда отношение ., стшювнтся достаточно малым.
<е!Л« Признак сходнмостн н оценка ошнбкн. Если существует такал обласлы О о»омллексной плоскости и такое лоложител»ное числа М ж 1, вто 1«э 12 ) — Ч (2») 1 Щ М ! 2, — 2, ! 'длл всех лп 2, иэ О, и если О содержи«п е! !, И 1 и вге тонки г, удовлетеоряюн<ие нелавенплеу я</! 1 ~ †" ! 2</1 г!! — Ч ! 1 — М (20.2-4) длв каждого звоне»ил / т 1, то нриближсния <3) сходятся я некая«оному ре»ению я ! равнения 11); зто оси«ение удовлетвсолет нсяавенстоу <4) и лвллется едикстяенним о О. Эвнетнн, чта правая часть неравенстве (4) дает верхе«ою грняь ошнбкн !кто пряблнження г<Л. (Ь) Возможны различные спогобы приведения уравнения (Ц к виду (2).
Вот некоторые итерационные форе!улы, основанные на специальнол< выборе функции ф (2): ,<! -; !1 2!/! й/ (,! Л) (20.2-5) г!'4 )=г.!! — (л!етод Ньютона), ! ', /(2(/1) — / (,(Л) 2(! 1 !=2!Л вЂ”вЂ” (20.2-7) ; (,!Л) 2 (/ (,(1)))л (20.2-6) (20 2-Зо) ! /и (г) ! 'ей С (в 1 ~ г — з(01 ! -1 — - (! — э'1 — 2АВС), АС <20 2-нд) <га.э-зс) ело димо«л«и о«о шкомый корен» г одовлетаоряет лоследнему неравенству и быстрота метода Нэ«ато««о окенивпется н.раве»плво» 1 е — е<Л (: — <2А ВСЕ В = 1, 2....), ,/ 1 <эа.э.э) Отнеткм, нто здесь ннсет кесто отнжнтельна быстрвн скодвыость.
Втн нтервпнонные форнулы особенна удобны прн еьшнсленнн дейстентельнь«х корней, для похождения коыпленсных корней дейстэнтельных уравненнн надо ныбнрать конплексное начальное прновнженне г!««), 11рнэнзн сходвно«тн н оценка ошнбкн нз и 20,2-2,в прныеннны ео всех слунэлх. Формула Ш) епь квотный случаЛ общего ыс»адн Ньютоне (п 202-З), Если ареиэеод. ная /' (г) нелрерыено диффере»нируемз в рассмитлиоаемои обло ти и если можно ноити л«акие лоло»отел ные висла А, П, С, вто 660 гэ а=а, Рта (а) 0)! (20.2-101 (20.2-11) (20.2-!2) (20.2-!З) /(г) =и,г" +п,г" т-!-...+а„,г-[-а„.
(20.2-16) 2[1+ '1 = г 1[1- — / (2И) . и-! (20.2-19) (20.2-!О) "64 ГЛ. Ю. ЧИСЛЕНН!1Е МЕТОДЫ П КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ гэ.2.2. П р и и е р ы. Примененве метода (б) и уравиеяиям 17« — а = О, !!»э 1/а = 0 и гл а о дает итерационные сшрмулы вычисления 1(а, у а и г[1+!1 = «И (2 — агИ) — при [ со, О <г[01 < —; ! О а «[1+ 1= ! /гИ+ . ~) Уа при [ са, «[01) 0 (алгопитпм серена), =2', «П+!1= АД ~1+, 1 уа при 1 са, 0 <г <1'за, а («И)«1 [01 2а 1 «[1(-И =! 1 — ) гИ+ . у'а при 1 со, г[01 мО. ('11)" ' (с) Правило ложного положення (гейп[а [а1«1, метод с ек ущ их). Правило ложного положения отличается от приведенных выше !1-э )1 итерационных методов тем, что для определения нового приближения г игпользуют два предыдущих (возможны и более общие схемы, использу(ощие несколько предыдущих приближений, см.
п. 20.2-4, 6). Для решения уравнения (1) выбирают два начальных приближения 2"., г и строят последоваго) [ Ч тсльныс приближенна [[ф!1=2[[1 '['1-'[[ '1 /(,И) Д ! 2 ...,), (26,2-140) Для отыскания действительных корней действительных уравнений приближение 2!'~ '1 обычно строят по г[/1 и г[1, где Й=ЬП) </ — наибольший индекс, такой, что / (г["!) и /(2[71) имеют разные знаки: (20, 2-14 Ь) -" — 1(«П)) -1(,[а)) / ' В частности, разные знаки должны иметь /(г[ ) и /(г ); при указаниоп 01 [11 . схеме обеспечена локализация корня между г[ 1 и г [а) [П (б) Улучшение сходвиостн аа Эйтнену — Стеффенсену Гели ф (г) действительна п трижды непрерывно дифференцируема в окрестности дсйстзвтельйото корня г, прячем ф' (г) ш1, то сходимость итерацвонвого процесса (3) можно )л)чшить с паис«яыо следующей итерационной схемы: «1!1 = ф («[01), «[21 = „(«1! 1), («И — «[01) «[21 — 2«П) ф г[ОГ «[01 Из) (' — ' ' ) гОП вЂ” згРП -~- г[ЗГ итерапии ванавчивашт.
когда алин нз знаиеватслей анзэывастся слизкнч к нулю (воабасс говоря, желаемая точность достягается раньше лаго, если последовательно ть ()З) сходится), Этот метод, подобна методу сенущнх, может приченяться вместо быстро сходящегося метода Ньютона, если вычисление значений 1 («) вызывает затруднения. (с) К р а т н ы е к о р н и. Итерапионные схемы, опнрающнесн на форм»лы (6) (метод Ньютона) нли (7), не будут сходиться в окрестности кратного корня уравнении.
Заметив(, что кратные корни функции /(г) являются корнями ее пропзводнои /'(г); для алгебраических уравнений наибольший общий делитель функций /(г) и /' (г) может быть получен методом п. 1.7-3. 20,2-4. 20.2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАННЕНИЙ (!) М е т в д и р о О„Если нзолнреваиныв простой нореяь деаствнтельного уравнения (1) лежит между « = а и г =Ь, то вычисляют 1/я — /. Если 1! —,/ имеет тат Г! Г а-,ЬЩ жс анан, сиз!нем, по и 1(Ь), то далее вычисляют! ! — ! а-1- —,, Л, и т, д. 12 я 20.2-3. Вычисление значений миогочлеиа. (а) Последовательные умножения, Для пряменения рассматриваемых далее итерационных методов надо уметь вычислять значения многочлена ДлЯ этой цели либо вычислЯют последовательно и,г+иы г(ива+а,)+и„..., либо предварительно находят величины /(с), /'(с), — /" (с), ...
по схеые Горнера и затем пользуются формулой (17). (Ь) С х е м а Г о р н е р а. Деление многочлена /(г) па (г — с) дает новый миогочлен /, (г) и остаток /(с) (п. 1.7-2); деленне /, (г) па (2 — с) дае! мвогочлсн /, (г) и остаток /' (с). Продолжая этот пропесс, получаем последова- «ЕЛЬИО ОСтатКИ /(С), /'(С), -1/" (С), —;/Ям (С), ..., КатОРЫЕ ЯВЛЯЮТСЯ Казффипиентамп разложения миогочлепа Ь (и) = — /(и+с)— =/(с)+/' (с) и+ — ', /" (с) и'+...+ „— ,/Ро(с) ипвм/(2).
(202-17) Схема Гарнера для комплексного аргумента. Если /(г) — миогачлеи с дейст. вительными коэффвпиентами, в с=и+[Ь, то /(с)=Ас+В=(Аи+В)+[Ад« где Аг+ — действительный остаток ог деления /(г) на (гз — 2аг+аз+Ьг). 20.2-4. Численное решение алгебраических уравнений. Итерационные методы.
(а) Общие методы. Чтобы вычислить изолированный прас~ой корень алгебраического уравнения / (г) же и,а" -(-и,г" '+ ..;(- а„,з-)- и„О, (20.2.18) можно: 1) применить метод Ньютона (6); 2) применить формулу (6) с й=!/ил (, вычислял по схеме Горнера последовательные значения миогочлеиа Если а„, =О, заменяют г на и =« †и применяют формулу (17), чтобы привести уравнение (18) к виду р (и) =0; 3) применить метод секущих (и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
