Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 154
Текст из файла (страница 154)
20Л-3. Разностные уравнения. (а) Обыкновенное разиостное уравнение порядка г есть уравнение б(хт ут узла ., узсг)ямб[ха. ую Еуш" Е'уь)=0 (й=О, -а- 1, .в. 2, ...; г=1, 2, ...), (20Л-17) связыва!ощее значения уз=у(хз)=у(х,+й Ьх) функпви у=у(х) на дискрет- ном множестве значений х=ха,=хэ+й Ьх, где Ьх — фпксвронаннсе прираще- ние.
Часто бывает удобно ввести в качестве новой независимой переменной х — х, велачиву й= — '=О, г 1, 42 2, ... Ьх Обсаклоаснлое разнося!кос уравнение горядка г мозгио лргдспаиеитз как соотношение, сеязыеающее зничсние у» и конечные разности ь(уз, р(уз или 6'уз вплоть до горядха г.
Разпостное уравнение ь!Ожет та!Оке связывать уь и р.!зь(уз р 11'1, 0(у), постные отношения —, — ' или — вплоть до порялка г. Ьх Ьх( Ьх' Решеьвем разностного уравнения (17) называется такая функция у = у(х), что последовательность уз удовлетворяет данным уравнениям для некоторой области значений й. Общее решение обыкновенного разностного уравнения порядка г содержит, вообще говоря, г произнольных постояяных, которые должны быть определены по начальным, краевым нли другим дополнительным условиям, налагаемым на уз.
Решение развостного уравнения в любой конеч- ной области значений й своднтсз в принципе к решеяи!о систеыы уравнений. Раэностныс уразиекия применяются: 1) для аппроксимации дифференциалы ых ураэнеииз ( ап 20.9-2 и 20,9-3) н 2) для решения задач, прейстазляаощэх ьюдели с дискрет- ныин псремсниыми. 20.4-4. 20.4. КО)1нс!НЫЕ РАЗНОСТИ И РАЗНОСТИЫЕ УРАВНЕНИЯ 671 Нрнлаер.
суп мир он ание рядов. Задача решения раэиостиого ураэиения горного горядка нида ЬУЗ вЂ” — РУ) —— аз илн У = УЗ + и (20,4.)8) с дэнныч зааальным значением ув — — а, равносильна задаче суммироэания ряда (п 4,8-3) з у =у„,+а - Ъ а, (з=О, 1, 2, ...). (20.4-Ш) 1=0 Эта задача аналоги ана иитегрнроэанию дифференциального уравнения у' =) (х). Опера- торы Х и у являются взаимно обратнымн, Отыетим суммирование по частям и л „Ь„=(и „вЂ” и ) — й' „Ь з=т з=т (Ьч Уравнение с частными разностяме связывает значения Фу =Ф(х +ььх, У,+(ьн, ...) (1, ), ... =о, чс 1, и 2...,) функции Ф = Ф (х, у, ): порядок уравнения с частныии разностям» есть наибольшая азиость между значениями !, э ч н омн /, ..., ветр чающимнси н этом ураэнеиии.
п. 20.9-3 приэедсиы формулы. аыра»аающие различные раэностные операторы крез значения функции Ф..., и указано зх примеасние для приближенного решения дифч фереициальэых уразнеанй с частнымн произэодными, 20.4-4. Линейные обыкноаенные разностные уравнения. (а) Структура общего решения (см.
так)ке пп. 0.3-1 и 15.42). Линейное обыкновенное разностное уравнение порядка г имеет вид а (й) УЗ Э,+ ат (й) Уз э, + ... + а, (й) УЗ аш (ао (й) Е" +ат (й) Ег 1+ ... +а (й)) уй=у (й), (20.4 21) где а((й) и 1'(й) — данные функции от й=О, -а- 1, -а- 2, ... Общег рсаиение ураакешш (21) может быть предстоэлено е виде суммы какою-либо его частного решенил и общего решения соответствующего однородного уравнения (сприведенногоз уравнения) (ао(й) Е" +аз(й) Ег 1+ ... +аг(й)! уз=0. Любая линейная комбинация реиаений линейного однородном разностного уравнения (22) делается решением этого уравнения (принцип наложения), Теория обмкновснкмс ревностных уравнений во многом подобно апгорааи обмкковснямх дяффгтнчиоаьньах уравнений, В частности, одкородног линейное роэнвстиог уршнснис (22) СЬПУСКОгт НВ багге Г РЕШЕНий У,,э, У,,з... Ликейка Нгэамигиимл НО МивжгетВВ С = О, 1, 2, ...
тингакол независимость г апоких ращений равносильна требованию, чнаобм оааредслитель Каэораттн нг бмв тождитвгнно равгк нолю при А=О, 1, 2, ... Зтот определитель аналогичен определителю Вронского э и. 9.3.2. Если э неоднородном уравнении (21) права» часть предстазляет собой линейнуао комбинацию ( (ь) = а (, (ь) (- р (, ай), то решение у етого уравнения есть подобная жг линейная комбинация решений, отэечающнх правым частим 5 (Ю н )в (З). (Ш Метод эарнацин произвольных постоянных (см. также и. 9,3-3).
Если иээестны г линейно независимых решеэий угн „, уни з...,, у!ю з «зривгдвикогов уразиения (22), то общее решение неоднородного лииейиого разиостного ураэнеиия (2!) можно найти э виде у =- с,(з) у,ыз -« с, (з) у.ш + ... + с„ (з) у„,й, где (20.4-2 1М г 3' д„„й „ос„ы> = [ (и, а=! г-ирсосразоеаяие Преобразование Лапласа ступенчатой фуняцни с 3 Я [1«д (!>! =, ~ д (!'1 с !' !'= 0 Последователь. ность выбранных значений дг, =а Й) Ы=о. 1,2,.") Б (да: ») = >=0 г з — ! ! ! 3 ! з г М 1>т с -! ! з (сз — !)з г(т.! П (е — ! ) ,'а (:=-о, 1, г,,> Та г ,л 4! т (» — !) » — ! 1 з » » †» — ! а 3 аз (» — и)' з («з — и)З й> а-и ( ° и) ? (» — а)н+' З ( > и)ис1 (и=а, 1, 2, ...> ,е ьа '— ',— =Ь (иТЬ> с — ! з (г — а> (» — М ох по Ь г' — 2аг соз Ь.(- и" г (г — и соз Ь) з («» — а) (сз — Ь) с — ! 3 аюпЬ а Мной з зз — ои»з соз Ь ф аз « — а соз Ь 3 с — ! а соз Ьа »' — 2иг соз Ь ->- а' з»ЗЗ вЂ” 2ае« соз Ь ->- ах 672 ГЛ.
20 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РЛЗНОСТИ 20.4-8. д, , ЭС, (а) - 0 (! = 1, 2..... г — !) а = ! После РешениЯ системы г лвнейиых УРавнеиий (24Ь) относительно бСа (а) вахоДим каж. ДОЕ Сз (Ы ПУТЕМ СУММИРОВанИЯ, КаК В ФОРМУЛЕ (!9). 20А-5. Линейные обыкновенные разностные уравнения с постояипычи коэффициентами (сы.
так>ко пп. 9,4-1 — 9.4-8). Общее решение лисейпого однородного разностного уравнения а„уе„,-,'-а,уе„,+...+а,уе —= . (аоЕ'+а,Е' 1+...+а,) уз=О (20А-25) с псстояниымн коэффициента«!и а„, а„„., а, имеет вид (20А-26) где Лы йю ..., )сг — кОрни Характсригппщсского уравнения аз),г+а>)ьг 1+...+ахим О, (20.4-27) если только все его г корней различны. Если некоторый корень, скажеч, йы имеет кратность т, то соответствующей член в решении (26) составляет (С +ЬС +...+йш-1С ) ла. Если все коэффициенты а! девствительны, то доа 1 ' 2 ''' ' >в !' члспа, соответствующих простым комплексно сопряженным корняы ).=ре — рз, можно заменить ва ра (А соз й>р-)-В 81п 03>). Козффнпиенты СТ, А, В, ... должны быть определены во начальным или краевым условиям.
Решение неоднородного линейного разностного уравнения а, уь., + а,у„,, +... + а „уе — (а„Е'-,'- а,Е' ' -1-... + а,) уе =! (й) (20.4-28) можно находить общим методом п. 20А-4, 8, но более удобныь!и могут оказаться спец!(альные методы, излагаемые виже. 20.4-6. Методы преобразований для линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.
(а) Метод г-преобразования (см. также пп. 8.7-3 и 9.4-5). Подвергнем обе части развостного уравневня (28) г-преобразованию с помощью теоремы сдвига 2 из таблнцы 8.7-2, обозначив через 12(г) =-Я (уе г) =-ус+ г —;+ °" (20А-29) г-преобразование неизвестного решения — последовательности ус, у,, у», ... Эго приводит к формуле а»' .!. а гг 1.>- ...+а а гг+ а г" -!.... ->-аг где первое слагаемое справа, как и в п.
9.4-5, представляет «нормальву:о реакцвю» на заданное внешнее воздействие в последовательность [(О), [(!), !'(2), ..., а второе слагаемое отражает действие г начальных значений уе, уы у,, ..., у„р Здесь Сг (г) — = уе (азг'+а,г 1+...+аг !г)+ +у, (а,г"-'+а,г' х+...+а, хг)+,..+у,,аег. (20.4-3Ц ' Неизвестные уо могут быть получены либо как коэффицвепты прк 1[г е ' в разложении )г (г) по степеням г, либо с помощью таб>лицы г-преобразова. к гем-а, 204. КО1!ЕЧНЫЕ РйЗНОСТИ И РДЗНОСТНЫЕ УпйВНЕПИП 673 нпя (таблица 20,4-1).
Как н в случае преобразования Лапласа, обращение 1' (г) можно упростить с помо>цыо разложении на простейшие дроби, которые представлшот «собственные колебании», соответствующие корням харак!ерпстического уран!кптя (27). Т а б л я ц а 20. 1-! Кратная таблица г-преобразопаннй и преобразований Лапласа от ступенчатык функций (Ь> Представление выборочных данных рядами нмпульсяых функций и ступенчатыми функциями„метод преобразоз а н н я Л а п л а с а, Если формально ввести асимметричную импульсную функцию Ь, Рк то последовательность выбоРочнмх значений д«, д„дю ...
можно пРелставлать (и притом взаимно однозначно) радон импульсных функций д' (О д, 04 (!) -!. и>04 (! — Т> + дзбз (! — 2Т> -1- „. (! > 0), (20.4-82) гле Т вЂ” положительная постоянная (выборе из>й интер«о»). Если две последовательности выборочных виа >ений д«д> да ... н ! (0), [ (!), 1 (2). улоалетворяют разностному уравнению (28), то соответствующие Фдлхаии д«(!) и ! (!) у«озлстворяют фднкиионильнолд дра«и«ии о (разностиому уравнению вля фуниций) а д* (!+,Т1 + а д' [1+ (г — !> Т) !.... + а д* и> -1" Щ О Л. О> (20 4 ЗЗ> с опрехеленнымя нвчальиымя ус>овнами.
22 Г. Кори н Т. Кори 20,0. Пнтерполлнпя Фш!кпии 20л-т. 20.2-2 674 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧН!йЕ РАЗНОСТИ К урааненню (ЗЗ> можно прныеннть формазьнсс ярсабразозаяне Лая«ос« а.чада.сяых фиякяий (и, З 0) Х [и" (!); з] — Л [и* (0] =дз-1-д,с +из« +... — Тз — 2Т« (20 4.21) При этом — тс,,-(« — )) Тз> ,в [и (( ц «т)) . е"Тз [,я [и*00] — (д +и с + ..., д«1« з>). й лреобрззоаанн» аналотвчен методу «-преобразована « †... я« «Тз Изложенны ме~од ого чтобы првменять обобщенные функции, можае представать посзетоеаоответстеующей ступенчатой функцнн (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
