Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 155
Текст из файла (страница 155)
и. 21.2-1) '(А)!А=и орн «Т<(«()с+1) Т (!)О; «О. 1, 2....). (20.1-20) . и((> = )" и' 0 Функцкн ( д н (О т( ! (О удовлетворяют тому же функцкональному урзэнсш1ю, что н д" ( ) н , т !'(О, ак что снова допустимо преобразование Лапласа, Отметвм 4юрмулм ! з — Тз -Тз т [>4 и(О] (и. +и ° + ...>, [д ) . « — 1 с — Тз )=0 П табл. 20.4-1 приведены пары вреобразоеаний Лапласа длв некоторых ступенчатых функций; прн этом принято, что Т =1, 20.4-7.
Системы обыкновенных разиостиых уравнений, й[атрнчиая запись. К и в случае дифференциальных уравнений, можно рассматривать систему обыкновенных разности ых уравнений, содержащую две ак и в сл функций у (х«) =у«, г (х„) =г«, ... Любое разностиое уравнение (!7) порядка г мОжнО п можно привести к системе г уравнений первого порядка введением йовых переменных Е(у«или 8)у«() =1, 2, ..., г — 1). .
13.6-1, система линвйных развостных уравнений перТак же, как в п. ного порядка (рекуррентных соотношений) у«ш —— а!ту«+а, г«+,.„+!! (й), г«4! = аз!у«+ аззг«+... +]з ( ), й, (20. 4-Зба) с постоянными коэффициентами ау может быть записана в матричной форме (см. также п. 14.5-3): — А У Р (й), (20.4-360) У)с„=АУ«+Р (й), где У« — (у«, г«, . ), г" (й) []т(й), ]в(й), ...] — векторы (матриць)-столбцы), а А — [а"]. Если дано Уз= =[уо, ге, . ], то решеняем является з)! ' « — 1 Уа=А«Уо+ ~~д А" «!о (й), (20. 4-37) «О а А«, по аналогии с п.
13.6-2, Ь, называется матрицей изменении гд матрица состояния длл системы (36). Степени матриды, у б ь вычислены с помощью теоремы Сильвестра (п. 1 . -, ), та могут ыть в Л, ко еиь характеристнче.:; что каждое собственное значение матрицы Л, т. е. р р р ского уравнения бе[ [А — )(Е] =, )(Е] — О, (20.4- снова соответствует собственным колебаниям (см, акж , т ' е пп, 13.6-2 н 204-5)у В!от метод причснпы, в частности, к решению линейного разпостного уравнения (28) порядка г, если оио сначала приведено к системе вида (Зб) ПУ)ЕЫ В!гленна у«И, У«ью ..., У),, ! В качеетвн нсвЫХ пЕременнЫХ, так что )«=[У«4-! У«ьс З "., У)], Р (й) = [„'- [ (й), О, О, ..., О~, а а о 1 0 ...
О 1 . 0 а о, (20.4-39) 0 0 1 0 (1«=0, 1, 2, ...). ! «+)=г (" «) (20. 4-40) Условия типа —,«О для функций Ляпунова у(у) непрерывного аргуну мента просто превращаются в условия Ау(У«)«0 для функции Ляпунова У (У«) дискретного аргумента. 20.5. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ 20.5-1. Вводные замечания (см. также пп. 12.5-4, Ь и 15.2-5). Интерполнцноннаи формула сопоставляет с функцией у(х) функцию известного класса 1' (х) = — 1' (х; аэ, а„аю ..., а„), зависшцую от л+! параметров ар выбравных так, чтобы значения У (х) совпадали со значениями у (х) длл данного множества и+1 значений аргумента х«(узлов интерполяции): !' (х«) =у (х«) =у«.
В пп. 20.5-2 — 20.5-6 излагается параболическая интерполяция. Другие интсрполяционвые иетоды рассматриваются н пп. 20.5-7 и 20.6-6. Прнмезенне ннтерполяцнн (н, в частности, кнтерполяцнонных мкогочленов) не жеева ограздано. В случае эмпирических функций может оказаться желательным сгзажазаяис колебаний д (х«), вызванных случайными ошибками; например, наср«деснам ~ар к«яма~(ии аа метода наименьших хзадротез.
20.5-2. Общие формулы параболической интерполяции (зиаченнв аргу. мента могут быть н неравноотстоящими). Иитерполяционнан формула л-го порядка аппраксимирует функцию у (х) многочленом и-й степени У (х), удовлетворяющим условиям У (х«) =у(х«) =у«в п+1 узлах и!Нерполяции — точках х«(й О, 1, 2, ..., л). 22 ° 20.4-8. Устойчивость. (а) диалогично и. 9.4-4, линейное разноствое уравнение (28) или система (36) с постоянными козффнциентамн назывдетсл устойчивой, если всв корни соопмстствующсго характеристического уравнения (27) или (38) по абсолютной величине .немые гдияш(ы. При атом действие малых изменений начальных условий затухает (стремится к 0) при возрастании й. Имеется признак устойчивости, аналогичный условию Раусса-Гурвица (п.
1.6.6, Ь) для корней с отрицательной действительной частью. (Ъ) Определение устойчивости и асимптотической устойчивости решений по Ляпунову (п. 13.6-5) и соответствующие теоремы (п. 13.6-6) легко распространяются на решения !'о, Уы Уз, ... линейных и нелинейных автономных систем разностпых уравнений 20,5-2. 676 20.5-4. 677 20 ИИТГРПОЛЯПИЯ»ЬУНКП),И 11~ — У Л((хс. х() =— » (20.5-2) (20.5-3) )х — х Уста = » — ха ~х — х а у — а« )у — а«дз х — + с, ( — ~~ а» а, ) где с, = — — с, - — -' Ф 2 (-.) с«а, газ)з а„' а, (»а,), 1 (20 5-7) ГЛ. 20 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ (а) Интерполяционная формула Лагранд(а (т — х)(х — х), И вЂ” ») ('с »1) (хе — "з) " (", — 'а) (х — х ) (» — » ) „, (х — х ) з" ° н у+ (»1 — хс) И, — »,) ...
И1 — *„) "' (.— 0)(.—;)".(.-*,)у" (5) Разделенные разности н и н т е р п о л я ц и о н н а я ф о рму ла Н ь юг он а. Разделенные разности определяются так: à — 1( 1' З' "' ' ГГ г-1» О' 1' "' ' г'-1 Ь х,х,„,,») — Ь (х,х...х ) Лг (хо х„хю ..., х,)— з (г=2, 3,,. ). Ннтернахяйионная формула Ньютона имеет вид )г (х) = уз+ (х — хо) Л, (хо, х() + (х — хо) (х — х,) Лз (хе, хз, хм+... и-1 ...+ Ц (х — хь) Л„(хе, х,, хз, ..., х„). в=О В отличие от формулы (1), прибавление новой пары значений (х„+1, уя»х) сводится здесь просто к прибавлению одного нового члена.
Разделенные разности (2) для формулы (3) удобно записывать в таблицу того же типа, что (20.4-5). Нахождение разделенных разностей есть линейная операции (и. 15,2-7) над у (х). Каждая Функция (2) виолие симметрмчна по всем своим аргументам, (с) Итерационно-и втер пол яционный метод Эйтк ела. Если требуется найти лишь значения иитерполяционного многочлена )г (х), а не его представление, то может быть применена следующая схема. Пусть )»1 в...— интерполвционвый многочлен, определлемый парами (х(, у)), (х), у)), (хв, уз), ..., так что ! ем ... н = ! (х) . Интерполлционные многочлеиы возрастающих степеней могут быть получены последовательно так: Этот процесс можно закончить, когда у значений двух интерполлционных многочленов последовательных степеней совпадет требуемое количество знаков.
(б) Остаточные члены, Если у(х) достаточное число раз диффереицируема, то для интерполдционной формулы, базирующейся иа л+1 значениях функпнн уе, уз, уа, ..., у„, остаточный член (ошибка интерполяции) можев быть записан в виде 'ба+1 (') - У (х) — )' «') = (и+ 01 У"вы(~) П (х — Хй). (20 5-.М й 0 где ь лежит в навменыпсм н)псрвале Е содержащем все точки х, х„, „, х„ и х (см. также и, 4.10-4; вообще говоря, 5 зависит от х). Отсюда следует оценка ! )(н»1 (х) ! ( шах ! у'"»" (Х) 1 Ц ( х — хв (. '' хб) а'= о 20.5-3.
Интерполяциокные формулы для равноотстоящих значений аргу- мента. Ромбовидные диаграммы. Пусть уз=у (х ), ха =хо-1»-й Лх (у=0, ч- 1, ...), где Лх — фвксврованное приращение, как в и. 20.4-1; введем обозначение х — х„ — =и. 0» (а) Интерполяциопные формулы Ньютона. Если даны уо, уи ув " или уо, у и у з, ..., то из формулы (3) получаем соответственно У (х) =ко+, Луо+ Л'у + (20.5-6) Первая фсрмулз применяется для иитсрполнрованил «впередз, а вторая для интерполнр, вавил «назадж (Ь) Пнтерполяциовные формулы с центральными раз- но«та ил.
Табл. 20.5-1 дает наиболее употребительные интерполяпнонные формулы для того случая, когда заданы значения уз, ут, у„... и у,, у з, ... (си, таюхе рнс. 20.5-1). Заметим, что формулы Эверетта й Етеффенсена удобны прн работе с такими таблицами, для которых проще составлять таблицы раз- ностей только четного или только нечетного порядков. Коэффициенты всех )казанных выше формул приведены в табл, 20.5 2. (с) !1рименекне ромбовидной диаграммы. Многие ннтср- поляциопные формулы мол(но получить с помощью ромбовидной диаграммы (диаграммы Фрезера), приведенной на рис. 20.5-1. У!екоторые более сложные ннтерполяционные формулы (напрнмер, формулу Эверетта) мо)кпо получить, усредняя несколько эквивалентных ннтерполяцвонных многочленов, 20,5-4, Обратная ннтериохяция.
(а) По данным зна 1евням ха=хо+Збх, ух=уНЗ) (й=а, 1, 2,„„О) требуется найти закн1оченное между х„и х, значение 4 ангумснта х, соответству1*1цее данному заачени1о ц Функции у (х): Лх предка»и ается настольно назым, 1тсби 1 бмза единственным.
можно применить общую Формулу (1) нли (3), меняя ролями х и в йне»та этогО можно применить одну из итерационных схем и, 20.2-2 дзн решения уравнения 1 (И вЂ” п=о, где у (х) — нодходя1цнв' интернсхяционнмй мнсгачзен, аннроксимиру1сщий у (»): ахя первого шага итерации применяют зниейную ннтернохнцню, для второго шага — квад- ратичную и т. д Нзкботее удобен втерацоонна-интерпола»ионный метод За«кена (н 20 5-2, с), в кагором надо наменять местами х и д (Ы Обратная интерполяция с помощью обращения рядов, Применяя любую подходящую интерполяцнонну1о Фсрмузу в виде степенного ряда У (х) а« -1-а,х.,';а,х«+„, н.
полу аем б?Е ГЛ. 23 ЧНСЛЕННЫГ МЕТОДЕ! И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ Е Е з гн Ф )1) Е Е о с с 1«Е г „ч ь О я г т ч! т( ж м Н Е о ю К(~ю 2 ж -1- И. )) ы «Е н Ф ж ж я с 3 я р,ф с Е о ю ж" Е ж ж+ ч Е «г ж г Е 2 ж ю ю -(- г ж о о н о сг (гггЛ)г Ьз., (и 2), Аз„ф,д!. Агу У-З (з 3)! дауа (с 4), Алг) .
(агз) А-'ч '"(а,д! ~(цз (сгзг А гу.г (аьлгл А', „(л+У)а Аг( 1 -"сг ("г)г АЪ-3 ("з)4 А'У4 (агл)а Ау-5 у- (а "()г дгтьг (а~г) дл (л,д! Агу (,4) Ау-г (а'1)г д".г(-г (аьг)4 А "уз (аьг)с Атд, у — -(а! — — д г- (а Нз Алу (а„г) -д У -(а 3! Юг (а-')! д'гуз (а)з А "у- (а 1)5 А'у-, (агг)т г д., (и (), дзуг, (гг)„Азу г (а.(), у (а г) С)гу (а-1) д у„(и) даа (аь() ')уг (" г)г '! уг (а 1)л дуа (аьь г) у ! х)у (а З)г Азу (а" г)л г)уу! (а-1)а А уз Ул (а-4)! д Уз (и-З)з г)~Уг (и-г)5 А~у! (и-)), -ь — Уьюжаяа (длсрсд) . Гпусса ((з -- — Усссслл -((зюжаиа (назад) -ы- ' Усларлинга (а.й)аж —,(игй)(з! Р гс 20,5-1.
Ромбовидна» диагРамма для ннтерполяциояных формул. Ооггращеняое обозначенне (и ф Нз гд — (н + Н(а) = ( " " ' ) а( Для нолучення ннтерполяцнонной формулы вдоль некоторого путе диаграммы пря- меняютсп следующие правил.г: 1. Когда столбец разностей пересекается слева направо, добавляется один член. 2. Есле путь входит (слева) в некоторый столбец разностей с положительным на- клоном, то добавочный член раасн произведению разности, стоящей на пересечение путн и столбца, скажем, А зг л, на козффяциевт (н -!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
