Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 158
Текст из файла (страница 158)
+ ю-( >' ' [о> х )(1 ф ь,х»- ..., О,х") оа ',- и!х+ ... + нюха" [го 6 2И Отсюда получается система л!-)- и->-1 линейных урэаиений с ю->. и .!. 1 неизаестнымн ноаффициептами а( и Ьр, ПРедполагзетса, что дРобь (20.6-26> несокРатима. ПРи и 0 функция К [х) дает просто отрезок ряда Тей.тора (п, 4.10-4>. 094 гл.
щ числрннь(р методы и конечные рдзности гол-т. Л е Ы1 = 1 + х -(- — х' ф — хч + - х', 1 1,, 1 = м.ь со 112 тг + (20.7-3) (20.7-4) "(- Ч й и $ 1 ~(к ах' "( зн-г+(ао "1) + з Ры'(Ги ; =,—,Ьй ( — и, + ) - б Р'"(41 1 Ь»* (20,1-31 Ьх' Р = — (и — 4Р,+Знт) ( 3 где х, < 2 с хы ол оо 12 н )С г3 !!1! + н !т ! 23.1-1. щл. ™пслрнпое диффгргнеппоицние и интегтч(поплине 090 И Р и ыьР. Длн 1(х(=-е' иьгсстч Л И(= » 1 «т л ( — ю тп Щ+(зх , 'бх 4-х" Лы (ю =- 24 — Зх а+бх р» лион= 12 — бх -,'- хт' (с) П погледние годы разработано много методов аппроксииацнн в связи с цнфропыци ЗВЗ(. Оптниальная фориа аппроксныанин выбирается в завнсиыасти не только от вида аппроксииируеиой функции, но и от приыеняеыай ыащины.
Некоторое количестио примеров различных тиоов приведено в табл. 2ц.б 6. 20.7. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 20.7-1. Численное дифференцирование. Числемиое дифференцирование чувстввтельио к ошибиам, вызванным неточностью исходных данных, отбрасыванием членов ряда и т. д., и поэтому должно применяться с осторожностью. (а) П р и и е н е н и е т а б л и ц ы р а з и о с т е й д л я р а в и о о т с т о ящцх значений а ргумеита (см. также п. 204-!). Для диффереицируемой достаточное число раз функции у(х) !' — ч Вг=~ — 1ц(1+Ь)) = —,.
(Ь вЂ” — Ьв+ — Ьз —...1 (20 7-1) ~Ь. (Ь»1г 2 3 / т так что если хо=хе+Ай» (А=О, кс 1, нс 2, ...), то У' =У' (ха) =()У = — (ЬУ вЂ” —, Ьеу +--Ьзӄ— ...), 1 / Уз =У" (х() = () Уя —— ь»,, ЬвУа — Ь Уз+Та Ь Уя — ТЬ Уя + .,). ) Дифференцирование иитерполяцнониых формул Стирлиига и Бесселя дает соответственво у„'= — (бр — — йау -)- —. бчу — ...), и 1 1 Ьх( я б ' я ЗО 1 '= — ' -"- -4 (Ьх(* ( я а а ЗО а 1 1 1 Уз = — (6У вЂ” — б'У + ...), Ьх( Д 24 а Многие подобные формулы, а така(е и формулы для аппроксимации производных высших порядков, могут быть выведены путем дифференцирования подходящих иитерполяциоииых фоомул (см. танже рис.
20.9-1). Прнаедеи еще ление трггточгчные формулы диффеРенцирования с огтптечнмми членами; (20.7-6) где у <х) — ~, '(« — хл) (! = 1, 2, ...). З=О 1 — — — ьхэу" Ф) 12 2 (л=1) Правило Спл!исака (п = 2) Лх (у ф4и фу > — Ь«'у' ' Й) 'и> — — [<ои' (5> + Лх' е> 1400 +ял уш' Ф'>1 3 — Лх (а ->- 5у -<- у!- -';- бу, -'г у, .1 5У, 4 и,> Правило Уэддля (и =-6) *) л ! 3 Ь«л(л+1) (2Л <- !> Х Л+Р >= — л (20 7.7) (20,7.3) Вот еще неснолько формул: (20.7-9) У (« ->- — ) — У (» — — ) у' <т) ~ л (20.7-10) (20.7-!1) где ы !» — а>1 0 (х — в) (20.7-<Ы точную алн миогачлеиов б90 гл ю чнслцнныг мнтоды н коннчныр разности юл-к (Ы Нримсаенпе раэделениых разностей <сн гака!с п 2052,1>, дифферснц !гаванне интерполяцноннай формулы ньютона (20 5.3) для пронавальны.
уэлаа нпссапаляцни «э, «а «„... дает у< ) («) у < ) («) Л„(«, х,.... «) -', +Г«"„', «>Ь, „1(«у х .... «,т!) 4- <'=1 2 . > (с)Численное дифференцирование послесглаживания,Следующие формул ю е фа мулы получаются путем днфференцираванн» многочленов наилучшего среди некеадратическ чесната приближенна, и поэтому на ннх меньше сказываются случаИ ые ошибки опытных данных При л = 2 это дает ! уз~ — ( — 2ив в и» 1+ив+1+2ил+т) (аи„ч 10„2 — !вуз 1-раув в-у„,) 1 ! ((и„,— у „) -в(ив,-иа,)), ! (и, — бу„я+ <зуз, — <ои„— зуз,), (й) ч и ел е к и о е д и ф ф е р е и ц н р о в а н н е п о отРезку р я и а ф у ь е, Нели функция у(«) аппрокснмирована тригонометрическим полиномом у <«) (20 6-!3), то для производной у'(«).можно получить оценку 20.7-2.
Численное интегрирование для равноотстоящих узлов. (а) Квадратуриые формулы Ньютона — Котеса. Квадратурные формулы Ньютона — Кстеса замкнутого типа (табл. 20.7-1) основаны на аппроксимации «а+ лЬ« У (х) <(х пара+а,У>+п,рв+...+алУл, «э л ! — 1>л В Ьх Д <Х вЂ” 1> Ь вЂ” Ю ... <Х вЂ” л> „„ и Уз У(«а) — Дапимв аиаЧЕИИЯ ФУНКЦИИ ДЛЯ П+1 РаниаатетОЯЩИХ ЗиаЧЕннй' аргумента «в=ха+ййх (А=О, 1, 2, ..., л). Формулы являются точными, еелн у(х)-многочлен степени ие выше чем и.
Вместо того чтобы применять-зна. яал-2. ю т. чнслсннои днффнрргнп!Ровлнин н ннтргрнровднни 097 Т а б л и ц а 20 7-! Каадратурные формулы Ньютона — Котеса, замкнутый тнп *) При выводе правала Уэддля точный коэффициент 4!П40 прн Ь'у, заме. неп на 3!10. чения л)б, складывают т сумм вида (11) прн п~б для последователы(ых подынтервалов: ха.>.шл Ь« У (Х) <(Хая «а-1-лл« «+2ллк «а+ш«Ь» у (х) ((х+ ~ у (х) <(х+ ... + $ у (х) <(х.
(20. 7- 12) х,+пах «э+ ! ш — 1) л Лх (Ь) Ф ори у л а Г р е гор и. Симметричная квадратурнаяформула Грегори «, ->- л Ь» у(х)'1« Ьх[(2 уп+у!+" +ул-1+урн)+ ч (Ьуе — Ьуя-1)— «, (дауа ! Аву, э) 1 1 (Ьэуа-1-Ьэул э) — —, . (А4у -1-Лау )-1-" ~ (20 7.13) лает поправочные члены к правилу трапеций (табл. 20.7-1), Если зта фор- мула доведена до разностей порядка 2т, то она является точной для много- члеиов у (х) степени не выше (2т-)-1) (т=О, 1, 2, . ). В частности, отбрасывание всех разностей дает правила трапеций «е+л Л« 7! ! и<«) П«=Ь«( ио+У +ив+ ..+ил 1+ — ил) <20П !4) «, точное для линейнык функций.
Отбрасывание разностей третьего порядка и выше дает формулу «,+л Ь« ! 9 28 23 у(х) ૠ— Ь«< — уе+ — у!+ — Уэ+ '124 24 24 э 23 29 9 ~ из+ "'+ил-в+ 24 "л-з ~ 24 "л-1+ 24 ил) у (х) третьей степени. 20.7-3. 207, численнОВ дифференниРОВАниГ и интеГРиРОВ!ИНГ бэ9 Табэацэ 2072 Абсциссы и веса длв квадратурных формул. (а) Абсшщсы !г и веса а» для квадратурнол формулы Гаусса (18) Ве Абсциссы Веса Абсциссы 5 -! ОЛ77353 1 ч Осздчщз! ! 0,8 1!Зд и -г- О,ЬЗЗ!69 .г 0.90618д 0,652 О,ЗИ О.ЪА 0,478 0,2Л, ч 0,774эл (20.7-1?) (Ь) Абсциссы сэ зля квадратуриой формулы с(сбышева (20) и Абсциссы и Абсциссы (20,7-19) (б) Абсциссы 5» н веса а» для квадрагурной формулы Эрмига (22) (с) Абсциссы 6» и веси а» для квадратурной формулы Лагерра (21) и Абсциссы Веса (и=), 2, ...), (20.7-2!) (п))' С' (3») ' ! я бй дй = .Х,' »н (3») 698 ГЛ.
20 с!ИСЛЕННЫЕ МЕТОЛЫ И КОНЕгРИЫЕ РАЗПОСТ!4 26,7.7. (с) Применение формулы Эйаера — Маклорена. Формула суммнрэаэнна Эйлера — Маклорена (4,8-!0) дает рал наапратурных формул, спаерасащик, кр~ эе значений у (х), также и значении ее прэнэгэдпма у» = у' (х»). у» = у" (х»),... 17паучающнеса каааратурные формулы «э -г- ах ах бх',, ах' у(х) ух= — (у +ус) — — - — (у — у )+ - (у — у ) —... (г0.7-1г) х, ватт пэпрааэчные члены к правилу трапеций (табл 20.7-1) ' 20.7-3. Квадратурные формулы Гаусса н Чебышева Ь (а) Интеграл ] у(х) ((х с помощью замены переменных а Ь вЂ” а а-)-Ь Ь вЂ” а =: й+ —, Ч (6) = —, Р (х) ! приводится сначала к виду ] Ч(6) (Гт Квадратурная формула Гаусса: — 1 1 и ~ Ч ( ) 4 ~ ,У, а» Ч (й») а» = а , (и = 1, 2, ...), (20.7-!8) ( - 3») (Р; (3»)] ГДЕ и ЗНаЧЕНИй аРГУМЕНта й» ЯВЛЯЮТСЯ КОРИЯМИ МНОГОЧЛЕиа ЛЕжаНДРа Рп (6) (и.
2!.7-1). Абсциссы Е» и веса а» для некоторых значений и приведены в табл. 20.7-2. Погрешность квааратурной формулы Гаусса (13) равна п)4 Ь а за»1 Е= ( узам(Х) (а<Х<Ю (йп+1) 1(2п)Ч (Ь) Квадратурныв формула Чвбы(авва применяются тоже после предварительной замены переменных (17); они имеют вид 1 ~ Ч(6) ((6 .и (Ч(йг)+Ч(йт)+" +Ч(вэп)) (и=2, 8, 4, б, б, 7, 9). (20720) — 1 Абсциссы й» приведены в табл. 20.7-2. Применение равных весов минимизирует вероятную ошибку, если значения у(х) подвержены нормально распределен- ным случайным ошибкам.
! 75 — а'Ь При и = 3 погреш несть каалратурнэй формулы (20) ранна —, ( — ) у '(Х) ЗВО(, 2 (а < Х<Ы. 1с) Отметим еще «гадратуппую фа плугу Лпггпрп где 3 — карин ннэгочаепа Лагерра С ($) (и. 21.7.1), и кээдпптурную фэрлулу Эрлнта » и сп и 2п+ п) Зги г 3 н(3)гэат и н(й ) ໠— —, (п=), 2...,), (20,7-22) (Ип' (3»)]з ээ »=1 где 3» — корни мнпгпчаена Эрмита Нп бй (и, 21.7-1), Абсциссы 3» и веса и» Лнн формул (21) и (22) привейеиы в табл, 20,7.2, 0,535788 З,Н1Щ 4 0,415775 2)394280 6,289945 0,322548 1,745761 4,536620 з,ш»171 0,26350) (Л!ВЮЗ ЗД964вэ 7,0859!) 12.6$цяп .!. 0,5773ээ О -!.
0 767107 -!. 0,187592 .и 0,7946М -г О,зыбм г О 832497 ! 0,266635 ж! 0427519 -Г Оулюн 0 зэЗШЗ О,Н6447 0,7НОЧЗ 0,276518 0 0103893 0,603151 0,357(ш 0,0368819 ОЛООЯ9295 0,521753 0,398667 О,отбвю( 060361Н6 Орпгс)233)О) О -г 0,323912 Э: 0.529657 ч. 0,883762 О ч- 0,16?и)6 ч 0,528762 -!. 0601019 -! 09Н589 7ОО ГЛ Ю ЧИСЛГННЫГ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.7-4. ймл-2. 2о/д числгнное ннтггшлровйние Оеыкновгнных )яйвнг)!Ни 701 Отметим также ггадритурную флумулу Гаусса — Чгбышгга 1 л г) ю 20 — 1 и т!(" ), 1 =сш и (0=1,2, ..., л), 2л — й=:1 гдг $ — лорел млиг «льна "!гбмшглл Т <х) (л. 21.7-4).
й л 20.7-4. Построение н сравнение квадратурных формул. (а) Коэффициенты ай и абсциссы хй нвадратурной формулы 0 ) у(х) у(х) г/х алу(хе)+а,у(х,)+...+а„у(хл) а и и й (20. /-23) (20 7.2г) можно получить разными способами. 1 Можно потребоиать, чтобы формула была шочноб для у (х) =1, х, хз, ..., х"' (т(2п).
Это дает и+1 уравнений для неизвестных ал н хй. б ~ х' у (х) г/х = ает'+ а х'+... + а„х„" (г=О, 1, 2, ..., т; п! (2п). (20.7-25) лли <Симлглни) й й ш /(х, у) лг ляш 0- [!б/00+ (/ы+/01+/ ьл 0-1)+ — й — й + /ы + / - + /- 1+ /- гдг дх аду) ах= Да=а (1, й =О, г 1). (20,7-2Т) /о Длл тройлык интегралов: й й й 4 3 й (/)О0+/010+/лот+/-),В+/0,— Ьл+/00,— !) -й -й -й (Ю,7-28) 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
