Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 161
Текст из файла (страница 161)
[2012!). Линейное дифференциальное уравнение вида формулы коррекции (27Ц) подставляя в уравне- 20.8-8. Амалиа частотиык характеристик. Если дана устойчивая Формула иитегрйр оваииа (12), то синУсоиДальиый ввоД [а — е а вывезет синУсоиДальнпе Решение зз.в-з. 20Д крдевые здддчи; интегрдльные у Авне((ня 709 «С)К 00.— — Н ((ы) «0 (тан же как в и.
9и.б). Полстановка дает частотную «арактеристпку Здесь формулы н««т*грн««оваиия можно толковать как приближения н идеальному оператору интегрирования — по амплитуде н фаге. Для уменьшения распространения ошибок округления надо, чтобы ошибна ~ Н («ы) — — ! убывала с частотой, сл«. [20.12!.
1 (Ы 20.9. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЪ)МИ ПРОИЗВОДНЫМИ, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ; ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 20.9-1. Вводные замечания. В пп. 20.9-2 — 20.9-5 описываются разностные методы, применимые для численного решения краевых задач как для обыкно. венных дифференциальных уравнений, так и для уравнений с час)ными производнымн, а также и для численного интегрирования гиперболических и параболических уравнений с частными пронзводнымн.
Кроме описанных здесь методов ил(еются еще следующее методы решения. Приведение иразнсния с частными произзодными к обыкновенным дифференциальным уравнениям путем разделения переменных (пп. 10.1-3 и 10.4-9), решения характеристического )равнения (пп. !0.2-2 и 10.2-4) илв метода характерисгик (и, !0.3-2). Приведение к вариационной задаче (пп.
1!.6-9 в 15.4.7) и решение ее прямыми методами, например методом Ритва (п. !1.7-2). Приведение к иитегракоиому уравнению (п.15.5-2), которое мо)нпо решать прямыми методами нлн с помощью методов аппроксимации п. 20.9-!О. Методы возмущений для решения задачи о собственных значениях описаны в и. 15.4-!1. 20.9-2. Двухточечная краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений (см, также пп. 9.3-3„15»05 и 15.5-2). Двухточечная краевая задача, т. е. задача нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения, удовлетворяющего краевым условиям на границе интервала (а, Ь), может быть сведена к задаче Коши методом п. 9.3-4.
Более подходящим может оказаться следующий разиостный метод. Разделим данный интервал (а, Ь) на равные промеж>ткн точками ке+ Ьк ко+ 2йк к ко+ н заменим кажпую производную и в дифференциальном уравнении и в краевых условнял соответствующим разностным отношением того же порядка (п. 20.7-1, а, рпс.
20.9-1 и 20.9-6). Это позволяет аппроксимировать данное диффере(шпальное уравнение развостным уравнением того же порядка. Численное решение рззностного уравнения сводится к решению системы уравнений относительно неизвестных значенвй функции уй=у (ке+Ьйк) (пп. 20.2 5— 20.3-2). При расчетах вручную особенно удобны релаксацпонные методы (и. 20,3-2, с). ,(«1 П р и м е р. Чтобы найти решение уравнения —, + — р =О, удовлетворяюп«ее ик* 5 ираеаым условиям р (0) .=1, р (1) =-. О, целим интервал (О, 1] иа л промевсутков длины 1'у Л«0 ьк = 1)п и, заменяя --, — †,, получаем равностное уравнение а'к) вк*' 710 ГЛ. В>. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ за.з-а. 20.9. к~левые зйдйчи; интегрдльныв урйвигнпя 711 ьр [р (и>,д ( >) [у ( ° [д<Л (л>, у'И (л>] [д'1/«<1(л) — д'И(л>) = о, +од у ру [УИ <ь>.
д'И <ь>] [р(/ <1<И вЂ” РИ <з>) + .1 ьд, [УИ (д>, р И (Ь>] [у 1< + '1<Ю вЂ” р И (Ь>] = О, у Зтот метод бе» труда сбсбп\»итси и» систсиы лиФФср и ур 20 2 З по сбььо си и»льиых уравнений с помощью "и. >З.а-ь и излкстси сбобщениси метода ньютон» и.. -: пол » быст о. 3 ссь можно сфориуллров»ть и общие последнему, ои может сходиться весьма ыстро.
Пс ь Об. условия сколимости, ио улсбисс проверять сходимость методам пр 20.9-4. Р с ные методы численного решения уравнений с частными азно т ных. Мего ы решения промзводны днымн для случая двух независимых переменных. д р ны изложенным в задач ур для уравнений с частнымя производными аналогич п. 20.9-2.
Введем подходящую сетку значений координат х;= О+', уь= =х (Ах, йб (', 2=0, ш 1, » 2, ... ); неизвестная функция Ф(х, у) будет лена дискретным множеством своих значений ф(хп уз) = =Ф . Аппроксимнр ем каждый дифференциальный оператор соответству щи р ю м аэностным е оо я ка так, что любая производная будет аппроксими- И л .Чаемое азностное рована соответствующим разностным отношением. Пол> чаемо р с уравнение удет дават и б Ь С СтЕМУ УРавНЕНИй ДЛЯ НЕИЗВЕСтПЫХ ЗиаЧЕпнй фьы Наиболее важные задачи приводят к следующим ситуациям.
!. Пплвпя зп пча . /( д <>ля эляпллптескога уравнения (например, задача Дприхле ьй относидля 9 = , п. 'Ф=О, . 15.6-2) приводит к системе А> линейных уравнений о тельно А< неизвестных Ф(в. такими азвостиыБольшое число р Б ° ое число уравнений и неизвестных, связанное с такими р .дняет решение задач даже на больших ЭВМ.
С дру той характерные особенности разноствых операторов, у ов, пол чающихся стороны, характер для обычных линейных уравнений с частными производ> и р <ыми вто ого и четьй в (табл. !0.4-1), приводят к системе линейных уравненн с «разреженаыми» матрицами, которые имеют мало ненул е левых членов вдали от главной диаговали. Поэтому к таким задачам хорошо подходят нтерациье, зф=йф с под- 2, уп ейная задо«о о сабе»ля«иных зло»«лиях (например, <7 пн м ходящими краевыми условиями, п. 15.4-1) приводит к зад с, - аче о собственных значениях некоторой матрипы.
Ш»напив 3. Злдо»о Коши длл параболического или гиперболического драв (п. 10.3-4) приводит к системе уравнений, если выбранная схема сведения к раз- счополкктсльныик услоиияыид = <, д =О. прил=а (й=,, > у = >, 2, 3 нил чаем слслуюпшю систему отиоситсл»ио Уь У» У»: з — <,99У + д» = — 1 дь <,99У» + Р» = 0 у — > 99р»=0 20.9-». Обобщенный метод Нщотои» (к»з»илинсари»»иии>. Хоти чнсленныс методы 20.9-2 и»пины к«к к лиисйкын, т»к и к исликсйиыи двухточечным крае- »ми»»Л» ьы»»»Л»ч«и, »тк ыет»пы легче применить к лиисйиы Л . Д р и м»з ью»и.
Для ешеиик з»жного ил»сел нелинейных двухточечных «р«сзык»лд»ч вип » д" = / (я, у, д'> (и ~ л ( д>. (20.9-() О (д (л>, д <л>1 = О, Ф (у <> Ь д (ОП = 0 ) то ки»»илинслри»анки. Н«чии»и с прсбкого решении д ( ), !01(,) часто приисиястси метод ки»»или и, полу»»ют последов»тсльиыс прибли- которее удовлетворяет «»П»киыы кр»сзыи условиям, женки д!(1(л>, УН1(х>, .„путем решения лииейвык вада ь р-(>'+ Н = / (л, УН), УЧЛ) +/У (л, дП1. р И) (У(/с <1 — Уи) + + / (л, д(Л, д'(Л) (д'1/с >1 — д'(Л), К, д И '(Л л Пь'(1 и> — д(Л (и>) + (20.9-2> постным уравнениям сопоставляет каждое неизвестное значение Ф;з с другим неизвестным, так же как н с известным, значением функции (лдлийыд нелюдю решения задач Коши). 4.
Если для производных по времена в задаче Коши применяется развост. ная аппроксимация (и. 20.7-1), то иы получаем рекуррентные формулы для последовательных зндчений Фы, начинающихся от заданных начальных заачений (яаныс льето<)ы решения задачи Коши). Вообще говоря, явные методы решения задачи Коши требуют меньше вычнсленяй, чеи неявные методы, но в рекуррентных схемах распространение ошибок и вопросы устойчивости подобны тем, которые возникают при численном интегрировании обыкновенных диффереациальных уравнений. Как и в последнем случае, аппроксимация может быть улучшена с помощью мер»да «предсказание — коррекция», аналогичного рассмотренному в п. 20.8.3 (см.также п.
20.9-8). 20.9-5. Двумерные разиостиые операторы. На рнс. 20.9-1 — 20.9-6 приве. деиы часто встречающиеся линейные разностные операторы. В часпюсти, каждая диаграмма на рис. с 20.9.! по 20.9-5 дает центрально-разностное выражение для центра «звездочки» через взвешенную сумму значений фуиицин «сверху», «снизу», «справа» н т.
д. относительно центра; каждый весовой коэффиппеит помещен в соответствующем узле сетки. Например, рис. 20.9-! надо понимать так: А <7 ф)( =Ф(к<+А уь)+ф(х; — А, у»)+Ф(хь уз+А)+Ф(х, у й) — 4Ф(х< у»)=Ф„.»т «+Ф) ы в.[ ф' й +ф, — 4Ф<, где А=Аль Ду есть шаг сетки по обоим переменным х и у. Рпс. 20,9-1 применяется для сетки прямоугольных декартовых координат прп равных шагах по х и у. Рис.
20.9-3 применяется при изменении шага сетки, либо чтобы приспособить ее к неправильным границам, либо чтобы увеличить точность вычислений н некоторой области, представляющей особый интерес. В любом случае используемая сетка может быть уточнена после первых грубых подсчетов. Рисунки 20.9-2, 20.9-4 и 20,9-5 демонстрируют разностные операторы для сеток, отличающихся от прямоугольных декартовых. На рис. 20.9-6 приведены разностные операторы дли интерполирования вперед и назад. Длп расчетных яслей сетка точен (хь уь) часто обозначается простой последовательностью 1, 2, ...; соответствующие значения Фсв обозначаются прн этом через Ф<, Ф», ... (см., например, рис. 20.9-7). В расчетах релаксационного типа (п.20.3-2) при решении линейных краевых задач вошло в обычай применять крупный план области и записывать значения функции и нсвяэнн непосредственно в каждон точке сетки.
Значения функпии и неняэки от предшествующих шагов релаксационного процесса просто вычеркиваются нли стираются. и р н м е ч «к не. либр»рея чии ыимй»и»ритор» лиисйяил крис»ил»ада«ил и»я»»я»им»ият» ли»исстимм сл ли ььсл»м дол»» сисакс»с л»рядки, тлк к»к»то»южет вызвать ложные колеб»тел»лыс сост»»ляюльис з решении получающегося р»злостного ур»икснки. С лругсй стираны, » лили«стим» сыми« решения лиди» Коши ллк гиперболических клл параболических уравнений часто кспользуьоь р»»иостиыс операторы высших пар»инок, чси »оагзстсс»ующне производные, палсбио тому к«к»со сдсл»ло в пп. 20,й-< — 20.З-Э.
20.9-6. Представление краевых условий (рис. 20.9-7). Аппроксимььруем данные границы ливнями применяемой сетки; если нужно, вводим градуированную сетку (рнс. 20.9-3), Тогда: 1. Если заданы краевые значения искомой функции Ф, то вписываем их в соответствуюшлх точках границы (рнс.
20.9-7, и). 2. Если заданы краевые значения производных (таких, как д<р/дп, п. 5.6-1, Ь), то продолжаем сетку за границу области и аппроксимпруем краевые условия соогветствующпми раэносткььип 20.0-0 209 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Иитегрдльные УРАвнения 713 гйг б бх' Аг Д дуг лгаг уйгаг тйгуг 'Агут у Рис 20.9-0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
