Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 164
Текст из файла (страница 164)
А — В 2 2 1а А -~- 16 В = и — с1 А П с(а В= но ! соз А соя В ' й й з!пл нпВ 2 соя А сов В=соя (А — В)-1-соя (А ! В) 2 ап А в!п В = соя (А — В) — соя (А -~- В), 2 ап А сов В=я!и (Л вЂ” В)+яш (А-(-В), 2 соя' А = 1+ сов 2А, 2 апз А = 1 — сов 2А. 2 (Ь) Если п — целое положительное число, то в1плг= ) соз ' г я!и г — ! ) соя" зг я!паг-1- (и! ) сова-з 2 я!пз г— оса из = соя" г — И соя" я г язп ' г+ + )СОЗЛ ЗгяШЗ2 зр.. !'л! 14!) ГЛ.
21. СНЕЦИАЛЪНЫЕ ФУНКЦИИ 724 Если и — нечетное целое число, то (Ы Отметим формулы (21.2-14) (21.2-|т) ь егс|и о 1- »ге|К Ь = »гс12 =. 21 'оь Если и †четн целое число, то ам»|а т! гп (21.2-15) згсс)о г гп -3 г и нли как х лх агсип г= —, агссоз г = » У! — г" а (21.2-16) им лег — -- — ш =-О, е агс| г=~ —, агсс1ог=— лх 1 -х'* а пли нро то соотношениями „х фе — х и г == 2 „е зп г —— 2 (21. 2-13) в|п'г= ! 1 ~з!ппг — ( ~ мп(п — 2) г+, |з|п (и — 4) г— л — 1 -(" 3| /и) и') соз" г=Я" ' созпг-)- )соз(п — 2)г+) ! сов(п — 4) г+ и + ~ ~ соз (и — б) г+... + ~ „1 саз г . 3/ л мп" г = — ~сав пг — ! ~ саз (и — 2) г+ ! сав (и — 4) г— ~!! «-2 — "-" ' ( — -)""!'Я-' сов" г=/1(" ' савпг+~ '~)сов(п — 2)г+( )сов(п — 4)г+ ;1/ +...+ „2 со»2г + 21.2-4.
Обратные тригонометрические функции (см, так см, также табл. 7.2-!1. (а) Обратйые трнгопометрнчесиие функции сс1 г" ш=вгсв!Вг, ш агссазг, ш= ага!221 ш агсс122 ) опредечяются как обратные соответственно к функциям г=з|пш, г=сазш, г=!Еш, в=с!Ею ') В английской литературе »ти функции иногда обо»в»»»ются через мп-' х, со»-'х, |н-»х, с|н- а, 21.2-б. 21.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНЛЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ 725 14а рис. 21.2-4 изображены графики обратных тригонометрических функций для действительного аргумента; заметим, что агсип г и агссоз г действительны только при г действительном и ', г ! -" 1. Все четыре обратные тригонометрические функции бесконечнозначны, потому что тригонометрические функцни— периодические.
Для действительного аргумента главные значении агсмп г и ага!2 г заключены между — и/2 и и/2 (см. рис. 2!.2-4); главное значение агссозг и агсс12 г заключено ме|кду б и и. »гс»!и о чж хге»|п Ь = »геып (о )'1 — Ь* -1- Ь У 1 — о') = = »гого»(У'1 — о» УТ вЂ” Ь' ж оЬ), хгс»о» л .» »ге»о» Ь = хгсео» (оз » 1'1 — о' УТ вЂ” Ь') егеып (Ь у 1 — о' » л РТ- ЬТ), 21,2-3.
Гиперболическме функции (см, также табл. 7.2-1). Гнперболнчесине функции ш= — в)» г, ы=гц г определяются степенными рядами (п. 21.2-12), Рис. 21.2-4. Графики обр»тиых тригонометрических функций, как решения дифференциального уравнения 726 шл-е.
727 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ сь г сйг= —, »Ь г ' 1 соьесь г= —, »Ьг ' й2= —, ьь г сЬ г' 1 весь г= —, (21.2-19) (2!.2-22) 17' ЬЛ вЂ” 1 ~/Й ьчт ) (2! .2-24) сй — = — = А »Ь А сь,! -(.1 2 сЬА — 1 »ЬА ° 6 А »ЬА сЬА 2 сЬА+1 ьЬА (21.2-26) Зй Х аь х, сй х, й х Рнс. 21.2-5 Гиперболические Функция. (21. 2-26) сь»2 — 511ь2=1, — =й а=в ьь г 1 сЬг с)Ь г (21.2-20) следуют Отметим соотношения (21.2-21) (21.2-27] Четыре дополнительные гнперболнческне функцнн определяются как На рнс.
21.2-6 нзображены графики ьь2, сьг, йг цля действительного аргумента. Функцня сь г †четн, а ай г н й г — нечетные. Геометрических интероретаяих вь «и сь! д»л действительным «Если 1/2 — пло»цад», огрвнкчевная рьвностороннеа гиперболой (и. 2.5-2, Щ х' — и'=1, осью х в ра. дкусом.вектороч точки ью о) гяперболы, то л = ьь «, х = сь «. Заметим, что если гиперболу ваменнгь окружност»ю я*+ р» =1, то р = Мп «, в= со» «, 21.2-6. Соотношення между гнперболнческнмн функцнямн (см.
также и. 21.2-8). Из основных соотношеннй еь 2=)' сьг 2 — 1 = !Ьг 3 У) — (Ь' г У'с1Ь' г — 1 сй г сь г=)«'1-)-яйг г == У) — )ь*г у с)Ь* 1' сЬ* г — 1 У)-'-ьь' г сь г »Ьг УсЬ'г — 1 21.2-7. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ГНПЕРбОЛНЧЕСННХ ФУНКЦНй (утя ФОРМУЛЫ ь могут быть получены нз соответствующнх формул для трнгонометрнческнк 21 25 212 ЗЛЕ)(СИТАриые трАнсцендЕНТНЫе Фу( Кции функций применением соотношений и.
21.2-9). ь!1 (Л Ш В) =еь А сь В -»- сь Л гь В, сь (Л -»- В) = сь Л сь В»- яь А зь В, и (Л» В) !ьА.».1ьВ с! «А.» еч с1ьАс1ьВ-».1, 1 е 1Л А 1Ь В ' » « с(Ь В » с1Ь А аь2А=2сьА5ЬА, сь2А=сь»А+еьвА, 1 2 ш А- сй 2А ='!ь 4-1 ~ (21.2-23) =, +,Ь,л, С = усйЛ 5Ь А ч- 5ЬВ=25Ь 2 сй —, сй А — Ь В=256 "+ ей —" 2 2 1 А т 1 В вЬ(Ач.В) сЬАсЬВ ' »Ь А »Ь В 2 сь А сЬ В = сЬ (А -1-В) + сь (А — В), 2 гь А зь В = сь (А+В) — сь (А — В), 2 аь А сь В = 5Ь (А + В) + еь (А — В), 2 сйвА=!-1-сь 2А, 25ьгА =2 сь2А — 1. у 2!.2-8. Обратные гнперболнческне функцнн (см.
также и. 21.2-4). Обратные гнпсрболнческпе функции ') ш=агеь г, ш=агсй г, ш=агй г определяются соответственно как г=гЬ ш, г=сьш, г=й ш. аг»Ь а» агьЬ Ь =- вг»Ь (а 3' Ь' + 1 ьп Ь 3«а' -«. 1) = агсь (р аь -(- 1 у я Ь ! -е аб) агсЬ а.» агсЛЬ= а«сь (аб ч. уа — 1 Уб 1)— = аг»Ь (б 3' ໠— 1 -ь- а 3' Ь» — 1), а-»-б ~ аг!Ь а -»- аг!Ь Ь = агй = 1маЬ' ') В английской лнтературе применяются также символы »Ь-» г, сЬ-» г, )Ь-» а (см, сноску яв стр. 72»). 21.2-9.
ГЛ, Ш СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 728 2!.2-9. Соотношения между показательной, тригонометрическими и гиперболичесними фуннциями (см, также пп. 1.2-3 и 21.2-12 н табл. 7.' ° ). бл. 7.2.!). атосов г = 1 агс)) г, агсв)п г= — 1 агв!1 (г, е"=сов г+! мп г, ) аа-(-а к . а — е -ы сов г —, 6)п г— 21 (21.2- О) (21.2-36) агс12 2 = — 1 аг!П (г, 6(.ос !9 г = ( агой Ы, е )к= сов г — 1 в!п 2) гк=с)) г+в)) г, е к=сп г — в)) г; агссов г = — 1 !и (г-(-1)Г! га), аГсв!и 2= — 1 !и (гг+)Г! — 21) а +а е — е -к с)) г='— ', 5)) г= —; 2 ' 2 (21.2-32) (-,ь Га агс!2 г = —; 1и — ',, 2 1 — )а' сп г=совш, агсс16 г= — — 1п —, Га — 1 2 Гт .1- ох — е(к)па сов(х1пц)+! жп (х!па), хг 611пк сов (!п х)+(51п ((п х) (к ек)п1 сов'— '".(-(в1п ~ (главиое значение), 2 2 еапгп 1 е~апч-1~п)ьк — 1 (П=О, ж 1, .4- 2, ...), р Е''п(=Е "72 (ГЛаансс ЗНаЧЕНИЕ). (21.2-33) (~ г ) ( 1); (21,2-44) В тсрмккак чесал Беркуллк (и.
21.5-2) Рис 21.2-6, Покачаталькая к логарифмкчсскаа функции. (( а1( — 1, (21.2-46) 21.2-10. Определение логарифма (см. также пп. 1.2-3 и 21.2.12, табл. . 7.2-1 и рис. 21.2-6). 1и г =1п) г (+ ! Агй г; (21. 2-34) 1) аа ~ 4("'1т) ')( 0 1 2..1 пи.ачьг 1п ( — х) = 1п х-1-(2П+1) ш со аа ет Еаа аа 1 1 с(та= — кт (-1) " а = — — — а а (Ш)1 к З а=о 2 — — аь — — кь —... Ра)<к).
46 945 (Я .2-47) сов г=с)) (г, 61п 2 = — 1 3)) (г !2г= — ( й (г, с!Е г = ! с(П )г, в)) г = — 1 61П 12, й г кч — 1 !2 (г, сй г ( с!е (21 (21 22)п) (21.2-30) (21.2-3!) 21.2-12. 212, БЛБМГ!ПАРНЫЕ )РАНСЦЕНДЕНТНЫС ФУНК!И(И 729 21.2-11. Соотношения мечкду обратными тригоиометричесиими, обратными гиперболическими и логарифмической функциями. агой г = ( агссов г, агап г= — 1' агсмп(г, ! агй г= — ( агс!21г, агой г = 1' агсс(8 12; дГГ62=1п(2+) 22 — !) агй г = !п (г -)-)кга-)- 1), агй г=-; (п —, 1 1 + а ! (21,2-37) агсй г=- 1и —.
1 а+1 2 а — 1' 21.2-12. Разложения в степеиийе ряды (см. таки(е пп. 4.10-1 — 4.10-4). 1 —,=1+г+г'+... (1 г ((11 геометрическая прогрессия, п. 1.2-7); (21.2 38) (1+г)"=1+ 1г+ 1га+... (! г ~ (1; бииомиачьный ряд, см, также пп. 1.4-1 и 21.3-1); (21.2-39) ;=1+,+,+,,+... (,,~~ ), (21.2-40) мп а = г — — *, -1- -; чс „ ., сов г = 1 — *, + ' 41 ...
) г ~ С со; (21.2-41) 611 2=2+11+5+ с)) г=1+71+41+ ' ) г|(сот (21 2 42) (п (1+г)=г — +' — ГЕ ... (, г! ( !), (21.2-43) )а 1 З а 1 5 5 аггмпг=г+2 з+2 4 5+1 4 е 7+"'' (а 1 З а' 1 З 5 швп г=г — — +-. —. — — — ..—. 2 3 2 4 5 2 4 6 7 агс(2 г = г — + (/ г / 1). (21.2-46) аг И) г = ) 1и —, =- г+ ' + 5 + .., ) 21 (2аа — ) Гга= лт ( — 1), ' а ' '=к+ — а'+ —,а'-1-. - а'+. а-1 1) Еа)Г 11-1 1 2 17 (2а)1 3 1о 515 2=1 Иа рачложеапа (46) к (47) можно получать рааложакка Лла фуикцпа й а к с1В а с по. мощью формул (52). В(.З-(.
г!Льш. Гл. г!. специАльные функции (21.2-49) (21.2-50) (21.2-51) (21. 2-52) $ (21.2-53) (21.3-5) (21.3-4) 21.2-13. Разложения в бесконечные произведения (см. также п, 7.6-6). Аналогичные разложения для функций зй г н сй г могут быть получены с по. мощью формул (32). 21.2-14. Некоторые полезные неравенства. ник<х<!Кх (0<»<и/2), ип х) 2»/и ( — п(2 < х < п)2), с!их«'— 1 ( — и<к <ЬН к ек) 1+к, ек < — (х < 1), е ' к<! — х<г к (х<1)' — к < !п (1+х) < х (х > — 1), х< — 1п(1 — х)< —,к (х<1), ! !п (1 — х) ! < Зк)2 (О < х < 0,5828).
Приведенные неравенства обращаются в равенства при х=0. 2!.3. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.3-1. Интегральные спнус, косинус, логарифм и показательная функция. По определению х аь а а1ц к и г а!и к и . ! к' ! к' 51(х)=) йх — ) йх — +з1(х) х И з+И З Т- о » (интггра»ьный синус). (2!.3-1) Значения интегрального синуса приведены в табл. 21.3-1; см, также рис. 21.3-1. ь» сьа к г ! — сьь к 1 х' ! к' С)(х) ) йк С ! — 1пх 1 йх С+(их И г +И! к к о (х ж 0) (интегральный косинус), (21 3-2) где С =0,577216 — постоянная Эйлера — Маскерони, определенная в п. 21.4-1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
