Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 163
Текст из файла (страница 163)
(В).10-9> / За стим чта повторные расслаеиные выборки будут отличатьснтачьча виутр совых интервалов. Дисперсия (9) может оказаться меньше дисперсии случайное амбар«а О / (х)/л при л 2 л!, если предварительиаи информации позволяет уда ~но выбрать ! значении 2 и н . Лу ~ше всего было бы вмбрать «лассовые интервалы с одниако' ым и дисперсиями $ $/ 2 / 1 О / (,,) .
~ /. <А> бФ <Л! — ~ / <)> УФ <А> / О/ ! в/-! <ВК>О-1О) н затем назначить теоретически точные числа выбаран в каждом классовом интервале по формуле л «Р (70.10-! 1) / /' В этом идеальном случае будем иметь относительно малую с«сверена оцонки <20,10-12) П и вьшеиин вели ~ины «лассовых интервалов метод рвсслоениой выборки приводит к результатам, аналогичным тем, которые дают квадратурные формулы. Нообы ри у.е чнв берут большие классовме интервалы! иа практике особый интерес представляют многа. мерийе интегралы, где простые соотношении сиыиэгрии могут помочь уда ному вьиору классовых «итера«лов. Дисперсия этой оценки по случайной выборке ('х, зх, ..., "х) равна Р! (х) = — !) ! (х), (20.10-5) еак что средняя квадратическая ошибка убывает только как 1(у'и при возрастании и (п.
19.2.3). Дисперсия оценки вызвана случайными флуктуацияыи в распрсделеаии различных выборок, (1х, эх, ..., лх). 20,10-2. Двэ метода умеиынеина днсперсмн оценки. Следующие методы подправивют» выборку (!х, х, ..., лх) тэк, чтобы уменьшить дисперсию выборочной средней при условии сохранения соотношении М / <х) - М /(х> - !. (20.10-9) т. е. без смещения оценки . н й вли(в) Метод р а с слави ной выбор «и.
Диапазон изменении случайно вели. чины х делят на некоторое число псдходищим образом выбранных классовых интервалов <х <й и фи«снрувт число и в остальном независичых выборочных значений х / х! (' 1, 2, .„., и ), попадающих в !-й классовый интервал, Предполагая заранае известными вероитиастн Р . - Р ( й! 1 < х < й/ ) - Ф (0/) — Ф (.-!,) (В>.10-7> пападании в !-й классовый интервал, можно а качестве несмещенной оценки ! применить ереумез аа рагс«ага«ай хибарке (И Применение коррелированных выборок.
Если ныборочные й эна.ения х не «злиютси иезависнмьщн (как это бывает в чисто случайаай выборке), то еыратксние (М длн гисперсии оценки надо заменить на (см, также п. 19.8-<в О /<а>ко = — О/(И+ —, д', '5~ сот(/(!х) /(йх) ) (Ю 10 И> г<0 Разумно введенная атал~<еже.!злая ка«реал«ил [т. е. корреляция с отрицательным коэффициентах~ коррелнпни) межпу выбранными парами выборочньщ значений х, х л будет приводить к отрипзтельным членам с новаризцинми в формуле (Ы) и мажет уменьшить дисперсию по сравнению с дисперсией случайной выборки О / (х)/л без смешении ш<снкн. Приведем простой пример.
Пусть величина х распределена равиомер«о в интервале е — 1 л [О, !) и пусть / (х) есть монета«пан функции —, Планнруеы выборку так, чтобы л е — 1 было четны» в х = !†х, х 1 — х, ..., х = 1 — х! в остальном выборочные Э ! 4 3 л л-т, значении независимы Так йак / (х> и / (1- х) каррелироааны отрицательно, то дисперсии средней уменьшаетси: О / <х)„— О /<х> коРР 01 таи что средин« «вадратическан ошибна умеиьшаетси примерно в б, б раз. Кроме того,. косрелированнан выборка требует ~енериравапыи меньшего количества случайных чисел, С другой стороны, более интересны применении н многомерныл~ задачам. Заметим, что метод расслоенной выборки фактически также приводит к отрицатель- н. й коррелнпин между выборочными чваченними: значение х ие может попасть йт! в данный классовый «нтервал, если значение х его уже заполнило, й 20.10-0. Использование предварительной и«фара~анин.
Метод значимой выборки. Вычислении по мета,"у Монте-Карло чтото могут быть упрощены путем разумного исполь. заев«ни предварнтельноО информации о возможном результате В метоле значимой ныборки пробуют оценить интеграл <1> с помощью выборочного среднего /<И/й (у) гаг у — случайнав величина с плоююстьв распределении веронтностей ч' <у) й (И УФ <у) у Легко видеть, что гахан оценка является несмещенной. Функция й(И выбираетсн тэк чтобы пас«ерова о — -и ! — — !1 /<И ! /<у> (20. Кь И> у и> (а (у! была мала, при условии, что ) е <у) иу !.
у В частности, амбар а (у) = / <у)/! уменьшает дисперсию <10) да иулн, но дл» этого нада знать неизвестное знамене /. Значимая выборка позволяет «сконцентрировать» выбор вблизи нужных значений у, на-ример, там, где /<у) быстрее изме«петен, 20.10-4, некоторые методы генерирования случайных чисел. Проверка случайности.
Н методах сравнении длн тенер«роза«ни севдослучай»ых чисел х, меньших данного г' татожнтельного модули т, нач1!на~от с некоторого неотрапзтельного числа ха <«! н зы |нсливт послсповагельные знаю«ни х. (ах! + с)пи б т (! 1, 2.... ! 0 < о < т, 0 < с < юл), <и) !О 16) гщ сложение по модулю т определено в и 12.2-10 В дна« ~ной вычислительноб машине модуль т удобно выбирать равным 2, где ! — длина ьышинного слова (число рэзрндоз), 1!Ри «=с генератор иазывзетсн мультипликативным генератором сравнении, в противнем случае — смешаины» генераторам сравнении.
Последовательности, получаемые зтнм способом. не вполне случайны, но имеют такие «псендослучайиые свойства, как равномерное распределение в интервале [О, «~>, ш"саррслираеэиность различных хр случайна эыступавщий рид четных н нечетных чисел и т. д. Рве«омер«ость распределении кажет быть проверена по критерию согласии д* (и, 19.0-7), а порндкааэи (серналыган> коррелицни — так, как указано в и 19 7.4, Заметим, однаио. та даже при отсутствии корреляции выборка !х, х, ..., х <, образованные при помон!и последовательности псевдослучайные чисел, могут «е быть незаансимымн, «тч навеет пр (еестн к непрнитным сюрпризам Может оказвгьси рэзумиитг ш лучить вполне случайные выборки с помощью цифрового преобразовании белого шума, Псевдослучайные числа с распределением, отличным от равномернога летно получить «ак функцию у (х!) от равномерно распределенных случайных величин, 21.2.1 721 ГЛАВА 21 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 5 р у 21.1.
ВВЕДЕНИЕ Рис 21 2 1 О ргдслсплл трлголоы ф= -- (5 стрлческлх Фюлгеел ллл длллого угла ф рлдллллхй 510 5р = —, а г х СО5 ф = —, г' 5!Л Р СОлф ' ! ф= р х Х Слл ф Р 5!'П ф г — ~-[-в=й, сгя р= со*ос гр СО5 ф ' р 5(лф' 12 г = —, с(2 г =- 51П 5 Сох 5 ! 1 зес г= †, созес г С055' Специальные значении тритон А (градусы! А (рлдпллы1 и 5 1 2 ыпА !'з 2 005 А Уз з 12 А У'1 с(К А 21.1-1. Вводные замечания. Глава 21 представляет по существу собрание формул, связывающих специальные функции. Отсылаем к гл.
7 для связи с теорией функций комплексного переменного и к гл. 9, 10 и 15 для применений к дифференциальным уравнениям. Гораздо более подробное изложенвз, а также сведения о реже встречающихся специальных функциях можно найти в книгах [21. Н и [21.3[. В книгах [21.5[ содержится перечень числовых таблиц специальных функций.
21.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ 21.2-1. Тригонометрические функции (см. также табл. 7.2.!). (а) Тригонометрические функции в = з(я г, в =сова могут быть определены при помощи степенных рядов (и. 21.2-!2), как решения дифференциального уранневия как г=.агсмп в, г=агссозв (ннтегральные представления, п.
2!.2-4) илн, для действительных г, в геометряческих терминах (гониометрия, рис. 21.2-!). Остальные тригонометрические функцив определяются как 2!2 влсыентдрные трднсцендентные Функции Ш.2-2. 723 ГЛ. 2!. СПЕЦИАЛЪНЫЕ ФУьяКЦИИ ап (Л.)-В)=в!я ЛсояВ+ап В с!я Л (2!.2-6) следу!от: (2!.2.7) [21.2-8) (21.2-9) Т з б л н ц з 2!.2-2 (21.2-!О) (21.2-12) з!Пв 2+ сояв 2 = 1, — = 16 2 =— Мпз ! соз з с!22 (21.2-4) имеют следствиями формулы: (21.2-5) (21. 2-13) (Ь) ап2 и ссег — периодические функции с периодом 2п, !22 и с1 г периоднчны н имеют период и; я(п г, 122 и с1йг — нечетные функции, а сов гв четная функция.
На рис. 21.2-2 изображены графики ап г, ам г, 12 г н с12 г для действительного аргумента. На рис. 21.2-3 показаны прямоугольные треугольники, которые облегчают запоминание значений тригонометрических функций для г=п/б(= 30'), г =- = п)4( = 46') н г = и/3(= 60') (см. также табл. 21.2-1). (с) Соотношения бр мп г=сов~ — — г), 1 ф 3 соз2=ап ( — — 2), (21. 2-3) 4а' йз' ("- — ), ',2 7 л с !6 2 = 12 ( — — г ), 2 Р 1 позволяют выражать значения тригонометрических функций любого действительного аргумента через значения функций для аргумента, заключенного между 0 и зт/2 рад(=90о) (табл.
21.'2-2 и рис. 21.2-1). Соотношения между тригонометрическими функциями различных аргументов 21.2-2. Соотношения между тригонометрическими фупкциамн (см. также п. 21.2-6). Основные соотношения ап г=)Г! — сояяг= 22 з У! .1- гг' з У! Фа!аз з' гзз з У!+!зля Ь! лазя ззпз т! — соззз ! 12 г= У'з;и з соя з сзгз ' с16 г = !'! — сааза зз з ш.з.з. шл. элементлпные тнднсцендентньш Функции 21.2-3.
Теоремы сложения и формулы для кратных углов. (а) Из основного соотношения ап [А -з- В) =яш А соя В з- ап В соя Л, соз(А ж В)=сов А сов В зр ап А в!и В, 16(Ляг В) =-'-""-"- "' с«(А.=В)= "'-"'-' ' ' =!а!газки Сй "— = с! В!.сзгд ап 2А =2 ап А соя А, сов 2А =соя'Л вЂ” я!и'А=2 сояз А — 1=! — 2 21пз А, 1 ! о( 2'ел ! — зк Л' л тУ! — созя л . ° У!Фсозл ап г-= р, сов — -= ь Л *!пл ! — сазл 2 !+од ыпд А нп Л ! 4-поз Л ! — саз л мал и вш А+6 соя А г в!и (А-1-В) г сов (90 А В) г=+ г' ля+6', 12 В= —; а ' ап А -! ап В= 2 ап = сов — ' —, Аз.п А ГВ 2 соз А+соя В=2 соя — сш— Л-1-В А — В 2 2 сов А — соз В = — 2 ап — ' ап: В-~-В .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
