Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 160
Текст из файла (страница 160)
е, до ха включи. тельно), а остающиеся свободные коэффициенты выбнра(от так, чтобы уыепь(ннть распростравение ошибок или чтобы упростить вычисления (п. 20.8-5). В табл. 20.8-2 приведены некоторые наиболее употребительные формулы четвертого порядка. (Ь) П р им с пение и од и фи к аци й. В каждом методе спредсказа- НИŠ†КОРРЕКЦ» РаЗНОСтЬ Уньерр( — Уьнрс", ПОЧтн ПРОПОРЦНОНаЛЬНа ЛОКаЛЬНОй ошибке усечепия, Поэтому можно уточвить решение с помощью следующей модификации. До подстановки предсказанного значения у(пр+е", в фоомулу коррекции к нему прибавляют поправку ш (у~а~по — уйпре"), пропорциоиальную (кззапной разности на предыдущем шаге расчета, а затем от скорректированного значения укйорр( вычитают величину (1 — и) (у"ойрр( — у'Ре",) для получения окончательного значения уй,, (табл.
20.8.2), (с1 В и е т о д е Д «м с д е й л а четнертого порядка производится итерация по формулам 1 1 Рйэг= 2 (Пй (-Раза)+ 4 ()а )йээ) Ьх (29.5-141 раса=ой+ 5((5+41541+)ьэа)ьх ! начинен с некоторого еыбраиного значения рй „, например, рй а рй -1- Нй Ьх; прн шом метод допускает изменение ееличнны шага путем простой подстановки нового заа. чения Ьх Этот метод не требует специального расчета начала решения, но после того, как решение начато, можно набежать ншрацнЙс помощью прнмененин экстраполяции для аредсказаннн р, 20.8-5.
Сравнение различных методов решения. Контроль величины шага п устойчивость. (а) Формулы интегрирования, выбранные из-за малой локальной ошибки усечения, могут способствовать накоплению ошибок в последовательности зна- чений решения. Выбор метода решения дифференциального уравнения требует нанон(орава компроиисса между учетом локальной ошибки усгчения, устойчивостью й а)ы- т а б л и ц э 20.5-2 Некоторые методы четвертого порядка типа «предсказанне — норрекция» Кпмдаа схема может бьпнь нсзэлэзэзанэ как с модификацией, так и без иее.
Модифнцироеанные значения обозначены через рмеп, (Моп =-. ! (х, РМОП К Во всех й'1' й'1 ! 541' й41/' случаях нелнчина уточнения н последней строке дает еерхнюю грань локальной ошибки усечен«я (а( предсказание по Адамсу — иашфорту с коррекцией по Адамсу — Мултону и модификацией пирея =ей -(- —, ° (551 — 59(ь .(- ЗП вЂ” 9! ) ьх анод Рпреп ,. (РкоРР „пРеД) 251 й 1 й-! 215[ 1 р" РР=РЕ+ (9(мол ! 191 ц +1 5 ах йэ! ' 241 й.-! й й-1 й-Э) (51 Метод Хеминнга 4 "ь-!'! ="и-э+ з (2!й (й-142)а з) ьх мой пред ' «орр пред) 112 5.1 йг( 121 'й 1 3 Рнопр= — (эа — о )+ — (! и 4 21 1 ьад йь( 5 й и-а а 15 ! й Ь-1! ,карр гекорр „пред) 9 Ььг йс! Ш! й 1 зйь( (с1 М е т о д М н л ° а, моцифициреэа нный Хеммингом, имеет относительно малую локальную ошибку усечь~ пя, ио «аляется неустоячиныч, если 5Бдр от ицательна «ли представляет матрицу с сер«!штельаымн собстееннымн значснияии Р пред „йр д=- пь з+ з (2(й 15-14 2(й-е) ьх „мод „прел 4 .„«орр „пред) 25 511 29( й Рнер)! р + ' г!моп ! 41 ! 1 ) ьх „норр гакерр „пред) 1 541 й'1 29 й 1 511 1!вием расчета.
Сверх этого прсдпочтигнельнгс тс формулы, э которых слагаемые имеют одинакоеые зинни и нс слишком он1личаются по абсолютной величине, пгак как при этом умгльишглся влияние ошибок, еыззанных округлением. Окончательный выбор завнси! от обласги применения в от применяемых вычислительных средств. Часто применяется двойнап точность вычисления значений переменных. Если данная функция 7(х, у] очень слоя(ная, то основное время расчета связано с вычислением ес значений.
Для задачи Коши с умеренно гладкой функцией 1(х, у) многошогоеыс схемы инт!грироеания требуют относительно мало вычислений производных и допускают экономный автоматический контроль величины шага по величине ! УкорР— у"Ре," !!. Мел!одм Рунге — 1(ушта очень устоичивы (п.
20Х-5) и пе требуют отдельной программы для начала 23 г. кори и т. кора гв.з-т. ш.з. численное интер ировьние овыкновенных ьрьвненин 707 20.8-8. гл. ю. численные методы и Конечные рьзности решения; ; поэтому они предпочтительнее для задач, связанных с частым измен большого коли- пением ша га, Но методы Рунге †Кут требуют относитель о е и я них весьма сложен честна вычислений производных на каждом шаге дл эффективный контроль величины шага. Чтобы оценить локальную ошибиу у ' е сечения для контроля величины шага в метоной велнчине шага нах Рунге — Кутта, можн р О с винить езультаты, полученные при раз ния пронзволпых). или же иссле(используя, по воз можпости, же накопленные значения и .. д часто применяемого метала Рунге — Кутта (с) аовать полхолящне функции от «1 Для часто примен из табл. 20.8-1 величина (20.8-18) числеп- е = 8) Ьк+ «, — 2«, — 2« ««1 (2ОЯ-1б) анисина 4 (п.
20«.8). Отвеча~ощее ему характеристическое уравнение г1 ( — 1-1. В,А«) кет! -1. (А, + В,АЬ) к -1. (А, -!. В,А«> к -)- ... ...+(А +В АЦ=О, (20.8-18) А=--~, Л=Ьк д) 1 др )к к,' д) ) 6 ет иметь корень а ехр А«при малых знвче и н их 1АВ!. Если А=" ) )О, улет ме 1 др!к к« е после овательиости ошибок Судет пеустойчнто соответствующее собственное колебание п с ц чнвым; но таким же будет и точное решение р (к) вблизи к = к«, так чт ошибка может оказаться и незначителен р ой и и малых Ьк. нри е — 0 (простой олнашаговый метал) к рень к, ~>щ~ минт уравнение (!8) будет иметь наполни е р е вычисленном решении, вазнниающим ~слеп~ты рашастио аппра порядка.
Длн относительной устойчивости вычисленного решения р ополаительиые корин при рассматриваемых значениях к лежали * и изменении шага (которое, подобно ошибкам Наибольший риск существует при изменении шага округления, может вызвав побочные колебания) и в лизи г наго лпфферепцнальиога >равнения. Если есть подозрение в возяикв е ецин, та ега можно прОверпть путем ис у к сствеиного ввеаеиня малог ш~Ип Ость схем м «и огноз — ка екция» зависит и от преяска и от формулы коррекции, но в большей степени от последне ь есл мала.
8-6. Обыкновенные дифференциальные Уравнения нысы!ж Р системы дифференциальных уравнений. ни вто ого нлн более ( ) Каждое обыкновенное дифференциальное уравнение второго нлн л высокого Р порядка равносильно системе уравнений первого пор д ( . . - ). Если записать последнюю в матричной форме п.
13.6-1, то каж д р ый мего еше- . 20.8-2 — 20.8-4 ает аналогичный метод численного интегрирования системы. нфМ енц (Ь) В частности, рассмотрим систему обыкновенных днфМР ц уравнений первого порядка вида у'=) (х, у, г, ...), г'=й (х, у, г, ...), ... нальных (20,8-19) с решением у=у(к), г=г(х), дает грубую оценку локальной ошибки усечения. анискин (1), вы (Ы Устойчивость пРнближеииого Решеииа Р» Ре Р, ... УР ного с помощью многотОчечной формулы р« —— Аер +А,а«+...+А р«+ '-(в 1 «-в) +в) +-.+в) „>ьх.
зависит от устойчивости соответствующего лннеариаованиаго разиостного ур кля паслеповательности ошибок сс с» е» ..., „ ..., а именно е«л,е«+А,е« -', ...+ А е(, + «-д(1 (В е «-Вс фВ,с +...+В е«>ак (20.В!7> +8„1... «„ « Интегрирование системы (19) нслюдом последовательных приближ ний Пикара илн с помощью рядов Т('В«ори по существу уже описано в п. 9.2-5. Метод Рунге — 7(уепти применяется по схеме, подобной п. 20.8-2, Ь: у«+з = у«+ 8- (21 + 222 + 228 + йа) 1 1 г«сз — — г«+ — „(т,+2(лз-1-2т +(н ),, где йт=)(х«, ую г«, ...)Ьк, т1=ы(х«у«, 2«...,)ьх...
т2 у к«+,—, у«+ —, «+ л 7 Ьк 2' 2 Ьк йз=!(х«+ -2- у«+ — *, г«-1- ' ) Ь «» ОС, та=У(х«+-.У«+ — *, г„-1 т ) х «а=)(х«+Ь, у„«йз г.+т та=у(х«+ьх, у +й г 1 ен (20.8-2о) Рыно тная схема вз п. 20.8-3 может быть прим из уравнений (19) с обозначениями у(х«) =у„ г(ха)=гю ..., 1 7(хз, У«, г„, ...)=1«, У(к«У«г«) — У ,20.8-21, (с) Устончиво"ть точного реш ння у у(х) системы з матричных обозна чан иях ди»ь ( (Х, У) у"=7(х, у, у') при начальных условиях у(х,) =уе, у'(ха)=у,'; в этих схемах введены обоз!шчеиня: (20.8-22) ха«йьх=х«, у(х«)=у«, у'(к«)=у«, 7(х«, уы у«)=)« (2=0, 1, 2, ...). (20.8-23) Приведенные ни)ке методы могут быть распространзны на системы уравнений второго порядка так, как указано в п,20.8-6.
23' зависит от матрицы (дг/ду) (п. 13.6-5). Уравнение (!7) становится матричным разностным уравнением; прн исследовании относительной устойчивости собственные значения этого уравнения мадо сравнивать с собственнымн значениями матрицы (дПду) !т = х„(20 12). 20.8-7. Специальные формулы для уравнений второго порядка.
Ввиду практической важности дифференциальных уравнений второго порядка представляют интерес прнведевные ниже схемы численного интегрирования дифференциального уравнения 20.8-8, в, -*-лв, —, В(«ы)=а(г)ив ж ' ' ' - Ьк 1 А«г ' — А«г (г «), (20.8-50) (20.8-24) (20, 8-25) (20.8-26) (20.8-27Ь) (см. также п. 9.1-5, Ъ). (20.8-28) р" =1(к) р+ й (к) можно решить с яомощью одной лишь ние (28), получаем и „=йи — иа 1+ ~1000+ й), -(- — (20 — 281 + 01 )1 Ькц 1 (20.8-29) где 1 и р (1 — 1 ьк«1 й 01 Ш 1 ратл — 20„+р„,ф- Ькд =О И = 1, 2, ..., л — 1) 708 ГЛ.
Ю. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ (а) Метод Рунге — Кутта для уравневия (22): уй+1 —— уз+у„' Ьх+ — (Ьл+Ьт+Ьа) Ьх, у' + 1 — уз+ — (Ьл + 22»+ 22»+ Ь«), где Ь =1(ка, Уа, Уа) Ьк, Ьк , Ьк ° а ) Ь»=1)кк+ 2 уй+уз 2 ' Уа+ 2 1 Ьк Ьк (О ° 0«'« Ьв=((ка+ 2 Уз+уз 2 + ( ' Уа 2) ((к .~ Ьк, уз + у' Ьк+ — «Ьк, Уз+ Ьа) ()к. (Ь) Интерполяпионно-итерационная схема. Начиная с некоторого пробного значения 10«1, итерируют у,)=2У вЂ” уа +((0+-„9«Ь ) Ь ' уа-1+ (2[0+ з У 10~7) Ьк' (с) Схема «предсказание — коррекция» У' „1 — — У' -1- — (210 — )0 +2)0 ) Ьк («предсказание»), 1 раж=Уй-1+ з (Уа«1+4Уй+Ул 1) Ьх, уе „(=уа 1+ з Узы+4«га+«10 )ьк («корр "ци»). Если 1(х, у, у'), не содержит явно у', то можно применять в качестве предсказывающей формулу упв'а=2уз 1 — уа з+- Ча+(а +(а з) Ьк', в для уточнения формулу (Штермера) корр 29 ! 1 Г«пред+ 10( +( Л Ь (0) Метод Нумерова дли линейных уравнений (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
