Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 162
Текст из файла (страница 162)
Иентральио разиостиый оператор. применяемый для 0 ОтноСительнаЯ погРешность имеет поРЯдок г Ьгйго У биз Ра роваяная соотиошеяием Ьг = гйр. с тк, градун йг— бг бгг бг бг— дгг 0494 У Гб ай4а4 Рис. 20. - . .9-б. Разнсстна» аппроксимация для иитерполнроааиия нперед или назад (пря моугольная сетка декартовых координат Ьз = ьр = Ан Относительна» погрешность имеет порядок АЧ ы гл 20 численные методы и конечные РАВности 29.9-0 Рис.
20.9-!. Операторы длз центрально-разиостной аппронсямацин Огрямоугольавя сетка денартовых координат: Ьх = Ьу = А]. Относительная погрешность имеет порядок ЛЧ Рнс, 20 9-2. Иеитральио-разностнвя аппроксимация для сетки из правильных треуголь никон со стороной ь. Относительнан погрсш11ость имеет порядок Ач Рис 20.9-3. Иентрально-разиостный оператор, применяемый для градуированной сетки или для аппроксимации вблизи гранины. Относительная погрешность имеет порядок А. Я вЂ” (4) — — Я 70+ Рис. 20.9.4. Центрально-разнсстиый оператор.
применяемый для косоугольной сетки декартоных координат. Относительная погреш- ность имеет порядон ЬЧ О вЂ” О-О гй б, 7И Гл. 20. численные метОды и кОнечные РАзнОсти 20.0.7. 20.9-9. И>.9. Крленые злдлчи; интегрлльные урлвпщ(ия 715 отношениями. Получающиеся уравнения, так же как и разностные отношения, аппроксимирующие само дифференциальное уравнение в точках вблизи границы, будут включать значения функции в точках, лежащих вне области; но все такие значения можно исключить алгебраическими преобразованиями. ! ,! Г ! 1 Г 1 1 ! 1 1 Лрпяпугпльнпя сгтпп и) урпугппьнпх спюха Ряс.
20.9-7. Представление краевых условмй для Ч*Ф 0 или у'Ф = О. Сетка продал. жена влево от данией границы и введены отРажеииые аначеиии» Фв = Фм Ф =Ф,Ф =Ф,пля представления чсловия дФ>дл 0 па грамице разиастным отношением. Краевое усло. впе Ф О, О'Ф = О (иапрммер, свободный край упругой пластины> представляется подобным же образом через Ф, = Фа = О, Фа -Фа Ф! -Ф». П и На рис.
20.9-7, Ь показано, кек аппрокснммруются краевые услапня рн ер Ф' — Ф =О. Ш'— ОФ>длтс пУтем атРаженна» значений фУикцни в гРаанцах так, что Ф' — Фв —— Фа О. Дла ДмффеРЕициальиого УРавиеииа УаФ=О, пРимвнав пеРвый Разиостпмй оператор рис. 20.9-2, получаем Фв+Ф +Фь+ Фа+Фа+Ф 6Ф О плв, так «ан иа краевого условии вытекает Ф' = Ф, Ф' = Фе 2Ф»+2Ф»+Ф»+Фг ОФ»=0.
Последнее уравнение содержит толька теки, лежащие внутри области нли аа грапвие. 20.9-7. Задачи, содержащие более двух независимых переменных. Анало. гнчные методы применимы к задачаы, содержащим б>олпе двух независимых переменных. В частности, ЬерфФ (х, у, г) — Ф (х+ Ь, у, г) + Ф (х — Ь, у, г) + Ф (х, у+ Ь, г) + Ф (х, у — Ь, г) + +Ф (х, у, г+Ь)+Ф (х, у, г — Ь) — б Ф (х, у, г), (20.9-3) Число независимых переменных часто может быть уменьшено путем разделения переменных (п.10.1-3). зелмз.
пригодность Разиастиых схем, условия устойчивости. пригодность решепниг полученного разиостной аппроксимацией, требует «сследоааиии осли дифференциальное ур авнеиие еппроксимнруетси двумя равличиммн ревностными уравнениями, то даже при од иом и том же шаге сетки мы можем палучпть значительное расхождеи е.
Св р того, ие всегда возможно улучшить аппрокснмацн1о путям уменьшения ша а е д г с тки, аже сели раз т р с нос иое у авиеиие допускает точное решение, Пригодны только такие схемы в «вторых прм уменьшения шага сетки решеияе развостного урваиення сход я Р- шеиню рассматриваемого дифференциального уравнения. Для параболических и гиперболических уравнений с частными пронвводиыми такая сходимость имеет место только тогда, когда шаги сетнн по обеим координатам удовлетворяют некоторому ьслааию ьстойчиаасти. Так, агшгииг рааиагтнага иааангнил Ф (х .(- Ьх,п — 2Ф (х, Л + Ф (х — Ьх, Л 1 Ф !х, !-1- Ы) — Ф (х, Л Ьх» а! Ь( сходится к Рг аснию Ьпаачгиил тгп.юправадчасти [п, 10,4-1) д»Ф ! дФ дх' а' Ти лпл Ы О, Ьх О, если Ы( —, Ьх», 1 та* Ргтгниг Ратногтнага пап»лечил Ф (х -1- Ьх, Л вЂ” 2 Ф (х, Л -)- Ф (х — Лх, Л 1 Ф (х, 1 + Ы) — 2 Ф (х, Л + Ф (х, ! — Ы) Ь.г ' сходится к агшгнию ааллагаю ьрг. нгния д*Ф 1 д'Ф дх' с' ап при ЛГ О, Ьх О, если Ы < — Ьх 1 с Такие условна устойчивости обеспечивают также лучшую аппрокснмапию прн конечном шаге сетки, Заметим, что лгягнм методы (и.
20,9-4) ие требуют таких ограничений, кан явные методы, приведенные выше. Наприьюр, неявный метоц, основанный иа алйраксимачия Ииголтона а'Ы а*л!т Ьг* — — РР (х — Лх, ! -1- Ы> -1- Ф (х ! Лх, ! -(- Ы~ -1- ( 1 +,-) Ф (х, ! + ЬЛ» Ьх' 7 а*Ы) п'л( = 1 1 — ) Ф (х, Л -)- — [Ф (х — Ьх, С) -1- Ф (х + Ьх, ЛВ даст прпблажеиное Решение уравнения теплопрааодиости, которое сходится к чному решению, как только Ьх О, Ы О, 20.9-9. Методы аппроксимирующих функций для чяслеиного решения краевых задач. (а) Аппроксвмация функциими, точно удовлетворявшими краевым у слави ям. Пусть переменное х одномерно или многомерно, х=(х,, хт, ..., хл) (п. !5.4-1).
Требуется найти решение дифференциального уравнения обыкновенного или с частными производными В Ф (х) =) (х) (х ~ У), (20.9-4п) удовлетворяющее краевоь!у условшо В Ф (х) =Ь (х) (х С 5) (20.9-4Ь) на границе 5 данной области У (п. 15,4-1). Аппраксимируем искомое решение Ф (х) некоторой аппрокси.нирующсй функписц (20.9-5п) 9>=(Р(х; а>, а, ..., ат), ко!орая удовлетворяет краевым условиям и зависит от ш параметров а„ ат, ... , ат, Во многих приложениях уравнения (4) линейны и функцйю Ф (х] аппраксимируют линейной комбинацией известных функций !Р = ~ аь 0>а (х), а- 1 где (р, (х) удовлетворяет красному условию (4, Ь), а (рт(х), ..., (Рт(х) удовлстворяют однородному краевому условию В Ф (х) =0 (х 5 5) (см.
также п. 15.4-2). Ошибка аппроксимацнв (5а) или (5Ь) есть функция от аы ав, ..., ат: Е(х( а,, а„..., и. ) — = 1. (Р(х; а(, ая... ест) — )(х). (209-5) Неизвестные параметры аы а, ..., ат выражения (5п) или (5Ь) определяют по одной из сдедующих схем. 20.10.1. ?1? 20.10. МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО Тогда Лл АЕ»и»=()Е (1=1, 2, ..., ел), й =-1 где Аей= ~ч 5»|1(Х«)?»(Х») Ее=1 ()1 = ~~ Ьй)1 (Хй) Е (Хй): (20.9-15) й=1 ье ~д , 'А;»ай=(1; (1 = 1, 2, ..., т), (20.9-16) где 20.10. МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО Ф (х) — ). ~ К (х, $) Ф (е) д$р Е (х) (20.9-12) ?16 ГЛ. Ю. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20,0-10. 1. Колл о каца я. Выбирают ай так, чтобы ф(х; аа, "., а, ) точно удовлетворяла данному дифференциальному уравнению (4а) в т точках х=Х„х=Х„..., х=Х, т е.
чтобы Е(ХИ мт, аэ, ..., ию)=О (1=1, 2, ..., т). (20.9 7) 2. Средние квадратические приближения (см, также п. 20.6-2). Выбирают ай так, чтобы минимизировать среднюю квадратическую ошибку ,Е (а„ач, ..., сьм) мь ~ ! Е (у! ат, а, ..., ссм) е' з Щ (20.9л0 или величину Е(им „..., а ) ив ~З ~Ьй(Е(Х»; и„из,..., а ) ', (2ОТЬО) »=1 где Ьй — подходящим образом определенные весовые коэффициенты, приданные ЬЕ точкам Хт, Хз, ..., Хм из )е. Например, можно злягь равноотстоящие точки и положить Ь =Ь =...=Ь,=).
Коэффициенты ай определяются из т условий — =0 или — =0 (»=1, 2, ..., ел). (20,9-10) дай да!, 3. Метод Галерки на. Выбирают т линейно независимых спасовых функций» фт(х), ф, (х), ..., фм (х) (часто применяют тьй=ерй) и определяют ий так, чтобы фе(5) Е(еье а„аз, ...,ал)де!=О (1=1, 2, ..., т). (20.9-11) Если данные уравнения (4) линейны (линейная краевая задача), то и полу- чающиеся при аппроксимации вида (5Ь) уравнения (7), (10) или (11) будут ли- нейны. (Ь) Аппроксимация функциями, которые точно удав. летно р я юг дифференциал ь нам у е ран нению. Часто предпочти- тельнее использовать аппроксимирующие функции (5), которые для всех х из (е точно удовлетворяют дифференциальному уравнеяню (4а), и подбирать пара.
метры ехй по краевым условиям одним из указанных выше мсгодоа. 20.9-10. Численное решение интегральных уравнений (см. также п. 15.3-2), (а) Решение Ф(х) линейного интегрального уравненвя часто можно аппроксимировать итерационным мелюдам п. 15.3-8, а, или же можно аппроксимировать данное ядро К (х, С) многочленом или другим вырожденным ядром (п. 15.3-1, Ь), чтобы упростить решение. Задача о собственных значениях (Е = 0) часто может Рассматриваться как вариациониаа задача (п. !5.3-6). (Ь) Метод аллроксилируюецих функций п. 20.9-9 прнмешем также непосредственно к численаому решению линейного интегрального уравнения (12).
Выберем аппроксимирующую функцию вида (5Ь) и вычислим т функций )й (х) =ерй (х) — А) к(х, й) уей 10) ау, (11=-1, 2, ..., т). (20,9-13) 1. Метод ха«локации дает т линейных уравнений еь ~л ий?й (Х;) =Г (Хд 0=1, 2, ..., т) (20 9.14) й =.1 2. Метод наименьших квадратов приводит к системе лннеииых уравнений ье Ьй — весовые коэффициенты, определяемые так же, как в формуле (9). 3.
Метод Галсркина приводит к системе линейных уравнений (ы = ~ фе (5) ?~ 6) Ж Й = ~ фе 6) Е й с% 20.10-1. Методы Монте-Карло. Каждый расчет методом Монте-Карло можно рассматривать как оценку некоторого интеграла У= $ 5 ... ~ ) (Лы й„..., йм)дФ().1 йю ..., Хм) (20.10.1) с помощью выборочного среднего значения Е'(хг, хз, ..., х, ) = — „~З ~? (йхд, йхз, ..., «хй,), (20.10-2) »-1 гле (хт, х„..., хм) — некоторая (вообще говоря, многомерная, Ае ~ 1) случайная величина с известной функцией распределения Ф (хг, х„..., хл).
Методы Монте-Карло широко применяются при исследовании явлений в случайных процессах, слишком сложных для яввого решения методами теории вероятностей, а именно, в задачах диффузии нейтронов, задачах детектарованвя и связи и в разнообразаых исследованиях операций. Сверх этого, часто имеет смысл преобразовать задачи других типов, особенно содержащие сложные многомерные интегралы, в такую форму, которая позволяет решать их методачи Монте Карта 20.я. метОды монте кАРлО 219 20.10-4. 7)В гл.
в>. числпннып методы и конечные ~йзности Для простоты ограничимся рассмотрением оценки методом Монте-Карло однажернога интеграла 7= ") 1(А) О(Х) (20.10-0) с помощью среднего значения / (х) = — (/ (1 т) + / (зх) +... +/' ('х)). (20.10-4) 1 л/ ! / г 1 И> 1«-2> причем Рэ о/< > „„-Х вЂ” „! о/(').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
