Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 157
Текст из файла (страница 157)
2!.7-4), т. е. положить х»=с<в!,„+ гл (Ь=О, 1, 2...„т). 2» -)- ! (20.6-8) Тог а лри едиличльш весах Т»=1 ортоголольлыг хною»лены, определи»лиг д гоотнои!гнием (6), говлодшот с много»ленами Чебышева Т (к) (см, также п. 20.5-5). э ! (Ь) 1 а ни о о тото я щ ие точки. Если т+1=2ЛЕ-[-1 точек х деляг отрезок [а, Ь[ на 2М равных частей, так что » в +Ь ! ь — а х»= — '+!!5» [бх= —,, »=0, ч- 1, ш 2, ..., ш Л!), (20 б 9) то ортоговальные многочлены <рс(х), определяемые соотношением (6) при еди.
ннчных весах Т»=1, имеют зид !рс (к) и— и Р! (< ь в Л! 2'"!) Если обозначить значения функции )(х») через !», то аппроксимация миагочлсиами до третьей степени при 31=2 дает следу)ощие сглаженные значения: В зил — '(69! д+4! — 6[а+4! — ! ) =[- — 70 5'!" 4 Р,= '. (2[,+27[т Ь)2! — 8[4+2! )=1-2+ж 5'! ° з ре= 1 ( 3! +12! 4+17[0+12!1 — 3[з) [е — -зз5'ге Р,= — '(2! з — 8! 1+12)4+27[1-Ь2[д)=(1+ 35 +4! ! — 6[~+4)~+69)~)-[~ 70 1 (20.6.15) 20.6-4, Равномерные приближения.
(а) Равномерные приближения минимизируют наиболыиев значение абсолютной ошибки [Е (х) — 1(х) ! либо на всем отрезке [а, Ь[, либо на дискретном множестве точек. Вычисление коэффициентов а! многочлена (Ц, дающего равномерное приближение к функции !(х), весьма трудоемко. На практике при использовании в формуле (Ц в качестве эр» (х) ммогочлеиов Чебышева (возможно. с изменением начала отсчета и масштаба, см. также п. 20.6-4, Ь) равномерные приближения оказываются близкими к приближениям по методу наименьших квадратов.
Это имеет места тогда, когда приближение многочлепами Чебышева Р(х) ~К, а» Т» (ах) [Т„(х)=соз ЬО, сов О=х) » 0 имеет ошибку того же порядка, чта и первый отбрасываемый член а„! Тл,(ах) для всех х дц [а, Ь[. Так как миогочлен Т„э, (ссх) в рассматриваемом интер. вале колеблется с амплмтудой 1, то наибольшее значение абсолютной ошибки приближенно равно [а„л,[. (Ь) Иногда удобно применять смещемные многочлемы Чебышева Т„*(х), определяемые на отрезие [О, Ц формулами Т*(х)=Т (2х — Ц=созлб (со80=2х — 1; л=О, 1, 2, ...) (20,6.)6) ли л нлм Теб (х)=1, Т„*+, (х) = 2 (2х — Ц Т„"(х) — Т„*) (х) (л=1, 2. ".) (20 б 17) Т" (х) =2х — 1, 1 (с) Таблица 20.6-1 дает несколько первых многочленов Т„(х) и Т„*(х], а также разложения степеней 1, х, х', ..., хз по этим многочленам (см, также и. 21.7-4). Таблицы 20.6-2 — 20.6-4 дают некоторые полезные приближения трансцендентных функций миогочлеиами.
20,6-6. Эконамизацня степеннйх рядов, Если вычисление коэффициентов разложения по ортогональным функциям значительно сложнее, чем вычислейие отрезков степенного ряда для функции !(х), то с небольшой потерей точности можно понизить степени этих отрезков, выразив высшие степени х через низшие степени и многочлены Чебышева. Например, из табл. 20.6.1 находим хе ( 9х+!20хд 432хд+57бхт)+ Тд (х) Последний член на отрезке [ — 1, Ц колеблется с относительно малой амплитудой †. Отбрасывая этот )лен, мы получаем представление хе через 256 ' 1 многочлен седьмой степеия; далее зту процедуру можно повторить с х и т.
д. Вместо этого можно все стенени выразить через многочлены Чебышева м пренебречь темп из них, которые будут иметь малые коэффициенты, 686 ГЛ. Ю. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧН!!Е РАЗНОСТИ 20 Г.). 20,6. АППРОКСИМАЦИЯ ру)цгц!Ич Таблииа 206-1 А)иогачлсл)ы Чебышева Тл (х) в Т, (х) н степени х 7, =- 1 Т,=л Т,=за — ! Т, = дл' — зх 20.6-6. Численный гармонический анализ н тригонометрическая интерполяция (см. также пп. 4.11-4, Ь и 20.5-Ц. (а) Даны и значений функции у(х»)=у» при х»и й — (Ь=О, 1, 2, ... Т т и — Ц; требуется аппроксимировать у(х) на интервале (О, Т) тригонометрическим полиномом л У (х)= 2 Ае+ „У~ (А)соз! 1.
+В! 8)п !' — "Т вЂ” ) (л( — ) (20 6-!8) )=1 т — 1 так, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений ~ [У (х») — у»[з. »=0 Искомые коэффициенты А), В! определяются по формулам т — 1 т — 1 2 -л .2л)г 2 .,2ч)г г . тл А)= — р у„саз!' —, В)= — ", 'у» е!п!' — ' — (0~! С-.). (20.6-19) »=0 »=о В кастиии случае л= т72 Формулы 118) и 110) ииссте с т-! 1 чл Ал = Ат)2 = — ~ 1 — 1)" Р» !20.6-20) т Лл » о веют У(х») »И ) !тригенеметрикегкил интериеллиил) ири иреизиильиаи л . л' Аиелигичиые формулы Али иеразииитстиищих л», а также числеивые методы Ллл ииигииериеги аиализа и свитееа си.
е 120.! Н, 7' = 84' — зх' -1- 1 Т„=шл — аол +5л Г, = 32л' — 48х' 1- 184* — 1 77 =- 64х' — 112х' .1- 56х' — 7л Г, = 128лл — 256х' -1- 160лэ — 32л' -1- 1 Т, = 25)л" — 570л' + 432л' — Гщхэ .)- Эх Ти= 1 е Ти= 2л — 1 л Те = 8хэ — 8х + 1 Ти = 32х' — 48л' + 18х — 1 Ти = 128х' — 256лэ -)- 160хэ — 32к .1. 1 =Т, х =Т, Хэ = — гт, -)- Т,) 2 1 «э= — ИТ,+ Т1 4 1 ° = — )згэ-~ 47 э+ Т,) э— л'= ж Обг,-) ЬТ, + ТЫ 1 хе= — Одг, — 15Т, +67,-1. Т,) 1 х' — — 1% Т, -)- и Т, + 7 Т, + Т,) 1 лэ = — - )щгэ 4- 56Т + 28Т« ")- 8Т 1- Т 1 ) к = —,- — 1)Щ Т, + 84 Т, + 36Т, .). ЭТ, + 7',) 1 =Те е х = — (Тэ-+ Тгг) 1 2 1 хэ — (зги -+ чу* + Ти 6 е э з) 32 ()ега+ !5гид ).еги+ 7 аз) 1 1 т = — — (ЪТ -~збге+ жги+ зги ф Т У 128 е л з е гл.
20 численные методы и конечныг. Разности ыл.б. ВО.В-О. бб! 206 ЛППРОКСИМ ЩИЯ ФУИКПИ(1 ил в Ви л»и и ва о о 'о о В *оо во щ л О и г . и о'3 и 3 1 об Приближение А Лл 4 О 00019 .Ю19 5 -О,ООЭЮ 997л 6 О,ОО(ЮО 043» 7 — ОЛОООО 0015 х (0<в< 3) 7 Ч' Ал Т„' (х) л=н 0.64503 5270 — 0,31284 1606 О 03670 4335 -0,90320 86% 88 о о о'о 1$1 го В%И й „гг -8 .о ола -о Д- о г» !!! $11 ооа П П (! Й=- 111 ф88 о'а с( 111 -оо Ь' Ч' Лл 7, (х) л — — в (0<а <!) 3,76 33 3 7654 0,%039 1%4 0,305% 8694 0,00872 2105 О,ОООМ 3437 0,00002 1310 О,'ООООО 3323 0.0036% 0040 0,00000 000( ППП О О Гг оо г )п (1+в) (О < х ~< 3) 33 л л=о О 37645 283 3 0,34314 6750 — 0,02943 7252 0,00336 7039 — 0)Ю)43 3276 0,09005 947 3 о'аоо 1111 ГВ П Гг О Б 7 8 9 1О 13 -0,00060 3503 0.00000 1%0 — 0,00000 0381 0,00000 0029 — О.ООООО 0004 О.ООООО пЮ( ой Щй оо 11! $1$ МЯ а о о сг 1$1$ амоо 11$$ ооо.о оооо 5 Литл (х') и=о пх савв 2 ( — 1<а<1) 0,47200 3216 -0,49940 3258 ОЛ2799 2080 — 0,09959 66% 0,06000 6704 — 0,00000 0947 (и ,о + (и + О Чв Тв лх в(ив 2 ( — 1 < х < 1) + м ~(ю к!» + 1,27627 8962 — 0,28526 1569 0,0093! 80(6 — О,О(Ю(3 6587 0,00000 ! 185 — 0.00000 0007 + м)о Ал ли) л=о 2 и и(ю + !О л О 0,88337 3587 — 0,10589 2(ЮВ 0,0!333 %43 — 0,00138 П% 0.09038 5743 — 0,00002 6% 5 агс16 х (-1 <а<1) 0 3 2 3 4 5 б 7 8 9 30 0,00000 3823 — О,ООООО 057О ОХЮООО 0086 — ОРООО) 0033 О,(ВЮ(Ю ООО2 агсюп х л=о 3,05!23 3%9 0,05494 6487 0,00108 0631 0.00040 7890 0,00004 6985 0,00000 %8! О,ООООО 0777 0.00000 0307 0,00000 0015 0 00000 6002 732 т 2) ,— —; — Ю:х< — 1 2 2,1 и м и е »О и 3 О а й 8о~ о и 8$ „8аа о'ооо ПППП оооо о д » оо,88 ('оа 111 3%6И И8 8 ~88 оооо ! $111 Х Жо я 8 ооо' 11 ! 111 опо о8 8 Д- ооо ППП1 Таблица л04 Приближен)гв мвогочлепвми Чебышева Тл (х) =.сов пб, где сов д =2х — ! При (х() 1 полагают агс(б х= — — агс(я— и 2 х и 3 а и е ч а н и е; вгссов х = †, — агав(п х.
2 При 37272 < л < 1 полагают агсв(их = агссов У( — хб атосов х = агсвгп Р 3 — х' (Ь) С х е м а н а 12 о р д и н а т. Вычислен))е сумм (!9) упрощается, если гл делится иа 4. Удобная расчетная схема при (в=12 приведена в табл. 20.б-б. Г!ЧЗ го.6-7. 20 6 АППРСЛ[СИ МАПИЯ ФУИДПИП ЬА! =Р» -1-Р! ! Р! + -. ->- дп (Л* = д р! - Рв д А,=- (д,— д,)-!.А„ г (в,= р( )-д(: — )» р(- — ) — р(- -). (20.6.22) ичаостны из опыте В ( — Зщ -!- 1> зкачепий ю а[ О сь сч то (1= 1, 2, ...,  — 2щ).
д д- ~, е(=О. д Ь 1=1 м а е ~М а ч е е и и м ж а е В н е гч Ж й !.> ГЛ 20. ЧИСЛЕПНЫЕ МЕТОЛЫ И КПИЕЧИЫЕ РАЗИПСТИ а!мстим более простые формулы для случал, когда нужны гармоники не выше тр тьег иорядкз. 6Л, =де — д .1-р! — де + у — д !. ОВ. = д, — д, -)- р, — д, + д, — ры, [го.б-г!> В,= .[р,— р>».рм 2 Четыре добавочных значения Функции для формулы (22> часто можно спгшь непа. средственно с графщса функции р (х). с) Отыс! анне неиааестиых периоднческах компонент.
Если для ункцин вида >(и)=А!сота1ифВ э!пе! РАясозе ° +В 5(пан+- +В э!па о я т з з Ф"' ю т >о=>(0> >1=)(11 >э=((2) - >и 1=>( — )Л со* а, «оз а...., соз а определяются как корни (алгебраического> ураннеиня со пе — н со!Оп — 1>е †...— и >сота — — и =О, ! ! ю— 2 а! козффицис!ыы которого ар должны удоялетнорять системе линейных ураээеннй т — 1 е; = — У„((!» ь 1 Ф>л„р! э !1пь+(!и»., >пю — >1 ! — >2!о „1 1=0 Ь= 1 для нахожда!ня я коърфнциснтоз ар по методу наименьших иоадратое надо решить систему е линейных ураенепнй  — 2о! ПОСЛЕ ТОГО КЭК аь ИайлЕИЫ. ОтИОСИтЕЛЬИО ЛЕГКО Иайтн Лэ И В МстОДОМ, УКазаННЫМ а и.
20.6-6, е. а 2о.й-7. Разные приближения. (а> Более общие методы приближений ие ограиичиааютса аниейиымн агрегатами энда (11, ио используют рециоиальиыс нли другие легко еычислнмые аппроксимирующие функции р [с) = — д (х! и, и„, ..., ц„) с параметрами к . и, ..., и, которые определяются так, чтобы мииньшзироаать азнешеиную средиюа каадрзтическую ошибиу нли нзибольшую абсолютную ошибку аппроксимации. (Ь) Метод П ада дает приближения достаточное число раз диффереицируемой функции > (х) с поыощюо рациональных дробей "о г"!" +" +оп!х [х> иа ' ' — "„рп, л = О, 1, г, ...>, 1-)-Ь «+...—,'-Ь х коэффнциснтм которых определяютсн из тождества ~> (о>»- (' [о> к+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
