Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 156
Текст из файла (страница 156)
р — Нй лежащий точно лод этой раэ. костью. 3. Если путь входят (слева) в некоторый столбец разностей с отрнцатезьным нзкло. ном, го добавочный член равен прокззеденню раэностн, стоя!Чей на пересечеанн пуп! н столбца, скажем, Ь а, на коэффнцвент (и -1- р)ь, лежал!нй точно код этой разностью. а 4.
Если путь входнт (слева) в некоторыа столбец разностей горнаовтально, то доба- вочный член равен пронэзеденяю разностн, стоящей на пересеченнв вутн н столба!. скажем. А а „, на среднее арифмсти'!еское двух «оэффнциентов (я+ р!й н (и -1- р — Н, л лг лежащпх сощеегстаенно точно яид я лод этой разностюо. 5. Если путь пересекает (слева направо) столбец разностей между двумя разно- сгяьгн, скажем, А р (л (.н вА а,тодобаноьный членравенпроизведеняюсредиегоарнф.
й ь иетического этнх двух рззвосгей на коэффициент (я ..',— р)й, стоящий яа пересечения путн я с!отака. б. Каждая часть путя, проходимая справа налево, вмзывает те же самые члены, 'по я пр» прохождение слева направо, ио с протнвоположным знаком. г. Со столбцом таблнчных значений функцнн можно обращаться, как со столбцом ровностей нулевого порядка, по тем же правнлам, что я с остальными столбцамн раз- ностей, еслн только ромб оходнт точно в этот столбец (чевым концом!. Таким образом, этот столбец может пересекаться путем, образующнм положнтельный, отрнцательный клн нулевой наклон, как м с остальными столбцами.
Ш.б. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЯ 683 Т а 5л н ц а 20.о-2 (ародо«ж нт> (20.5-120) и У()- — 'А.+,'У',А.Г.('"5 . ) е ! (20.5-8п) 6 (20.5.85) (20.5-0).. 682 ГЛ. 20 ЧИСЛГНУП»!Е МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20 5.5. Интерполяционная формула Эверетта (з (! — 1) ( +С <0 50о-!- Сз (з> 5'>о-(-01-(- С (! — 1) М> -1- С <! — з> б'(„ Интерполяционная формула Стеффеисена + С (з) б(17 + Са <з) 5»>17 — С ( — з) 57 7 — С ( — з) М> 7 20.5-5.
Интерполяция е оптимальным выбором узлов (см, также п. 20,7-5), Миогочлеи У (х) степени л, который совпадает с д (х) в я+ 1 точках х х((( О, 1, 2,, „а) на (л, 5] таких, что шах П (х — ха) будЕт иметь наименьшее значение, приб- ( ~5 а=о лиженио минимизирует максимум абсолютной велнчинм ошибки интерполяцчи (4) иа (и, 5]. Такой мпогочлен У (х) даетси формулой ! л А,) — — у д (х() соз 2 чт (21 + 1) «и о+1 .УЗ 2а -(- 2 М 0,1,2,„,н), (=0 Тй (5) — миогочлеи Чебмшева степеин 5 (п. 21.7-4), х) = — + — соз а+5 5 — <2(+ Пп 2 2 2п->-2 (!=О. 1.
2, ...; и), 20.5-8. интерполяция функций несволькн«переменных. для аппроисимации функции г = г (х, д) маогочлеиом К (х, у), удовлетворяющим условию Л (х, у) = г (х, д) на заданном множестве точек (х„дй) можно сначала иптерполнровагь по х фуакцию 2 (х,у() при фиисироваииых уз, а затеи интерполнровать относительно «, что даст Л (х, д) Друтой путь заключается в подстановке в нвтерволяциоииую формулу по д интерполяциоиной формулы относительно х. Гели ех = бу = л — фиксированное приращение н 2(х.+(бю д.+5ед>=2; О, е=о, ус(, 2, „,), х — х, у — до и= — о=— Ех, бд то, лвеждм праме1 яя интерполяцнониую бюрмулу Бесселя из табл.
20.5.1, пол чаем Формулу Гесселя интерполяции по двум переменным» а л 5., получаем ! 7 1' 2 <х, У) = — „<гм -';- г»о + г»1+ 210 + — < и — — ) (г»о — 'оо + 2,1 — го,) + + 2 ~ 2 7 ( 1 го+211 21»)+ я — ) ~о ) (211 2ы 2о1 +хм)->.-. ' (, (20,5-10) Ляалогачпые методы применяются для функций трех и более переменим«, См такж е 20,5-7.
Обратные разности н интерполяция рациональными пробоин. Пусзь д(«г) = =у (г=й,!,2, ) ге«х, — «( = , , , ), д , х, хв, „., — произвольнме узлы интерполяции; опрса."лнм о(ратйые разности: х, -«, х,— х Р»(«о х)= ' ° Р»(хо,«,, «1)= Р» («„«П — Р»(х», х,) + Р, (»„, «Г «,, «,) = «о «г Рг - ! («о, хд ..., х !) — Р, (х,, х, „„х ) Р - 2(«( хз — гг — 1) «=5,4, „,> ) (20.5-Н) уииция д(ю кля узлов хь х„хв . аппроксимируется рациональной фуикцией, Рая получается из разложения в йепрермваую дробь вида х — «, х х Р» (««0 <20 5->в > Р, (х, х,) р, (х„хП+ Р» (х «1 «») — д» Рз (х, хи хю х,) -Р, (хм «Н ' Если д (х) — рациональная фуниция, то иепрермввая дробь обрывается 20Д.
АППРОКСИМА](ИЯ ФУНК](Ий ОРТОГОНА2]ЬНЫМИ МНОГОЧ5]ЕНАМИ, ОТРЕЗКАМИ РЯДА ФУРЬЕ И ДРУГИМИ МЕТОДАМИ 20.6-1. Вводные замечании. Параболическая интерполяция на практике хороша лишь для аналитических функций и только тогда, когда их значения не искажены шумом (случайными ошибками). Случайные ошибни в значениях функции сильно искажают интерполяционные мйогочлены высоких степеней, а при интерполяции многочленами низких степеней теряется существенная о информация. Поэтому при наличии случайных ошибок предпочитают применят сглаживающую» аппронсимацию такими миогочленами илн рзциональными Ъ дробями, которые минимизируют либо взвешенную среднюю квадратнческ ю ошибку аппроксимации, либо максимум абсолютной ошибки на всем выбраиу ном интервале (а, Ь).
Отметим, что разложения в ряд Тейлора аппроксймивыб руют аналитическую функцию лишь в непосредственной близости от одн, раиной точки и поэтому редко приыеняются в численной аппроксимац,ш (тольно при условии сверхбыстрой сходимости). а 20.6-2. Приближенна функций многочленами по методу наименьших квар тов на интервале (см. также и. 16.2-6). Для данной функции ((х) требуется 3 построить функцию Г" (х) вида Е (х) = ао сро (х) + аг !р, (х) + ... + ал !рн (х) (20.6.!) 236.
АНПРОКСИМАЦИЯ СУИК)И<И гь В-З, 685 684 ГЛ. 2К ЧИСЛЕ)Н!ЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 26.6-3. так, чтобы минимизировать взвешенную среднюю квадратическую ошибку на интервале (а, Ь): ь о» =)г Т (х) [Р (х) — 7(х)[з дх, (20.6.2) а где у(х) — заданная неотрицательная весовая функция. Если функции 4)» (х) действительны и попарно ортогональны с весом Т (т> на интервале (а, Ь), т. е.
если Ь ~ Т (х> !р! (х) !р! (х) дх =0 (Е Ф [), (20.6-3) то искомь>е коэффициенты а! определяются по формулам В ) т (к) ! (к) я< (») Нк в а!— (Е=О, 1, 2, ...). (20.6-1) Ь ) т(х) яч (х) л» и Лппроксимапия ортогональными функциями, например, ортогоиальными мвогочленамн (пп. 20.6-2 — 20.6-4) или тригонометрическими полиномамн (п.20.6-6), имеет то замечательное преимущество, что уху!шел<се аллроксилшиии лутем добавления нового члена а„+! <рлэ! (х) не меняет роне» вычисленных коэффициентов а,, и,, ае, ..., а„. Подстановка х=аг+[), дх=адг в формулах (1) — (4) позволяет изменить масштаб или сдвинуть рассматриваемый интервал.
Заметим, что вычисление коэффициентов по формуле (4) требует звания функции Е(х) на всем рассматриваемом интервале (а, Ь). 20.6-3. Е)рнближения функций многочленами по методу наименьших квадратов иа дискретном множестве точек. Если функция [(х) задана только иа дискретном множестве (т+1) точек хь, х,, хэ, ..., хт, то приближение (1) по методу наименьших квадратов принимает другои вид.
Здесь надо минимизировать взвешенную среднюю квадратичесиую ошибну вида (20.6-5) а'э = ~~ Т» [Р (х») — [ (х») [з, где у» — заданные положительные веса. Это опять. таки проще всего сделать в том случае, когда функции йг(х) представляют собой многочлены степени г, попарно ортогональные с весами Т» на заданном множестве точек, т. е. когда Т» !р< (х») <р>(к»)=0 (Е ~ Е). (20.6-6> * о Такие многочлены можно получить иэ последовательности 1, к, х',... методом ортогонализации шмидта, п.
!4.7-4. коэффициенты ас определяются по формулам т 2„' т»Е(к»>ес <к»> »-о а»= (! =О, 1, 2, ..., л; л «т). (20.6-7) Х )'»'Ьч <»а> » о (Е=О, 1, 2,..., 2М; М=1, 2,,), (20.6-10) где р.(Е 2М) — ~, ( !)(+»( +Ю(2»! <М+С>!М <»>>* <ги>!»1 г =г(г — 1)(г — 2)...(г — й-Ь1) (2=1, 2...,), г(о)=! (г ~ 0), О!»1=0 (2=1, 2, . (20,6-11а) (20. 6-11Ь) при этом ШМ+ +>>)<2М вЂ” О! (2<+ !) ((2М)<!э »= — М (<=0,1,2,...,2М;М=),2 ..) (встречаются и другие нормировни ортогональных многочленоз). Ортогональные многочлены до пятой степени: рв (Е, 2Л!)='1, р! (Е, 2М)=— и* — Л! <М+ )> Р2 Мфи !) и — <зм +зм — )>! И <И вЂ” И <зи — и 2М 35! 6 (змэ.> зм 5>!'+ Зм (М* — !) (М+2) 2М (М вЂ” !> (2М вЂ” !) (2М вЂ” 3> (20.6-12) (20. 6-13) р, (Е, 2М)= зиэ — 35<2мэ+2М вЂ” 3><э+ <)5М +3ОМ» — 35М вЂ” 5ОМ+ )2 ! 2)И (М вЂ” !) (2М вЂ” !) (2М вЂ” 3> (М вЂ” 2) Е частности, при М =2 (пять точек); Р.
(Е)=1, р, (!)=-, Е, р,(Е)= —, (Е~ — 2), ! ! (20. 6-14) Р ()=3 (бр — !7() Р (!)= )2 (35(в — !ббпр.[ 72), ~ При л=т получающийся многочлен совпадает с интерполяционныи много- членом; если л «т, то добавление нового члена а„э. гр„,, (х) оставляет предыдущие члены без изменения. Особый и)перес представляют укаэанные ниже два частных случая (а) Л< ног оч лены Ч еб ы шева. Если значения аргумента лэ, к„ ле, ..., хт мои<но свободно выбнрат)ь скажем, в интервале ( — 1, !), го целесообразно в качестве этих значений взять корни многочлена Чебышева Ттэ, (х) (и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
