Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 159
Текст из файла (страница 159)
Можно предписать некоторые или все абсциссы хй (формулы Ньютона— Котеса, Грегори) или все ал (формулы Чебышева). При этом некоторые абсциссы могут находиться ане области интегрирования. 3. Можно наложить на аеса ай условия симметрии (формула Грегори) или условия минимизации слияния ошибок округления. Для последнего условия все веса ай должны быть положительны. Относительная ценность этих требований зависит от области применения.
(Ы Формулы интегрирования типа Гаусса, например, (18), точны для многочленов степени ( 2л — 1, в то время как формулы Ньютона — Котеса точны лишь для многочленов степени ~ а. В этом смысле формулы Гаусса лучше для функций, имеющих производные высоких порядков. Если же функция имеет только кусочио-непрерывную первую производную, то лучи ей может оказаться формула трапеций. Имеются обобщения кнадратурных формул Гаусса, которые оказываются точными для тригонометрических полиномое и других специальных фуииций. 29 7-5. Яычмслеммг кратных интегралов.
Кратные литегралы можно имчисллть лаеторлмм лрлмеигилем метааов, оилслнных в лл. 20.7-2 и 20.7-3. Для двойных илгггрллов можно лользовлтксл формуллмл й й 1 / <х, у) лг лу = — 3- (2/00 ! /ы ! /01+ / — ь 9 + /0 -!) <20 7 2б) 20* — й — й гаг !0 =/(<дл, ! ау, й де), ах= ду=дг=-л <1 /, *=о, -г-!) пуи этом область ллтесрирлваллл разбивают ил чисти с лоиошью декартовой летим каардиллтлыл линна или ливгрхиостга. Простейшая дгунгрнал формула интгггггуавиггил гаугггва ши а есть 1 3 3 /<г, у)и. лу ~5 ~ л,. / (й) х„) — 1 — 1 <=)й=< тле М=- — )ТЗ/5, й„=О, й,=)'З,гб, а! — — 5/9.
аг — — 8г9, аз — — 5/9; а й —.— а и <гО 7.2)) ы й Длл миагомгрлыг иитггрллон большая интерес прелставлл!ат методы Малти.Карла, и. 2О.Ш-!. 20.8. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 20.8-1. Вводные замечания. Числепиому интегрировзншо иногда целесообразно предпослать грубое графическос решение (и. 9.5-2) для ориентировки. Решение начальных задач (Коши) рассматривается в пп. 20.8-2 — 20.8-8, решение краевых задач — в пп. 20.9-1 и 20.9-3. При численном интегрировании дифференциального уравнения пераого порядка у'=1(х, у) (20.8-1) с данным начальным условием у(хе) =-уе выберем фиксированное приращение Дх=/! независимого переменного х и введем следующие обозначения; ',= .+ал (й=0,1,2, ...); вычисленные (вообще говоря, приближенные) значения решения у(х) и произаодиой у' (х)) уй у(хй)=у(х,+адх), 1 1( „) „,(х )) (й=О, 1, 2, ...).
(20.8.2) Отвленаясь от ошибок округления, разность уатт — У(хйчт) между вычисленным и точным значениями решения назовем ошибкой усечеййя. Если в формуле численного интегрирования заменить точные значения у(хй), у(хй 1), ... иа уй, уй 1, ..., то разность у»,,— у(хй „) даст локальную ошибку усечення. Полная ошибка усечения вызывается ие только локальной ошибкой, но н распрострааением ошибон от более ранних шагов интегрирования (п.
20,8-5). 20.8-2. Одношаговые методы решения задачи Кошм. Методы Эйлера и Рунге — Кутта. (а) Метод Эйлера состоит в пошаговом применении простой формулы Уй„=уй+/й дх (/г=О, 1, 2, ...). (20.8-3) Ои дает хорошее приближение решения только при достаточно малом Дх=й и тольно для нескольких пераых точек. Модификации этого метода определаются формулами: Уй+)=уй+1(хй+ 2 Уй+10 2 ) дх (20.8.4) уйет — уй+ 2 [10+1(хает уй+1» дх)! Ах. 1 (20.8-5) (Ь) Методы Рунге — К чт та различных порядков приведены в таблице л.8-1. Методы (а) и (Ь) называют методами третьего порядка, так как 702 и конбчныб рдзнооти 29,5-2 Хй 4.1 у(хй„,)=у»+ ) )(х, у)»(х .т» (20.8-0) (2О,З.З! (29.(Ь9! (Е! Р»,1=У»+ й =1 э й =( 4 у»елене 2951 Некоторые методы Рунге — Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений (п.
20.8.2) и систем таких уравнений (п. 20.8-6) В к«к дой формуле»! —— (» дх 1 (х», рй) 5х. ! (ю р»«1 У»+ г, (»1' 4»я !»1) Дх»,; », =((х ..; — --, Р» Ч- —,— дк, э =1(»+ дю р, + шэ — ~,) дю ! (ы р» =р»+ — (»(ч-зй,), Дк й,' й =1 к ф —. р -1- — ')дх, э 5» з' й з) й = 1 (х» + — Дк, у» + — » ) Дх! э= (» з ° й з ! «! Р» „= Р, + — „(»1+ 2»э+ 2»З +»4), Дк »» 5 » =1(х + —, р э», й 2 ' й 2 Ьк »» 5 = 1 ( к .1- —, у» .1 — ) дк, э ', 2' 2) — 1(х +Дх, р -(-»)Дк.
(б! У» 1 у»+ з (»1+ зйэ '! 5»э+»4)' Дх» »в («й З' Р» 3) й = 1(к + — Дк, р — — +» ) Дх, 2 »1 э с, » з ' » з э »41(к»4Дхр»+»1й»+»Э)Д б (»1+ (2 — У2 ) йэ -1-(2 г ! 2 )»э ш»4). ! Дк йл5 (х .! —, р + — ')Дх, ~к» -1- дх, р — = » -(- (1 -1- =) й 1 Дк зо.з-з. ш,з. числбнноб интбп ировдниб огыкновбниых у лвнбнии 703 фопмулы для у», являются точныкц при )(х, у) =1, х, хэ, хэ; длн достаточ.
1.ое число раз дифференцпруемой функции ) (х, у) локальная ошибка усечения нчсет поргдок 0(Лх') прц Лх-!.0 (п. 4,4-3), По аналогичным соображениям методы (с), (б), (е) называют методами четвертого порядка. Из ннх метод (с) является наиболее употребительным. 20.8-3. Многошаговые методы решения задачи Коши. (а) Н а ч а л о р е ш е н и я. Сверх заданного начального значения уе каждзя из приведенных далее схем решения требует вычисленгя еще нескольких значений функции у,, уэ, ..., что может быть сделано однем из методов пп. 0.2-5, 20.8-2 илв 20,8-4.
Это «начало решения» должно быть вычнслепо с большей точностью, чем требуется для всего решения, по крайней мере в 1О раз. Если для начала решения применяется метод Рунге — Кутта, то величину шага Лх=И для него надо брать мепьшу(о, чеы для последующей схемы расчета. (Ь) Простые экстраполяцвонные схемы. Если уже известны у» у» 1 у» э ... то для аппроксвыацин последу!ощего значения реш"ния интегрируют вместо )(х, у) какой-либо иптерполяционный многочлен, определяемый значениями )», )„1, )» э, ... (экстраполяция), Применяя вторую интерполяцнонную формулу Ньютона (20,5-б), получают формулу Адамса Уй«(=у»+()»+-2-р1»+12 у')»+-з-у')»+уэйр 1»+ 2 йр»)»+. ) Лх. (20.8-7) ! 5 .
3 э 25! 95 Обрыва» общую формулу ввтегрнров«квя (У! последов«тельно нн ревностях все более высоких порндкав, получаем формулу Эйлера (3). яра«и«о»врал«яий 1 У„,=.р,+, (з(» — 1,,) ак формулу третьего поряпкэ ! Р, р» 1- —, (25(» — !5(»,+5(й,) Дх н формулу Адамса — бвшфортв «етвертото поряднв, приведенную в табл, 20.5-2. (с) Методы типа «прогноз — коррекция» н изменение вел и ч и и ы ш а г а. Обозначая «предсказанное» (прогнознрованнсе) значение у»+ ! по формуле (7) через у"Р„'", и соответствующее значение функции через )пр"'и можно с помощью аначения )»проел =) (х + 1, упр+" ) улучшить аппроксимацию у(х»41).
При этом уточненное, скорректированное значение уй, использует предсказанное значение )»+1 в квадратуриой формуле замкнутого типа корр Уйе (=у»+ ! = 1 ! э ! э 19 3 — У»+(5+1 — 2- ~)»«1 — — 2 у')»«1 — — у')й+1 — — у')»«1 — — р')й — ) Лх (20.8-10) Формула еоррекции (10) усекается подобно формуле (7) на разностях соответствующих порядков. Получающаяся разность у»~РР( — у»вед( между скорректированным и предсказанным значениями может служить для оценки локальной ошибки усеченнн; прн подходящем выборе приращения Лх=И эту ошибку можно сделать меньше заданного допуска. ещв-5.
шк чнслрннов ннтпгрнровйннв овыкповпнных урдвнпннн "05 704 29. 5-1. ГЛ. Ю Ч(ЛСЛПННЫП МктОДЫ Н Ксывсп(ЫК РАЗНОСтм Чл!обы уменьшить едэог величину шага расчета Ь=бх, для формул четвертого порядка применяются следующие интерполяцгонные формулы; у = — !.- (45уй+72уй 1+ 11уа а+( 9)5+ 3515-1+ 3(й-з) Лх) 2 (20.8-11) (1)у„ ~ 72уй -1- 45уй — (3)й + 35)й 1 — 9((з з) Лх) й+- ° Чтобы увеличить вдвое величину ишга расчета, достаточно использовать найденные значения решения через одно, 20.8-4. Улучшенные миогошаговые методы.
(а) Более общие формулы интегрирования открытого типа (используемые как предсказывающие) и замкнутого типа (используемые как формулы коррекпии) можно записать соответственно в виде Уйьь=Аауй+г(зуй 1+А!Уй-а+ануй з+ +(Бе(й+В!)й !+Бе)й-а+Вэ)й з) Лх (предсказание), (20.8-12) уа 4 1 = ануа+ а!Уь 1+ аеуь э+ +(Ь 1(й 1+Ьэ)а+5115 1+Ьуй а) Лх (коррекция), (20.8-13) Огзычно пе принято определять все коэффициенты из условия, чтобы каждая формула была точной для функций ((х, у) =1, х, х', ... Вместо этого требуют согласования лишь до членов четвертого порядка (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
