Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 153
Текст из файла (страница 153)
Обращение матриц (см. ~акже пп. 13.2-3 и 14.6-3). (а) Методы ип 20Р(-1 и 20.3-2 непосредственно применимы для численного обращения данной невырождеиной матрицы А = — [а!«], а также длв вычисления дс( [а(„]. <зй З-!З) (20. 3-14) (20.3-15) клетки: (20.3-16) ЛНХ,+Л,зХ,=В,, ) Л21Х1+ АтаХ2 = Вз (20.3-17) (20.3-18) (20.3-!9) где где Са, = — Л...'ЛмСИ, С„= — Л;,'А„Саз, Сг,.— (Лы — АмЛ 8!А!1) 1. С„= (Л,я — Ам Л,,'А „) 1, (2 й.
3-2 3) <г,й=),2,...,л), за!К г„нй, = о!! — одц 666 ГЛ. Ю. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧИЫЕ РЛЗНОСИ! 2б.3-4. (Ы Итерационная схема пбращения матрицы Чтобы для данной (и К и) матрицы А найти обратную матрицу А-Ч начинают с произьольной (л)(л) матрицы л' (ока!кем, х = е) и вы шсляют последовательные приближения <Щ ' (о) Х!/+'! = Х('1(2Š— АК!/!) </=О, 1, зг „,) Если зта послсвовательность сходится, ее пределоз! является А ' (с !. также и, 23.2-2. Ы.
<с) <сч также п. 13 4-7), Для каждой нсзырожденной (ихп)-ыагрнцы А 4-1 ! (,4и — 1 )о !и — 2! < „А ьо и) а,= — Тгл, а =- — — (а. Тгл-)-о Тгл +...+а ТгА .1-Тгл» ! 2, / 1 / '! / /-1 »=2, З, „, л). 20.3-4. Решение системы линейных урап!швнй в обращение матриц прп помощи разбиенва па клетки (сы. такгке п, !3.2-8).
(а) Система линелных уравнений (1) может быть записана в матрнчнон Уравнение (15) л!ажно преобразовать путем разбиения матриц на где /а!1 ай ... аж //х< )( ь,') Л =~а " " ', Х=(хз ', Вен ' ((т«п) ь Решение системы митрижинх урзвненвй приводит к ураввению (Лы — АгяЛз )АИ) Хт = В! — А,аЛ,,'В,, КатОРОЕ ДаЕт т ЛИНЕЙВЫХ УРаннвикй ДЛЯ ПЕРПЫХ т Нвнэоеатаиж ХО 12 ..., Хам если только известна обратная матрица Аз" .порядка л — т. Этот мегод особенно удобен, осли нада на!Ни лишь первые т неизвестных.
(а) Обратная матрица А ' получаетсл толя разбвтой на клетки так что обрап!ение матрицы порядка и свод!Ноя к обращевшо двух матрац меньших порлдков (т и и — т), 20.3-3. 233, системы лннеиных ГРлннении и Опрлщщп1е млтриц 657 20.3-5. Собственные значения и собственные векторы матриц (см. также пп. 13.4-2 — !3А-6, 14.8-5 и 14.8-9). (а) Характеристическое уравнение. Собственные значения матрацы Л Е— м (а!й( порядка и находят как корпи характеонстического уравнения РА(а) === де1 (а»,— кбй» =-0 (20.3-20) одним нз мсшдов, оплсавных в пп.
20.2-1 — 20.2-3, Чтобы избежать непосредственного развертывания определителя, могкно вычислить ВА (Х),!ля и+ 1 выбранного значсняя к (скажем, л =О, 1, 2, ..., и), после чего многочлен и-й степени р (л) находится го одной из интерполяционных формул п. 20.5-3. (Ь) Ит е р а ц и о н вы й и е тол. Пусть матрица А — эрмитога, так что все ее собственные значения действительны; во многих прглогкенипх А действительна и симметрична. Если наибольшее по модулю собственное значение Х! — простое, то, вачнная с произвольного начального вектора х, например, (а) (1, О, О, ..., 0», вычисляют последовательно произведения х!/+'1=44/Ах!!1 (1'=0„1, 2, ...), (20.3-21) ГДЕ Сс/ — ПОДХОдашнй МНОжИтЕлЬ, вЫбираемый, наприь!ер, так, чтобы наибольшаи по модулю координата вектора х(~4 !1 равнялась 1.
1/ри зозааэглании 1 векторы х(/1 будут приближатьсл к соостаекиалгу вектору, принадлгэ ии<ему домиииругагцсму собственному эиоисншо )ьл!! последнее могкпо вы шслить по формуле л л а!,х!х <х, Ах) ! = ! й = 1 Л! <х, х) и ( 20.3-о2) !х,., 'з г=! Этот метод сходится тем быстрее, чем значительнее отличается ) йл!( от моду- Л! лей всех остальных собственных значений матрицы А и чем ближе направ- ление началы!ого нектара х!31 к направлению искомого собственного вектора; если х! 1=(!.
О, О, ..., 0» не удовлетворяет этому условию, то пробу!от [а! (О, 1, О, ..., О) в т. д. Можно ускорпть сходпмость путем применения Аз или А' змее~о А в формуле (2!). Последующие собственные значения в собственные векторы находлт после приведения матрицы (п. !4.8-6). О других методах см.
(20.5), (Ю.9(. Если наибольшее па модулю собственное значение Х/и имеет кратность т>1, то послелозательиость векторов, определенных формулой (2!), сходится к олному нз соб- ственных вектороа, принадлежащих ХМ. Выбирая различные начальные векторы х!31, можно гостровть т линейно независиммх векторов инвариантного надпространства, при- надлежащего Х П (с) Метод вращений. Если дана действнтелююя симметричная матрица А нм — (а.й(=-А<31, то начиааеи с исключения иедпагоиального злемеита о!/(, имеющего ы асьбольюую абсолютную величину, путем ортогонального преобразозаииа А!!1= т-! А!и!т, т, = (!. ), г(й — — б!, »1+ (созе! — 1) (б! г бд)(+ з!п б! (бдбй — б!3~~) (20А-О) Г'д, рьдь рьу (2 О А-б) рьд Луь=уьь! уы Л'уй=бр!ьь! Луь=уьч-в 2у!4ь!+у!4 ЫУ ~Л Ыдь (20.4-!) (20.1-7) (20.4-9) (20.4-9) р у(х)=-; ) у, х — — '1-ь-у (х-~- ь' )(1.
(20.4-10) 1 руь 2 (Уь — 172 ~ уь -(- Р Уь 172) (г=2, 3, . ° .). 1 (1!г -1У (20.4.!!) 668 ГЛ 20 ь!ИСЛЕННЫЕ МГТОЦЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.4-1, (вРатсвве вв Угол Оь в плоскости, вагаиУтой ва сг н сд, см, также пп. 2,1-б и 14.10-2, Ы. Применяя аиалогичвый прием к А, получв4ст А н т. д. Происведсввв (П ' 121 матриц прссбраэаввиня Т, Т, Ть ... сьсантся к некоторой артсговальвой матрице, кото. рвя прввскит матрицу А й дйагсввльнсму виду, двжс вслв смв вмссг врвтвыс ссбсгвси Ввьь ВВВЧСВВЯ. 20.4. КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 20,4-!. Конечные разности н центральные средние.
(а) Пусть у=у (х) — функция дейстиительнога переменного х. Для данного мно!кестна равноотстоящих значений аргумента ха=хе+ЙЛх (И=О, -4- 1, .4- 2, ...; Лх=И) 0) н соответствующих значений функции уй =у (хь) =у (х,+ЙЛх) определяют нисходящие разности (для интерполяи!ш вперед) Гг! Лу),=Л' 'у, — Л -'уь=,'Е ( — 1)'( ~~уй;1 4=0 и (г=2, 3, ...; И=О, .
° -1, -! 2, ...) н восходящие разности (для интерполяции назад) Руь = уь — уа- ! = Луь-1 РЪа=л' "у)4 "' туь-г=Л'уь-г (г=2,3,...; И=О, -4-1, ч22,. ), Число г называется порядком разнос!пи. (й) Центральные разности определлютсл формулами буь Уь+ 172 уь — 172 уь — 1уы (20Ы-3) б'Уа=б 1У, — б' 'УЬ ЫО=Л УЬ г(2 (Г=2, 3, ...). 1 Центральные средние определя!атсл фармуламн Есла значения фуакцни у„ =у чепнй Й, то центральные разности для Й=.ь 1!'„4 '(,, если для И=О, -4- 1, чк 2, ..., если (хс+ЙЛх) известны лишь для целых зна- и центральные средние можно вычислить порядок г нечетный, н порядок г четиып.
20.4.2. 2Ц(, КОНГЧ((ЫЕ РАЗНОСТИ И РАЗНОСП!ЫЕ УРАН!Ц!НИЛ (с) Ксасп~ыс ривисгтч увсбгс рве ~сльгвп в гиОлвц~ гввиь ги~св; Ьи ь г !ь Ььу, тн г' у.ь х, д, Ькм Ь'У ь ЬУ~ Ь"ггь х, Ьью Ьд, к, уь Г У вЂ” ь !'у, Рг ~ К, у, О*у, ри. (м ру, х3 !н х., уг бу ь, 'ь х, у, б д 7 хь Уг ыу бу Л б'УО У~ бьу, ОУО х, у, Заметим, что вычисление розное(пи порлдка г тредуер! зниния г+! зно!ения функции и тпо у нного ~лена и.!! степени разности и-го порядка постоянны.
20.4-2. Операторные обозначений. (а) 0 пределе ни я. Оперзтор смещения Е для функции у=у(х) цейс)вительного переменного х и фиксированного приращения Их=И определяют формуламн Е У (х) = У (х+ Лх), Ег у (х) = у (х -'; гбх), (20.4-8) гув г — л!обое действительное число. Разяостные операторы Л, Г, б и оператор усреднения р определяются так: Л у(х)=у (к+Их)-у(х), Р у (х) = у (х) — у (х — Лх), бу(х)=(х+ 2 ) — у (х — ~~), Заметим, что при и„= и (г Ч- Ьзх), с„= и (х ф Ьйх) ь (иь -! и(,) = ьиь ж ьс! ь (си ) =- сьиь ь (иьсь) =- иь,ьиь -'- и, ьи! --- иььиь -! с„ьи, = =и Ьи -1.
с Ьи +Ьи Ьс Заметим таиже, что прн Ьх= — 1 (20 4-20) Отыетпм для памяти г Ьг (Е 1)г — ~~ ~( !)1( ) Ег 1 (=-о ) (г=1, 2, ...), (20 4.14) Ег (1+()) — 1+( ) 11+( ) йз+ (20Л-15) (20.4-22) Уаг! й нага З+1 уам з уам З+1 уаю з уаэа ь+1 (20,4-23) К(у„,з у„,„, ° у„,ь)= уаы йэг 1 уащ з+г-1 уаг! з+г-1 (20.4-24о) 670 гл. н), численные метсды и конечные рйзнссти 10л., ьй "1 = Ь (х (х — 1) ... (х — г-). )ц г х (х — 1) ...
(х — г + 2) = гх(г (20.1-12) (",) =-(.-" ) (6) С о о т н о ш е н и я между операторам и (см. также п. !4. 3-!): Ь=Š— !=ЕР=Е 56, Р=! — Е '=Е ~Ь=Е '"6, 6=ЕИ вЂ” Е Ч =Е ЧЬ=ЕЧЕ, р=-'(ЕЫ «Е-ц), (204-13) Е=-1+6, РЬ=ЬР=ба. откуда легко получаются формулы для Е=Е Ь и 6=-Е '*Ь. оаммнм — 1 также, что Если г — пелое и положительное, то ряд (15) конечен; в противном случае его сходнмость требует исследования. (с) Лля аналитической функпии Е'=е'Ьх =1-)-г 62 0+ —,(г йх()) + ... ((3 =-- — ) (20 4-16) (операторное обозначение ряда Тейлора, и. 4.!0-4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
