Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 149
Текст из файла (страница 149)
В частности, (19.8-29) 19.9. ПРОВЕРКА И ОЦЕНКА В ЗАДАЧАХ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 19.9-1. Постановка задачи. Практвческн важный класс ситуаций, требу!зщнх принятия реп)ения, может быть предсгавлен на модели рис. 19.9-1. Ях(1! усу)с оудсшд ияи аатоикад Решелсгя (атдати, уирадядсаи<ая сила) а х) сосгссмы) — з С=у д з ) Измералия дейсяйия Ряс. 19.9-1. Коятекст аля сглтястгмесккх ревеяяй (прквятяе гипотезы). Цена С (риск) некоторого действия системы есть функция от состогигп среды, прегстэвленного ш-нерпой случайной величиной з == (зы з„....
ч„), и решения, прсдсгавлснаого г-мерной величиной у =— — (уы уз, ..., уг): С=С(з, у). (Р) 9-1) прн т = о ято выражение сояпяаяет с (!9). если время наблюдеяяя г яелкко по сряяяеяясо с оорятяой непышной юяркяы спектРа сягяяля (прн от м: !9'), то — ~ О<х <Ох<С+ ))Г ~2 т (ст! ~ Г). пт для более осчкега случая стлцясяарнога гяуссояского сигналя л(с) с И (т)=ае и т(салм,т.! (Мл, ° хх волучяется такое же нера.енстяо 0 <х У) х <С+ тПТ < 2-' — <от Д !О,, т ! «Т), (19.9-27) 19.8ыП Выборочные средние.
Через 'х(С), зх(С), ... здесь обозначены различные реализации случайного процесса (рис. 19.8-1). Независимость реализаций означает, что любое конечное множество Вмборочиых зпачевий сх(С,), л Ряс, !9,9.1 Четыре некяяясямые резлмяоцяя к <б = х И) непрерыяпого глучяйяого процесса. 'х (Й), ... не зависит от любого множества выборочных значений другой реализации ах (С). Если в последовательности независимых опытов можно получить некоторое множество реализаций 'х(С), зх(С), ..., "х(С), то выборочные значения 'х (С,), Ях (С,), ..., "х (Сс) образуют классическую случайную еыборку объел!о и, т. е. "х (С!) — независиМые случайные величины с одинаковым распределением веРоЯтностей. Аиалогвчио, !х (С,), 'х (Ся), зх (С,), зх (Ся), ..., "х (С,), "х (Ск) или 'х(с ), 'у(с„.), ях(с ), яу (с )...,, лх(с ), 'у(Й) образует двумерп)!о случайную выборку.
!9.9. ЗЛДА'1И СО СЛУЧЛЕИ(ЫМИ ПЛРАА1Е ГРАММ Поэтому такие выборочные средние как х (<,) = — ('х (С,)+тх (С)+... + "х (С,)] )(х(С!) х(<я) -)=-.'- Хч А)= — „' Хч((аху,) 9=1 А=) х (<1) у (сч) = -„ — 2 «х (С!) яу (Сг) А = 1 как и в п. 19.2-3 (см. также рис. 19.8-1). х (И.8. 28) 19.9. ЗЛДЛЧИ СО СЛУЧЛИИЫМИ ПЛРЛМНТРАМИ 649 19.».З. 19.9-2. ГЛ !9 МАТНМЛТИЧДСКЛЯ СТАТИСТИКА у=б, 9=1, которые соогвстсгвуют принятию нли отбрасыванию нулевой гипотезы на основе выборки наблюденных значений (х,, кш ..., к „).
Задача сводится к установлению крнтяческой области (аблигаш отбрасывания) 5 сыбоРочных точек (л, хз, ..., х„), котоРаЯ Дает мивимУм он идйсмого Риска (з' ")=С(»=" В=О) ра ](р(кл, хш ..., к„'з=О) дх, гк, дк„! +С(з=О В= !) Р» ] Оз(к!. хз...., к„, '»=О) дх дх ...дх„-1- 3 + С (в = 1, у = О)(! — рз) ~ ф (хз, кх " к» [ з = 1) дк, !(кз ...
дк + +С(з= ! У=])(1 Ра) ~ гр(х), хш "., х„' »=1) дх, дк,, дка (19,9 Т) М С (в, у) = ~ ~ С [в, у (х)[ дФ (в, х) (19.9-3) где р«=Р(»=О), а 5 — дополнение к 5 (область принятия гипотезы). Ожи. дагмый риск М С(з, у) будет минимальным, если нулевая гилоизгза отвгргагтнся каждый раз, когда отношение правдоподобия ч (кг к, ..., «„! ь = О) (19.9.8) (гм. также и. 19.6-3) прюоскодит критическое значение 1 — р»С(»=1, и=о; — С(»=1, р=-1) (19.9-4) р» цевг »аж»ага »тор»сын»»»в (»ах!в»» трагагз) 19.9-9) 1 — р«цгзг»аж»ага принятия (араь!гх) (19.
-9) Заметим, что любая возрастающая или убывающая функция от отношсшш правдоподобия (8) может заменить его в качестве статистики для проверки гипотезы; само отношение правдоподобия является мояотонной функцией от «апостериорнойз условной вероятности р (з , 'х„ хз, ..., х„), которая тоже может служ(иь в качестве такой статистики. М С (в, у , 'х) = ~ С [в, у (х)) ВФ (в [ х) з (!9.9-6) П р в м е р. Об»ар»»гг«и«ги!»аза иа фоне гаггсавг«гга ш»ма г алас«им !ге«шрам. Игда рг!гать, ве»яе!«» лз архе»тый ~»газ» к (!) г ш»р»вай спгхгр» В »»етым шумам (з — — О влз «(!) = в (!)] влв полезным сигналом с дабзва»вым шумам !» =1 нл» «(!) = з (!) -1- а (!Ц, Каза»вг» шврз»» спектра иазваляег аангзть» сигнал» шум с вамашью выборочных з»з ыв»й а (х ! г) ЛФ (з) [ р (х 1») !Ф (г) з (!9.9-6) з,.= г (»Л!), х„=-к Ыло, гв = а (йеи), гдг Л! .=- —; »=1, 2, ..., 2ВТ; Т вЂ” врем» згбл!аде»х» (а.
19,И-2). 1 2В ' Оыюдз тгх чта 2ВТ йнг ! КЗ» 1 Хз Л(«, к, „,, »2ВТ) =ехр — — гз »В+-- — ~~ з» »=1 й =-1 Че "авек машина нчи системз принимает решение у основываясь на лзп ных, представлснвых л.мерной случайной величиной х= — (к,, х,, ..., ла), которая связана с состоянием среды через совместное распределение в и х. Принимающий решение образует у как решающую функц)яо (см, также п. 19.6-9) от имеющихся данных'): у=у( ). (!9.9-2) Если дано совместное распределение в и х вместе с функцией риска (1), предстзнляющей действие системы для каждой комбинации состояния среды и решения, то задача состоит в минимизации ожидаемого риска путем оптимального выбора решающей функции у(х). Величины в, х н у могут быть как вепрерывнымн, так и дискретными.
19.9-2. Оценка и проверка с помощью формул Байеса. Если параметры состоанна сРеДы з„зы ..., зш РассматРива)отсн как паРаметРы неиэвеспюго распределенвя вероатностей нвблгодаемой выборки (к„к..., х„), то задача похожа ва классическую задачу оценки и контроля; существенное различие состоит в том, что параметры зы в», ..., з являются теперь слу!»аннами вгличиними.
Для непрерывных величин в, х знание состояния системы на основе полученной выборнн х означает знание плотностн условной вероятности (р(з(х). Минимизация ов(идаемого риска (3) или М С (в, у) = ( дФ (х) г] С [в, у (х) [ дФ (в [ х) х » сводится при этом к минимизации условного риска для как(дай выборки х путем выбора подходящей решающей функции у(х), Если дано «априорное» распределение в и плотность условного распреде. лснпя !р(х,в), то «апостериорноез распределение вероятностей, нужное для формулы (6), позтучается с помощью формул Байеса (пп.
!8.2-6 и 18А-5) в виде Метод принятия решений, основанный на такой минимизации ожидаемого риска, называется оценкой по Бвйесу. Если, как это часто бывает, неизвестны функция риска С(а, у) влн «априорное» распределение величины в, то оценка по Байесу становится невозможной. Иногда удается свесги задачу к классическим методам оценок наибольшего правдоподобия (п. 19.4-4) и критерию Ненмана — Пирсона (п. 19.6-3).
19.9-3. Случай двух состояний, проверка гипотез (см. также пп. 19.6.!— 19.6-4). Пусть существуют только два состояния среды: з=О (нулевая гило!лсзп] н »=-1 (конкурирующая гипотеза). Допустим два возможных решения '1 Здесь»е рзасмзтргззззсв сду ый»ый вл» час!в«на случайный выбор решения (! гн з юрах аа смгшгзиай ш р аегзей, а. ИА.«, Ц ЛС Р С(»=О, р=() — С(«=О, Р=О) фх з (ли «», .... «2ВТ !» = О) = (2ЯРА) ехя ах ! з (»1, кз, ... «2В т !» =- 1) = (2ЯРН) — гхР 2ВТ 2Р'и »=1 )9.9-4, 650 ГЛ.
19. Л)АТЕМЛТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 651 Так как величина 1 ч-т х= — у х л Л.л )г й=) 1=Ы(5!х, х а*=-п(з)к, х т — РН о х+1 О =5.—. 'А' а. -1- л которое зависит от выборочных среднее) и янляется смен!елкой ваиием обьеьса выборки л. Для 1 1 1 ср !з) = — ехр — —, (з — 1 )з1, а у2п ( за; !3 й=) Формула Еайеса дает 2ВГ 2ВТ Г г(х, х, ..., «2ВТ) = — ь' г х = ~ з ый0 х 1лл0 й! = $ г бй х ПВ й! !' 3' "'' 2В Р=! з=! О сеть возрастающая йгункцн» от отношения правдсшодобнн л (х, х...,, «рпт), то она мажет быть использована на» статистика длн проверки гипотезы.
Подсчнтгв зту не«:- чину либо путем дискретного суммнровгния. либо ну~ем интегрированна, сравннвюот ее с кРнтическим значением «С, опРеДелнемым с папашью Ре и С !з, и); неРавенстао а > яс саогаетствует решенгио р = 1. 19.9-4. Сцеяки по методу наименьших квадратов. Пусть среда имеет )шгрерывно распределенвое множество состояний, представляемых значениями сслнчцны з = — (з,, зш ..., зш), и пУсть гл компонент Ул Реша)ошей фУпкцш! у.= — (уы ую ..., уш) надо вйбирать так, чтобы аппроксиынрозать соответст.
и"юшче значения зй возможно лучше в некотором смысле, уточняемом функ!ссей риска С(з, у). В практи !ески важном случае оценок ла методу нааменьших квадратов функция риска задается н виде С(з, у)=С(зы зг, ..., зкд уы ую ..., ую)= ~~ (зн — уз)'. (19.9-10) и=! В ватам случил мшсимум М С(з, у) дштигаслщя, когда каждая компонента уз равна услалнаму математическому ожиданию величины зс для полученной еы. борки (х), гсз, ..., х„): уй=М (з), ! хт, хя, °, хл)= ~ з)гср(з)г)хз, хз, ..., хл) дз» (Й=1, 2, ..., )и) (19.9-1!) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
