Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 148
Текст из файла (страница 148)
19.6.2). Статислщка г ]г л — 1 имеет г-распределение с л — 2 сгепеняыи свободь). г-распределение табулировано; оно асимптотически 1ЮРЧаЛЬна са Средним 0 я дисперсией ! при л со. 7(ак г-распределение, пиис и г-распределение дают кригл рии длк гилоп(езы Р=О. (с) Проверка гипотетического значения коэффициента р е г р ес с и и (см также п.19.7-2) Если дада случайная выборка из двумер. дой нормальной совокупности с плотно(лью (14), то гипотетическое зли юнас кааффш(агата регрессии Озь = —,'* = о, — ' (п. 18.4.6, Ъ) ароееряюгл лри помон(п зо о1шгп 1гпшки з, Уг — г (!9.7-20) 1з 21 Г. Керн и т.
Кори 199, стдтистнки и измерення слрчдпнОГО ПГО|(ессА 613 19.9-1 642 ! 9.1-з. ГЛ. !9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА которая имеет Врасиредеяелие с п — 2 степенями свободы. Этот критерий значи. тельно более удобен, чем непосредственное применение распределения выборочного коэффициента регрессии Ьзс [18.9]. (й) ч-м е р н ы е в ы ба р к и. Для елучайион выборки из ч-мерной нормальной совокупноств с плотностью распределения (!8,8-26) совместное распределение выборочных средних хп хз, ..., хч является нормальным со средннми значениями Ес, Еп ..., Еэ и матрнцез ьюиентов Л|п. Соаместное распределение ч (ч -1- 1) калачик х| не зависит от созмегтного рас~ределеиил выборочных момеятоз 1;. (обоб|цслкая теорема Фишера, см.
также п. !9.5-3, Ь). 19,7-5. !)ыборочная средняя квадратическая сопрнженность признаков. Критерий независимости двух случайных величин, основанный на таблице сопряженности признаков (см. также п. 19,6-7). (а) Пусть дана двумерная случайная выборка (х,, у|! х„ у,; ...; х„, уи) случайных велпчии х, у. В таблице сопряженности признаков эти л выборочных пар разме|цены в г классовых х-интервалах и з хлассовых у-интервалах.
Пусть лр пар (хэ, ус) попадают в |-й классовый х-интервал, пц пар (хэ, ус) попадают в 1-й классовый у-интервал, и,. пар (хэ, Ус) попадают в 1-й классовый х-ннтеРзал п 1-й классовьи! у-интервал. Выборочная средняя квадратическая сопряженность признаков есть статнс- тнка к(7 /=1 (!9.7-21) распределена асимпяютически нора(алсно с центром 0 и дисперсией 1,,'(л — 1). Для любого значения п)1 гипотеза о независимоств отвергается с уровнем значимости ( а (п, !9.6-3), если "1-о )( ) = (односторонний критерий) )гл — 1 (19,7-24) которая измеряет зависимость между х н у.
Величина [а заключена между 0 н ппп (г, з) — ! и достигает последнего значения тогда н только тогда, когда каждая строка (при г =- з) или кан|дый столбец (при г (з) содержит только один элемент, отличный от нуля. (Ь) Если х и у незазисимы, то лри л со гтапшстика л[з сходится по вероятности к уз с т =(г — !) (з — !) степенями свободы (табл. !9. 5-! ). Если все п(1) ! 0 (прн необходимости некоторые классовые интервалы объединя|отса), то гипотеза о независимости отвергается с уравнен значимости а в крнтнчею|ой области п[з) уе( (|л) (п. 19.6-3). (с) Особый интерес представляет частный случай к=э=2 (таблица сопряженности признаков 2 Х 2); в этом случае 0|опт — кол 1)* (19.7-22) к| кэ л тл,а (см.
также [18.6)). !9.7-6. Ворядкован коррелнция по Спнрмеку. Непараметрический критерий независимости. Пусть относительно случайной выборки и пар (х,, уб ..., х„, ук) известно только, что хэ в порядке убывания величины занимает Ас-е место, а уэ в порядке убывания величины занимает Вэ-е место (й= 1, 2, ..., и). Если зеличинм х и у независимы, то при л со статистика (козффициеи|и порядковой корреляции) )(=1 — „,„,' П ~Л (Л» — В„)з (19.7-23) а=! нли "1 — — а(З (двустороннин критерии).
(19.7.25) Н р к ч е ха к к е. Сслкдвукеркоераспределекке (к, р) нормамкц то 2 к|о —. есть пя с состоктгкьккк океккк дкч коь(кркккекта карреляккк Р хэ' 19.8. СТАТИСТИКИ И ИЗМЕРЕНИЯ СЛУЧАИ!10ГО ПРОИЕССА М[[]к=М ([)Т=М) (!9.8-1) т. е. сРеднпе по копечаомУ пРомежУткУ вРемени [[]к и (1)г Явлаютсп несме|цеикс|ми оценками пснтра распределения Мй Дисперсия оценки [)]к равна а к О[В„= —, ~ ~ соч [[(!Л(), ((АЛ()]= 1С=| л-1 — О[+ — ~~ Л(1 — -с — )со) [[(0), )(АЛВ]. (!9.8-5) с=! Среднее (3), если оно существует, может быть получено предельным перехозот| нз среднего (2) при Л( О, п= — со, АЛ(=Л. Такой предель- Т т ный переход приводит к днгперсии опенки (1)т.
Г и ()) г = †', ~ ( ! х 1 „, [( (О), [ (Л)] дЛ. к (19.8-6) В зазнсвчостп от характера корреляционной функции !(М(Л) =соч [((0), [ [Л),'=!д [) (0) — М Л [[(Л) — М)] М)(о)[(Л) (М[)а=)(гг(л) — (М[)з (ИЕ8-7) дисперсия (5) или (О) чог)м убывать яля пе убывать прн возрастание обьсиа выборки п илн проме)кутка времени интегрировании Т.
21* 19.8-1. Средние по навечному промежутку времени. Пусть [(!и !с "° |и) — = [[х((с), х((,), ..., х((к); у(!), у(!а), ..., у(1„); ...] (19.8-!) есть функция от выборочных значений х(1;), у(11), ... одномерного или мяогомерного случайного процесса х((), у (!), ... (и. 18,9-1).
Средние по конечному промежутку времени вытзсляются либо через выборочные значения, лабо путет| непрерывного усреднонпн по конечному прочежчтку времени с помощь)о формул к к [[]„= — „',Р,! (!1+АЛ(, 11+ай(, ..., 1„+ЗЛ() = — „'~Л, [(АЛ(), (!9.8.2) с=! г Т (()т= г ) Г(!|+Л, !з+Л... (к+))д)'= т ) (Л)йй. (ИК8-3) о о Эти средние [[]а н ([)т представляют собой случайные величины, распределение которых определяется данными случайными процессами. Если случайный процесс х (!) стпционпрел, то ГЛ.
19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТЛТИСТПКА (19.4-9) Таким образам, (! 9. 8- 10) (!9.8- И] (19.8-17) (19.8-!2) (!9.8- И) . 2! И <О] !тФ<О]ВЕО, <!9.8-!М <И,й-йа> Н (0) пРи <в ! (2пВЕ<7 НЕ (<в) 0 пРн )в<>2пВЕФ ( Т а бл и ца 19.8.1 Усредняющне фядьтры Т (х (!) х (! -1- т» =. — ~ х (Л) х (Л + т) уй Т Т 0 Фильтр перво Фильтры втор с сильным (19.8-23) с критиче са слабы> И.6-2. Усредняющие фильтры. Усроднеане по времеви част ° осуп1естэлнется низ.
кочастотвым фильтрам чет7ерехполюсника или злектраиеханическнм нзнгрнгсльным приборам с инерцией и затуханием. Рассмотрим, в частнастн, фяльтр, инварнаят!~ый относи. тельна сдвига времени, са стационарным входйым сигналом ! <!) =! (! +(, ! -1-!.. ! ." 1]. ограничеанай функцией влияния й (3) и частотной характеристйкай Н (<в] (п. 0,]Л), Если входной сигнал действ>ет от ! = О да ! = Т (время усреднения), та выходной сигнал фяльтра будет Т са г<Т] > ЛТ <Т вЂ” Л]7<Л>63=) ЛТ <[]!<у — ОЛО са 0 8<О <о~[К т), о [К<о,т>, Т м г (т) = м 7 >' л <[] 6[ - а <7 ) м 7.
0 так чта г (Т)7а (Т] есть несмещенная оценка лля М!. Дисперсия втой оценки находится из соотношения О г <Т\ = М [г <Т\ — М г (Т)]т ( 'рй й (Х](ЙТ! (М (М 7)т[ УЛ, Т Т где (см. така!в п. 18,12-8> Ф„„Ф>- [ йт Е) ЛТ К+Л>бО ЛТЛТ При Т са дисперсия О г (Т) не стремится, вообще говоря, к «улю, а абы ~на приближается и стационарной дисперсии выходного сигнала: ат 1 аг Ог ( ) ( ф (Л) (Е О„) (М От[ ай — [' >Н (<в),'Ф <в> бв= йл 7! 2П где Ф (в) — спектральная платкасть (и, 18,10.3) функции 7 (!) — М[, ВЕ!7 — ширина спектра эквиааяентнога «равномерного» низночастатнога бгильтра с частотной характеристикой Ебч есть меРЯ пРнведепнага РассеЯниЯ УсРелннюч!его фильтРа. Табл. 19.8-1 Даст Н Кв) а ВЕЧ для некоторых фильтров (с плосннм саектрои иа входе), !9.8-3.
198. СТЛТИСТИКИ И ИЯМЕРЕИИЯ СЛУЧАПНОГО ПРОИЕССЛ 645 19.8-3. Примеры. (з) Измерение среднего значения При юмерении математического ожидания М х [ яекаторага стационарного случайвога вапр!!~кена» х (!) с Е <т) =о е а'т! + йт. Ф (э!) =, + 2пмб(нй (198-И) 2па' (белый шум. араходящий через простой фильтр с шириной спектра аД>п) шрц, или случайная телеграфная волив со средней скоростью отсчетов а72, п. 18.11-3) дисперсии ацеик» (х)Т равна *Т О(х)Т - — [' !1 — — -[е — бд= — (ау — !+е — оу)( — <!98И] 2ат ! > > и>, 2а 2а Т ( Т ( <пТИ Оху> О и для усредня!ощега фильтра первого порпдка иэ табл, !9.8-1 с Т М.
Т, (практически Т > 4Та) а'а бв а' о* О г (Т) О г (оз) — 7, . а . = < —. (!9.8-!6> и [(вТ,)'+ И (в'+а'] аТ,+1 пт,' (Ь)Измерение среднего квадрата. При нзмсрепивсраднегаквадрат» М[ =- Мх' дли го гсовщога п!ума х (!), удочлетеаряющега условиям (и], Е (т) = — 2а'г 2" т>+ (а' -1- '*)К <! 8«ог Фу!(в) = ',,-]-2л<о +$')0(в), вт -(- ИаИ О (хе) = —, (гпТ вЂ” ! Фе 2"') ~— Т (ау)* ' аТ н дла усредиьющега фильтра первого порядка с Т и Те и ! = ха 2о' а' О г <Т> О г (со) = ( (19,8.19) йнг,ф ! аг, (с) Измерение карреляционвмх функций (см.также п, 1893) Дисперсия оценки карр"лицкониых функций для совместна стационарных процессов х <т], у (!) дастся соатношенлнмп (б), (О) и (11] при 7 (!) = — х (!) У(!+ т). К сожалению.
эта дисперсия зависит ат момента четвертого порядка М [7 (О> 7 (Л)) = М [х <!] х <! -,'- >О у <! 4 т] у <! ф т ф АИ. который редка бывает известен. В наинам слу ~ае совместно гауссовских и стационарных с!иналов х РК у (!) с вулсвыми срсдиимн вна !сиинмв М И И) 7(ЛИ= Яхх <А1 Еуу <М+ Яхту(т) + Пну (т+А) Еху (т — Л). (И.8 21) но лаяв зто выражение содержат неизвестную корреляционную функцию Е (т) ху следовательно, бывает полезнь!и только в простых случаях. Длз стационар! ага гэуссовснога процесса х (!) О <х <!] х (! 1 «))Т ~ ~ Ехх (М дй Т 7' (19.8-22) 0 Заннспмасть оценки автакорреляцнанной функции от ширины спектра сигнала и ат запаздывания можно иллюстрировать иа примере гауссовского шума х (!), Удозлегаорлющего условиям (!4).
В этом случае О (х <!) к (! -<- т)> . = о — — — (гпу — 1+ 2 — 2п! +[<2пт+1]<йпу-1> — 2<ат1*) е ! ) <Т >т>О>. <И 8 щ> 2 (пгИ 19.9-1. ИЬЗ-<. ГЛ. 19. МАТЕМЛТИл!ЕСКЛЕ СГАТИССИКА (19.9-2б) "" и!отея статистика)!н в смысле классяческой статыст гской ии для пзхо)к)ее;я выборочных средних нужны повторные нли множественные опыты, яо обычво прои)е получить дисперсии и распределения вероятностей для выборо !нык сродник, чем для средних по времеви.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
