Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 167
Текст из файла (страница 167)
Рис. 21.4-1 представляет график Г (х) для Рвс 2(л-!, Графпк Г (и + 1) для деаствнтсльпыя апачснпб л. Посладопатальпыс отпосптсльяме максимумы и минимума пряблпжспно равны Г (3,462) 0,886; Г (-3,573) = 2,302; Г (-0,5040) — 3,545; Г (-2,631) — 0,888 действительных х. Значения Г(х) приведены в табл. 21.4-1. Заметим, что г(',)-У, гщ ь ) Г(л-1-1)=л! (л=О, 1, 2, ...). (3)) 11ругне представлен и я для Г(г). Г (г)= !1%,<,я 1) < я 2 <, ьл)л (олРеделенпе эплеРа), Са т Б У аТ Б (бесконечное лроизеедение (2!.4-5) ! Б (1+ э/ е пеаерштраста), С-постоянная Эйлера — Маскерони, определенная как л сс П=- О?п ~~ 1. — !пл = — ~ е (1п(д(= — ') !и!п — дт~0.5772157.
0 (2!.4-6) (с) Ф ункциональные уравнения Г (г+ 1) = г Г (г), Г(г)Г( — г)= — —, Г(г)Г(1 — г)= Г(.,) У' — "' „',Г(,)Г(г+')Г(г+-') ...Г(*+ 1) (л=2, 3, ...) (теорема умногсения Гаусса), (21.4лй) . 1,00 1 2 3 5 6 7 8 9 1,10 3 4 5 6 7 8 9 1,и) 1 2 3 4 5 6 7 8 9388 9835 9784 9735 96% %12 %97 9555 9ЫЯ 9474 9436 9399 936Я 9330 9298 9267 9237 9209 9182 9166 9131 9!ОЗ 9085 БГИ 9044 40% 9С07 8990 8975 8960 8946 В934 8922 8912 8902 8893 88% 8$79 8873 ЗВБЗ 88% 8860 835$ 9993 Я932 9878 9825 9774 9725 9678 9633 9589 %46 9505 94% 9423 9%2 9357 9324 9292 9)Б! 9231 9203 %76 9151 9126 9103 9081 9060 9040 9021 ЯО04 8987 8972 8%7 8944 3931 8920 89!О 89% 8392 ЯМЯ 8877 9872 8867 8863 8%0 8058 9933 9927 9872 9820 9769 9721 9673 9628 9584 %42 %01 9462 9425 9389 9354 %21 9289 9258 9229 9201 9174 9148 9124 9101 9079 905$ %38 9020 9002 8986 8970 8956 8943 $930 8919 В909 %99 8891 ЯЯВЗ ВВП 887 3 8868 8%3 ВВБО 8858 9971 9%1 9%7 9815 9764 9716 9669 962Я %80 9538 9498 9459 %21 9Э85 9350 9317 92% ели 9226 9198 9171 9146 9122 9))8 9077 9056 9036 9018 9000 8984 8969 8954 8%1 8929 8318 8908 8%8 8890 88% 38% 8371 8806 8862 8%9 8857 997 ! 9916 9862 9810 9759 9?Н Я664 9619 %76 9534 949! 94% 94П 93% 9347 9314 9282 9252 9223 9195 9169 9НЗ 9П9 9096 %74 9054 9034 9016 8939 8982 3967 8953 8940 8928 8917 89О7 %% 88% 8882 9875 8870 8865 8862 8%9 3%7 9930 9%6 9805 97% 97СБ 9660 9615 %71 9530 9490 9451 9414 9378 9%4 93П 9279 9249 9220 9192 91% 9141 9П7 9094 9072 9052 воза 9014 8%7 8981 8966 8%2 8939 8927 8936 %06 %97 8888 8881 8875 8870 8865 Зви! 8%9 8%7 9960 9905 9%1 9800 9750 9702 9%5 9610 %67 9526 9486 9(П 9410 9_#_5 9%0 9308 9276 9246 9217 91 90 9163 9138 9Н4 9092 9070 9050 9013 9%2 89% 8979 8964 8%0 8%7 89% 8915 8905 8896 86% 8800 8874 8869 3865 8%1 8%9 8%7 99Н 9899 99%6 9794 97ЯБ сбо? 96Ы %% 9%3 9522 9402 9Я43 %07 ИП 93Э7 9304 9273 9243 9214 9187 9161 9136 БН2 ВЮО 90% 9048 9029 БОП 8994 897$ 8963 89!9 8936 ВИЯ 89(Я 8904 88% 8887 В<% 8%4 8869 8864 8%1 $858 8%7 99В 989Я 9841 9789 9740 ЭБЖ ВМБ 9%2 9%9 9538 9478 9440 9403 9308 9Э34 9301 9270 92ЯО 9212 9184 9158 9133 9НО %87 9066 ООЯБ ВП? 9009 8992 8976 8963 %48 8935 3933 8913 8903 В%4 %% 8879 3873 8369 3864 8861 8%8 8%7 742 21.4-1, ГЛ.
21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНК)Н!И И.4-4, 2>Л. ГАММА. ФУНКЦИЯ И СВЯЗАННЫЕ С НЕН ФУНКЦИИ 748 (лределжелнс) 21.4-1 Теолнце 21.4-2. Аснмптотнческое разложение Стнрлннга для Г (г) в л! ' пп. 4.4-3, 4.8-8, Ь н 21.8-4), в л (см. также а ~ 0 6 ~ 7 (! Вгйг! Сп) (ряд Стирлинга). (21.4.18) 8856 8%6 8857 ВВИ ВЯЮ 8856 88% 8%7 8%9 8862 8%6 8%6 8%7 8858 8881 8856 ВВЬБ 8%Т %50 ВВБ> 8856 32% 8%7 8%9 8861 8%7 ВПБ 8%6 885т 8859 Ряд Стнрлннга особенно полезен для больших значений 1г!; длл действитгльнык яолоясительнык г абсолютная величина ошибки меньше, чем абсо лют ноя величина последнего из взятык членов.
Заметим, в частности, что 8865 8%9 8875 ВВЮ 8887 а865 ави ВЯИ 8880 8887 8864 ВЯИ ИТЗ 8879 88% 8864 ВЮВ 8872 епв 8884 8%3 ВЮ7 8871 8877 8883 0,8862 8866 8870 887Б 2882 1,50 1 2 э 8866 ВЮО 8875 88% %88 8%4 8%8 ВПЗ вио 8385 8863 8867 8872 8877 ВЗМ л> ле Угл !нп „„=1 нлн а! — лле вУ2па прн а со '21.4-1! л -лрс (формула Стирлинга). 8294 8902 891! ЮЛ ЕЮХ 8895 8903 ЗИ2 89% 6933 8892 8901 %09 8919 8930 8893 890 ! 89!О %20 ЮЗ> 8892 %00 %09 89!6 6929 88% ВЮТ ЮОБ 8915 ЮЖ 8%6 ОВИ 8913 09% 8934 889! 8899 юоа елт 8927 8%0 ВЮВ 8907 89!Б ЮИ %44 Ю57 ВЮО 89М %98 Ю(З 8955 8968 8982 8%7 ВМ! юез 8966 %79 Ю94 1,% э 4 ЯМБ 8950 8971 8985 ВХЮ 8942 ВОМ 3%7 %81 ВВЮ 8939 ЮЬО 8903 ВП7 Ю91 89% ВНВ %61 ВИ4 %88 Отметен более снецввльнме формула: ! лле л ьс27!л С лс < лл У2сш е л! — л У2лл екр ( — л .(- — — — + ...) л 1 1 Ил Ззол' 9%0 9026 9043 906! 9079 900! ЯОП %33 9050 9068 %16 903! 9048 9066 Ооач 9012 ВПВ 9045 9062 Яоа! 9003 9018 %35 9052 9070 9004 9020 9036 %54 %7! 9006 9021 9038 90% 9073 9007 90% ЕНО ЕЮ7 9075 (21.4-12) (21,4-13) пр» л сл.
31.4-3. легврвфмнческвя нреввводнвв свммв-фунлцлв. 9104 9!Ж 91 45 9166 91% иог 9122 9143 9164 9186 9!% 91% 9140 91% ИВ4 9098 9118 9138 иа> 9182 9088 9108 01% ИИ 9!70 90% 9106 9126 9И? 9! 68 9096 9116 ИИ ИЬТ 9179 90М 9!Н 91М 91% 9177 9090 91% 91 39 91% 9173 )ЛО 1 э 4 9092 иш 9132 9)Я 917Ь се ! 1 (г> ( — — — 1 — С: йг Ча+1 г+а 1 -М вЂ” — Ю =- ~ ( — '+ — ) И сп *> О>.
! — е — -) =-~~ — ' ) (с!л( о ф (г) — )л Г в вг (2!.4.14) Ю!1 ЮЗЬ ОЯЮ Ю35 93 !! %09 9233 92ЬТ 9283 9309 агм О%Я ЮИ 9277 ОЮЗ 9193 %16 9240 9(БЬ 9290 9191 921 4 ЮМ 9%2 9218 ЮЮ 9226 ЮЬО оЛЬ 9301 ЮОО 9ЯН 9247 Ю72 9%8 91% 9218 9%2 ЮЮ 9293 9197 9%1 9245 9270 8%5 ф!г>=~ ~ — ' (21.4-15) о Заметем, что 9314 514! %68 9397 %26 93!6 ЯМЗ 9371 Оию 9429 933;1 9ЗЯ %91 9420 9450 9333 9360 9338 %17 9447 9330 ЮЬ7 93% 9414 ОМ4 932( 93% 9383 9411 9441 9319 9346 ЯН 9403 мзл 1,80 1 г а ф(1) С, ф(г.>.!)=Ф(г!+— 1 г И!.1-!6> (С вЂ” псстсявнев ЗБлерь — Мсскеренв). 9478 9509 9М! 9574 9607 9456 9487 %18 %5! %84 М81 о%г 9544 %77 ИП 9474 %06 %38 957О 9604 9471 %03 95М %67 9601 МБВ М99 ОЬЗ! 9%4 9597 %62 ОИЗ 9525 9%7 %91 946Ь 949Б 9%8 %61 %94 9484 %15 9%7 9ЬЮ 96Н 21.4-4.
Бета-функцня. Бета-фупкцпя (полная) определяется как (21.4-1?) ОЮ! %5Я 9691 ЮХВ 9765 9625 9659 96% 973! 9768 %45 9681 97П 97% 9791 9633 %73 9709 9746 9784 96% 9063 Ю>9 9735 ютг 9618 9%2 90% 97М 9761 9649 9684 9720 9757 97% 9642 %77 8713 97В> 9781 9635 967О 9706 НМ2 9780 9631 9686 иог ОТЮ 9776 1,90 а 4 нлн прн помощн аналитического продолжения интеграла 1 В(р, 4,=~(Р '(1 — С)т !б( ()(ер>0, цеу)О) о (интеграл Эйлера первого рода), сс я?2 ср 1 В(р, 4)= ~ б(=2 Вп'Р "14>0%20 >фбф.
— „„,Р,О о 9818 9%7 Я897 9938 9979 ВЮз 984! 9881 9921 9962 9799 9337 Яют я%т %58 9834 9873 ем э 99М 9996 982! 9%1 9901 99% ИВЗ 9810 ЕИО %89 юго 99М (21.4-18) 1,ВЮО 0017 оюа оо>з (21.4-19) Относптельная ошнбка формулы Стнрлннгэ убывает с возрастанием я; аснмпто. тнческая формула часто применяется прн вычнсленнп отношення даук факго- рналов нлн гамма-функцнй. 21. 4-6. 744 ГЛ 21. ОПЕЦИДЛЬНЫЕ ФУ14КЦИИ Отметим формулы (ел Ледеемние), (л > 0). Величина В (р, е) Бе О) = в (р. О> е~л ь 1> о(л>, е(л> 2-1' (2!.5-2) Заметим, что (биномиальнал теорема Вандермонда).
В(р, О) В(р+Ф г)=В(Ф г) В(О+г, р), (24.4-20) =т~ + =л( ) (л, еп 1, 2...,). (21,4-2!) 2(м-а. Неполные гамма- и бета-Функции. Неполная гамма-Функция Г (р) и непалиая бета-Функция В (р, Е) сеетветствеиио определяются аиалитичсским йраделжением е вктегралев )Г (р) ) !р е ет (цел: 0), (21.4-22> е О х в (л, т ) !р '(1 — Ое (б!(пер~о, нее>О) о<хс(>. И>лез> л О называется отиошеиием неполной бета-Функции.
Большое число елределеияых е иеепределеиимх ивтегралов. связанных с гаммаФуикцией, содержится в !4,О>, !2!.61, 21.5. БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ И ФАКТОРИАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ. МНОГОЧЛЕНЫ И ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 21.5-1. Бииомнальные коэффициенты и факториальные маогочлены (см. также п. 1.4-1 н 21.5-3). В табл. 21.5-1 приведены определение и основные /х'> свойства биномиальных коэффициентов !1 /!. Выражение /к( х(л) ~ )л! =х(х — 1) ... (х — л-)-1)= ')л/ — 55")ха+5)" хл + +З(е) 1 х (л=б, 1, 2 ...) (21,5.1) называется факторнальным мпогочлеиом степени л. Коэффипиенты Я иазы(л> ваются числамн Стирлипга первого рода н могут быть получены с папашью рекуррентиой формулы (х+ )(л>= х(а>д(ее-й) (л=О, 1, 2, ) (2! 5.3) лы (й) 21.6-!.
21.6. Биномидльные кООФФициенты. мнОГОчлены Бернулли 745 Т аб л и ца 216! Определелне и свойства бнномнадьныд коэффициентов (см, также пп, >еи! н 21,6.4) (в) Определение и осиовиые свейства. Если е, р, л — действительные числа а л — целое число, то к(л — И ...(» — ло !) /х! л( лля л) О. (л/ ( ) для я=О, О д.тя лсо л ( Ъ" )' ) л/,ОЫ !/ / ~л — /) (л ) О> (ле е лл жельее ('."')=(:) (.' ), (."=-""('." ') .- (Ъ) Если. в частиест», М и л — иоложнтельиые числа, то еч (и — !) ..
(М вЂ” «+ 1) М( ((У) ( ) < ! (М вЂ” )(тл ар 1 О йл» де Сл) (.")= (.",)=(")-" ('-") - — """( '") - Х,(')'. ~)' ( .) - 2, ~ (- Н/ ( ) - о. / О !' =О (с) если ж, д/, л — положительные целые числа такие, что м ) л, /у ~ л, то (' )=,Х(')=1('") (' )=,~ -'""(")=~, -""''("/) ("'") - 1,(") (") ( .")-,~,(.,",)(",) ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУ>4КЦИИ (2 1.5-4) (2|,ыщ (2!.5-6) (21.5-7) (21.2-|6] 1 2! 1 О ... О 1 ж 1 з! 1 ...
О ! я 1 з| Вл ( — Цел> | 1 1 л! <л — >Н "' ьБ ( — — са с — ). <лфн! 21.5-2. Многочлены и числа Бернулли. (а) О П р [Г>тп Л Е П Н я. МПОГОЧЛЕИМ Бариуаап В[л! (Х) ПОрядКа и = О, 1, 2,... а степени й определяются нз разложения производящей функции (п. 8.6-5) !лак| (й — |, = ~ В(л! (х) —, (л=й, 1, 2, ...), й 6 Многочлены Бернулли порядка 1 обычно называются просто многочленамн Бернулли. Заметим, что 21, л — й В[ ] (х)=х", В[а+ ]хна — — д ((х — ц(х — 2) ... (х — и)) (л)й).
(21 5 5) й ' й а! Е,л- Числа В["> (О)=В[а] называются числами Бернулли порядка и; имеем й й !» оэ -7! — „= ~', В~л> — ' (л=о, 1, 2,...); й-е Вйл>=1, В)л! — — и, В)л> ! л (3н — Ц, Вйл> — — ла(л — ц, В[4л>аа — л(15лв — 30ла+5л-)-2), В~л> = — — ла (и — Ц (3ла — 7л — 2), Вй"> — л (63лй — 315ле+ 31 био+9!ла — 42л — 16). Числа Бернулли порядка 1 обычао просто называют числамн Бернулли.
В<!> Вй', Вй О для всех нечетных й) 1, н й 1 1 1 В 1, В е Ва е Ва е Вв ° ° ° (21.5 8) О 1 2 е а 6 ЗО 41 ' ''' Числа Бернулли Ва„положительны при л нечетном и отркцательны прн л четном. Числа Бернулли могут также быть получены с помощью рекур. ренжной формулы Вв 1 1+(~) В!+( ) Ва+" +(й !)Вй 1=9 (й 2, 3, ...) (21,5-9) нлн в виде определителей (формула Лапласа) иль<.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
