Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 170
Текст из файла (страница 170)
21,6-4 приведены графики эллнптмческих функций ллиптическне функции вырождаются, если йз = 0 или йз Э из периодов становится равным со: й=О, К вЂ”, К'=со, зп (г, 0) =31п г, сп (г, 0) =соз г, бп (г, Якоби для йз=?/3, =!1 при этом одни %02 0091 сао! 0000 0000 Б,1218 3509 6385 Т,ОИО 'тз?1 зэ'.в 59,7 Вэ',В 89,9 !ЬМ 1?29 1928 2132 2340 а40! аззз 0375 ОЗБЗ ОЗЬО %06 3418 3329 33% знт 3541 %91 8843 901 1 9!Ю зо,о 80,4 ВОД Ю,В 0) =1; (21.6-40) сь с' й=!, К=со, К' —, зп (г, 1) =!Ь г, сп (г, 1) =бп (г, !) = которую можно использовать для вычисления К (й). 21.6-7.
Эллиптические функции Якоби. !3) Определения. Обраптенне эллиптических интегралов г=р(45 й) и г=г" (ю, й) (и. 21.6-6, а) порождает функции а% г (амплитуда г) и зп гии 6% ап (ат г) (синус амплитуды г), т. е. О !у=Оп! г, г=~ =Грр, й), о К1 — 5* 4!о* Ф н (21.6-36) ю=зпг, г= =г ю, й им — — „„,„„- (. )~ о Различные значения многозначного эллиптического интеграла Р (ю, й) отличаются друг ог друГа не 4и7К+ 2п(К', где 7п, и =О, -4- 1, лй 2, ... о значит, что обратная функция зп г — двоякопериоднческая с периодамм 4' Функции сп г (косинус амплитуды г) и бп г (дельта амплитуды г оп ляютсв формулами уд г) опредесп г=спз (61п г) =)' 1 — зпе г (оп 0= 1), ! и*=се, ° *>-гтт с* и.й-о.( (21.6-39) зп г, сп г и дп г называются эллиптическими функцмям Я б чение па реметрв й явно не участвует в обозначениях этих функций; когда это необходммо, 62?дем писать зп(г, й), сп(г, й), бп(г, й).
й', К, К', Е и определены в п. 1.6-6, Ь, Эллиптические функции Якобм все действительны для действительных г и действительных й', заключе л ченных между " и 1; на аиз-т, (с, впз-т. ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 3 и (21. 6-46) (21,6-47) Эллиптические функции Якоби могут быть также определены в терминах )о-, Ь-, и- или 6-функций соотношениями п. 21.6-9.
(6) Различные свойства и специальные значения. Все эллиптические функции Якоби имеют порядок 2 (п. 26.1-1); их периоды, нули (простые) и полюсы (простые) приведены в табл. 2!.6-6. зп г есть нечетная Таапппа 21.6-5 Периоды, нули, полюсы и вычеты азлнптнческнх функций Якоби функция, а си 2 и бп 2-четные функции от ю В табл. 2!.6-6 приведены специальные значении функций.
Табл. 2!.6-7 показывает эффект изменении аргумента на четверть н половину периода; при этом используются удобные обозначения зп(г, й)=5, сп(г, Д)=с, Йп(г, й)=б (21.6.4!) (иап имер, йг = й зп (г, 2)). 6-' мигни еще соотношении: зп'2+си'г=яззпзг+бпзг=1, бп'г — азспзг=д'51 (21.6-42) зп( — г)пп — зп г, сп ( — 2) =сп г, бп ( — г) бог; (2!.6-43) зп (2К вЂ” 2) 5п г, 5п (21"К' — 2) = — 5п 2, сп (2К вЂ” 2) = — сп г, сп (2(К' — г) = — сп г, (2!.6-44) бп (2К вЂ” г) =бп г, дп (2(К' — г)= — бп г; с Е (зп г, (с) = ~ Йпс г с(г.
(21.6-46) (с) Теоремы сложения: сп А сп В дп В + пп В сп А дп А зп (А+В) 1 — а*юсл юа В спАсп — спл дпАспВдпВ СП (А+ В) — 1 — Э пп* А сп* В дп А дп  — Ы пп А сп А сп В сп В бо(А+В)- 1 — асппслспсв (б) Дифференцирование: д (сп 21 =сп 2 до 2, дг = — 5п г бп 2, д (сп21 дг — — дз зп г сп г. д (дп 21 дг 71.6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ 763 вцв.т 764 ю.п-з ГЛ 21. ЕПЕПИАЛЬНЫЕ ФУНКПИИ Таблица 2(Л! зп (т К + п( К' .1. 5) — 1 К' ~ — идзс) — Н/(Йс) .1- 1 (Й5) иу (Йс) !!(Й5) с/и — с/и — Здзс) + !ЛЬ) Нцзс) .1- 1!(Йз) — а/(ы) ! К' — с/з с/з л к.
— с!з и=б сп (сп К вЂ” , 'ис' К' 5 5) ( !)п о(п — 1/2) ( !лп)зп 1 зк 2К СЙ НЙС) .5 Ш!Гзз) — !Й'/(*с) ж ш/(Йз) — (Й /(Йс) — 1 К' ш Й'5/и ! Й'5/! (21. 6-49) т'/Гзс) Е Ш/(Йз) — !Й'Лзс) Г т/(Йз) ос'/Ыс) ! К' + Й'з/и + Й'5/н ап (и! К+ т К' Е 5) ФК п! К' !К ( Пп,)п* (Васс)зи и--сп -З СС/5 +т 5/с + !Й'5/с — ! К' -5- Ы'5/с 1- Т (с/5 ж !с/5 Ш !Й'5/с 5 К' — Й /н ж к' -1. (с/5 ШЫ5!С !.
Ы'5/с !С/5 з к Изменение переменной на четверть и половину периода — К О К 2К ЗК 21.6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКНИИ И ИНТЕГРАЛЫ 766 (е) П ре образован и я. Табл. 21.6-6 показывает соотношения меж эллиптическими функциями Якоби с модулями й и !А]й' й', 1,'й, 1!й', (сч также п 2! 6-6 с) (1) Разложения в ряды: зп г=г — (1-]-42) з -1-(1 ! 14йз ] йз) *' 61 сп г =! — *— , +(! + 4йз) — ' — (1+44/!'-1- 1625) 55 -1- бог=! — йз — „+Й'(4+Аз) „— ', — й (16-~-44лз ьйз)з' ~ 6! ! г,'~т!и (! К' (, [2К-1-!К' [. [2К вЂ” !К' !). 21.6-6. Тэта-функции Якоба.
(а) даны комплексная переменная о и комплексный параметр о=в(из такой, что т имеет положительную мнимую часть. четыре тэта-фуикцнн1) 61 (о) = 6, (и ! т) = 2 ~', ( — !)п д(и + !/2) мп (2и -1- 1) ли = дз(о) =65 (о ! т) =2 ~ д(~+ '/2) соя (2л+1) ло а О ' ] — 6(и — 1/2)' (с!ли)2п 1 п — са сп Оз (о) Оз (о ! т) = 1+ 2 ~ ди ст 2лло п=б „п'[ слс)2и и — сп 65 (о) = Оз (о ! ъ) = 1+ 2 ~~ ( — !)п ои соз 2пло и=о — все периодические целые функции от о соответственно с периодами 2, 2, 1, !. , !. Четыре тзта-функции (49) имеют нули соответственно в точках п=т-1- ит, т-]-лт-1-1/, т 1, -(и-]-1/з) 'с+1/з, т+(л+1/Д т, где т,а=б, и-1, -1-2, ...; эти нули позволяют представать тэта-функции в виде бесконечных произведений (7.6-2) [21.3].
5) Иногда О, (с) пбпзкачапл через О, (с) нли О,п). 21.7-!. 2!.7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 767 2(.В-В. ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКПИИ нх провзводных прв о а для врэткостя „, (>=1,2,3,4). Таблица 2166 е; е; е; — + — + — ' ° аз аз ач Пре- обрззо- эзпве зп (х, й) бп (т, Э) сп (х„а) К (21 6-66) ус,— е, (а)з '~ Ге~ — е, (а,)з (21.6-56) (21. 6-57) К =- — ' Уе, — еэ = — бл 1 К' ых т= — = — (1шт)0) К Ы1 та Ва Шии )1 ' ° / е, — е, а, Ф, [о) У !о [е! — 11 аз а (о) ' Сишии ) т/'Р(*) — е, а, а, (о) Р (э) аз ач (о) г Р[х) — е, а,а (о)( (21.6-59) д'Ф дФ вЂ” -Вн! ~;-О.
дю (2!.6-60) (21. 6-60) 11 Г 11 11 г !т — ) - а, (ю, е, (о+ -) - е, (о>, ").. . + о) т )н +и (21.6-6!) [2! Хьщ> (2(.ВЛИ) ! )/'; е!ноЧта, („,>, 7 г — е !но ут ач (о ) т), Л е(ноыт а, (о 1 Ю, Я'" (яоЧ а (о (т). (21.6.64): Преобразовании первого порядка эллиптических функций Якоби Тэта-функцвн ие являются эллнптвческямв функцвямв. Очеиэ хороиэал сходимостэ ряды (49> лээзолтт эмчисхлтэ различные элхилтиюскив фвикчии и эллиптические ии1пэЭРа,ыч С ЛОМОЩЗЮ Саатиаюсиид П. 21.6.91 тзтз.фУНКЦВК ВВЛВЮтея РЕЮЕияЯМЗ Дпффсрсн. цязльного урвввеввв с чвствымв провзводными которое связзно с урзэвеянем двффуэвв (и, 16.6.4, Ь>.
(Ь) Отметим соотношения: а, (о + а, (о+ Ф, (о + - ) 1'е (т а,(о+ — ) е ! лт+вх (с) для отыскания а ~ — ~ ) применяются форчулы; 1(ст+Р ( ст4-ы) а (о ( т.( !) 1>н!4Ф (о ) т), аэ (о(т+ 1) е!»и4Ф (о ) т), а [о(т+1) ач(о)т), а (о1т+1) Еэ(о(тк '(-: ~--'-)- а,(-' ~ — — ')- а, ( —; ~ — —,')- а,( —," ~ — —,')- (д) Знзчепвя четырех тэта-функций н обоэнзчзют тзк: а! (6) = е», е', (а) - е,', Втн знзчення удовлетворяют состношеввям а'" Ф1 - наэаза4 а-'- 1 2!.6-9. Соотношения между аалиптнческимн функциями Якоби, Вейерштрасса н тэта-функциями.
Если различные параметры, входящие в опреде. лення ап 2, сп 2, дп г, )а (г), 5 (г), о (г) и 6! (г) (пп. 21.6-2, 21.6-3, 21,6-6— 21.6-8), связаны соотношениями ш= Уе,— еэ=2ка, а= — = —, ю (2!.6-58) юх 2К* ф» (г) = е> + (е( — еэ) ,„, = е, + (е, — еэ) †, = еэ + — ,' „ си'ю бп'ю 1,— е, 21,7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ й!НОГОЧЛЕНЬ[ 2!.7-1. Введение. Ортогональные многочлены, рассматриваемые в пп. 21.7-1— 21.7-8, являются спецнальнымн решенннмн линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка, связанных с гипергеометрическнм уравнением (9.3-31) (многочлены Лежандра, Чебышева н Якоби) нлн с вырожденным гипергеометрнческнм дифференциальным уравнением (9.3-42) (много- члены Лагерра н Эрмнта).
Этн специальные решения порождаются специальными однороднымн краевымн условнямн; кажлый класс ортогональных мнагочленов есть последовательность собственных функций для проблемы собственных значений типа Штурма-Лиувнлля. Лля большинства приложений важны толька действительные значения аргумента г=х *). й[ногачлены фэ(л), ф» (х), ф, (х), ...
каждого типа определяются с точностью до постоянных множителей, которые обычно (но не всегда) выбираются так, что козффипнент прн хл в мнагочлене л-й степени чр„(х) равен единице. Последовательные многочлены каждого типа могут быть определены 1) в терминах соответствующих гилергеометрических рядов (и. 9.3-9, а) илн вырожденных гилергеаметрических рядов (и. 9.3-!О); 2) с помощью рекурремтных формул, получающихся нз дифференциальных уравнений; э) Ортогонвльные многочлены в комплексной области рвссмзтрвззются в [7, Ц, [2!.3), 21.7-4. 21.7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 769 21.7-2. ГЛ 21.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 768 м и а. а> В (21.7-!) иа также функции '1ебышева втврвгв рода Цв (к) = агсз<п зт У~ — к Ц (к> = з<а (а агссаз к) = — — — Т (к) в (21.7-3) <»- 1, 2, „,>. многа. формулы 321,7-4) Ф (21;йй)(Р Г. Кг|рв и Т.
Кари 3) последовательным дифференцированием лроиэгадяи(сй функ. «ии <р (к, В) (см. также п. 8.7-2); 4) процессом ортогонализаиии Грима — Шх!идтз степеней 1, х, х', с соответствующим весом у(х) на некотором интервале (п !5,2-1, я, 15.2-5); 5) нз интегральных представлений (п. 21.7-7). которые обычно связаны с интегральными преобразованиями решений дифференциальных уравнений или с коэффициентами рядов Тейлора или Лорана производящих функций. В табл 21.7-1 приведены основные соотношения для многочленов Лежан- дра, Чебышева, Лагерра и Эрмита. В табл. 21.7-2 приведены выражения лля первых семи многочленов (многочлены Чебышева приведены в табл.
20.6-!); одновременно даны выражения для степеней х через многочлены Лежандра. Выражения для последующих многочленов см. в (21.4). Подчеркнем, что единой системы нормировки орюгональных многочленов нет; поэтому необходима осторожность прн пользовании разными источниками. Разложения в ряды па ортогональным мнагочлслам производятся в сыысле п. 15.2-4 и дают важные приближения с минимальной соответственно опреде- ленной средней квадратической ошибкой (и.
!5.2-6; см. также пп. 20.5-1, 20.6-3), 21.7-2. Действительные нуян ортогональиых многочленов. Все нули каждого из ортагонакьных мкагочленаа, рассмотренных е пп. 21.7-1 — 21.7-8, простые. Деа паслсдаеатсльнык нуля ф„(к) разделяются одним нулем ф„„! (х) и ла мень- шей мере одним кулем ф (х) для каждого т) л. Таблицы нулей многочле- нов приведены в (2!.4). 2!.7-3. Фуиацвв Лежандра (см. также аа, 21,3-!О, 2<.В.И и 21 3-13) дирсеревцввзь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
