Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 172
Текст из файла (страница 172)
(21,819) (е) Цилиндрические функции, порядок которых равен половине нече ног иелого числа (т=м )з, ж ')„...), выражаются через элементарные ф нкцни (см. также п, 21.8-8): (2!.8-11) Рис. 21.2-1. Функции Бессеии и нсамиии. цилиндрических 21.8-2. Интегральные формулы (см. п. 8.6-4). (а) Интегральные представления для ус(г), 71(г), 72(г), лт (г)= и- ) сов(т! — ге!п!) й! (т=б 1, 2 ") (21.8-16) о (ин!негра.<ьиая формула Бесселя); н)2 лет (г)=-;; ~ соя(г ми !) сов 2т! дА о и!2 г г +1 (г) = — „- ~ з!и (г з!и 1) нп (2т+ 1) ! й! о Цилиндрические функции целого порядка суть однозначные целые функции (п.
7.6-5). (й) Каждая цилиндрическая функция порядка т может быть лредстое,<сиа как линейная комбинация функций ут(г) и Лт (г) или как линейная комбинация Н'и (г) и Н"'(г); (т=б, 1, 2, ...); (21,8.17) 2ж (г) = а ут (г) т б Нт (г) =и Н" ' (г)+6 Н'" (г) (21,88) < т!' Хт (г) — ! 1 ~ с)*соч) соз 1! й! (т о г' (г)=2Ы(й) !)<1 т 'е 7)йу (!агйг/(л! я<=О, 1, 2, ...) (2!.819) (интеграл Сонина — Шлефли), (фундаментальная система, и. 9.3-2). 7т(г) и 7 (г) образуют фундаментальную систему, если т не равно целому числу (а<~О, чк1, ч- 2, ...), так как прн т целых 7 (г) = ( — 1)ж Х„, (г).
(21.8-18) '! Функции м <г! обозиичиются также через у <г1! иногда вместо функции нсйт lи мена берут аиалогечиме им фуикции Вебера 121.31. где контур интегрирования начинается в точке (=со, идет по отрицательной (с) Аналитическое продолжение. Значения функций для ~ агйг! )л получаются из формул 7 (е!икг) = и<тику (г), Нт (е'и"г) = е !итм Нт (г) + 21 ут (г) мн тнл с!8 тл (л=б, 1, 2, ...), где з<птялс!8тл=( — 1)тил для т=ч- и; 77'!' (е'"г) = — с !тнН"'(г) = — Н'" (г), Нме> (е !кг) — е!"'~ЧГ~' (г) = — Н о (г), (2!.8-6) (21.8-7) Х (г)=у -„-'— з/2 и 7 У* ч и! Уг ,)з,(г) = )) --гз+')*(— з Н,!!' (г) = 'Уг' 2 Н,' (г) = — )) -- —.'-= л !у 2 сочи, (г)ии у Уг 2 ) ыиг сочи, Н (г) = у — < — — =)1 (21,8-12) Уг и У"е~ и Егт) ч 2 ,)и Н'",) (г) = у — =; (21.8-14) — -!и Н и ~ (г) у) (21 8 !ог) "Уг ' ш.з-з.
гл.ш, снниидльнын функиии Вцв-е. 2(.а. Бцллиндричпскип функции ув) части действительной оси, координат н возвращается конечность. (Ь) Формулы Зом окружает а положительном направлении начзло по отрицательной части действительной осн а бес- м е р ф ел ь да и П у а се о н а. Комплексный интеграл (рнс. 21.8-2) е Сщл)2 Г 2 (г) = ' ) ес (к * с 4 жб й( (21 В 28) с (илтеерал Зоммерфельда) равен Н"'(г) для контура Сь Н„",'(г) дли контура Ся н 20ж(г) для контура Сз. Эти контуры могут быть ды[юрмнроааны при условии, что начало н конец каждого из ннх стремятся к точке (=со в указанных заштрихованных областях; 1 =О н ( =-л могут быть использованы как седлозые точки (точки перевала) для С, н С, прн вычислении 2 (г) для больших значений г (см.
также п. 2!.8-9). Отметим еще формулу лС'2 с ы (г) =: ( ) соз (г соз 1) з!п'ж С й( )сих( +Н)" (сл ) — 1/я) (21.8-2!) (иилмгральлая формуяа Пуассона). Ряс. 21.а-2. Контуры яитегрярозя мяя для яятегрькоя Заммерфель дя; с т+ль к [ л (ак) .с фх) к Ек о —, [алж Фх) лжет (ак) — Влж (ах) лж 1(Вк)[ —, [В,с (Вх),с (ак) -а,с (аю .с (Вх)[ (а' -В' Ф ок (2!.З.зз) 1 С жеЬ ! [,с (ах)[я к ех = — е[.с' (ах)12.1- — стхе — —,) [л (ак))я (ся > — !) о (иятеерслм Леммелк)1 со К (л+ 1 ~ к ы+Яс (ах) Ек 2Я макс Я 1 ( — 1 < я < зж.(- Н. (Ш.а.за) 21.8-3.
Нули цилиндрических функций. (а) Все нули цилиндрических функций простые, за исключением, быть мажет, г=б. Последоеасиельиые положительные или ослрицательяыс дейстеиоисльлые нияи двух линейно независимых дейсслеислельнык цияиидричсски» функций порядка сл леремежаюлюя; г=б еоиь единслсеенный возможный общий нуль. (Ь) (См. также рнс.
21 8-3). Функция Уж (г) илыесл беосонечное число дейсюеительных нулей; длл си~ — 1 есе ее нули дейоиеилсельиы. Для ш=б, 1/з, 1, зся, 2, ... и л=!, 2, ..., еы (г) и уж„.я (г) не имеют общих нулей. Для т=!, 2, ... лосмдосалсельиьм лоложислельчые или ослоицательные дейсслеительные нули ую (г) разделяются единственными дсйсспеительиыми нулями а!лес (г) и едино)и)емкими дейслмилсельлыми мулами е" (г), (с) Некоторые зятегряльяые формулы, содержащие цяляя ° дряческяе функция (см. также о, 2!,а-с,с). со соз (г 5)п с) = ля (г) + 2 ~,/ с (г) ссн 22( Ь=) (21.8-25 а) з1п (г з!п()=2 ~ У ь (г) з!и (22 ПО а=с еж '* "" с — ~ у (г) е 4-ссяс =~я (г)+ ~~ л[сяь(г) соз22( ь !022-1 (г) з(п (2А — 1) )[.
(21,8.230) ь=! Отметим еще формулы Оь «ь ! =сь (г)+2 ~ льь (г)=уя (г)+2 ~ уя (а), ь=! Ь=! * ь=ь (Ь) Г р афин н функ ц нй Бесселя. Для действительного г=х функции 7 (г), У! (г), l (г),, зсе действительны; рис. 21.8-3 иллюстрирует нх 0 00 70 (21. 8-26) 00 йВ 04 -02 -04 0 Я 4 В В )0 )2 14 Рис. 21.з-з. Гряфзяя фуякцяй Бесселя ле (х), л» (х), ее (х), lе (х) для дейстясоезьяого яргумеятя. Заметим, что Лж ( — х) = (-!)жяю(к). нули, максимумы н минимумы н нх асимптотическое поведение прн к со (см.
также пп. 21.8-3 н 21,8-9). 2! 8-4. Функции Бесселя целого порядка. (а) П р о и вводя щ а я фу н к цн я Функции Бесселя неотрицательного целого порядка т=б, 1, 2, ...— все однозначные целые функции от г. Онн могут быть получены как козффнцненты разложения в ряд Ло!)апа (и. 7.5-3) производящей функции (см.
таки(е и. 8.7-2) ~-( --.') ез ' =Уь(г)+ ~ [зж+( — а) а[еж (г), (21,824) !я =1 илн как коэффициенты рядов Фурье Щ.Я ЫИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОУНКИИИ шл-з. 21.8-7. 783 ГЛ. 2!. СПЕИИАЛЬНЫЕ ФУНКНИИ (с) Условия ар т оган ал ь ности (см. также пп. 15.2-3 н 21.8-2, с). Если р! и рь — два нули функции 1т(г) (необходимо действительные), то имеют место условии ортогональносгн ! 1т (у!х) 1т 8»ьх) х Ых = и О, 2 [1»»»(р!))'- —, [1 ы (Р!П'. если !~Ь (21.8-28) если ! = й. где Рю Рз....— поло!кительные нУли фУнкции 1 (г), Располо)кенные в порядке их возрастания, а козффициенты аа равны аь= /,)// (/)1.
(Рь/)([!. [/ н 0"ьЛз Р злажеппе (29) «мест места длп любого Нействатальпага т > — '/,, сслп / (х) пуп ! сачпа-непрерывна п имеет аграппчеппую «прпвцпю и (О, 1), п пптегрпл [)гх ! !(4),! вх О существует, В тачках разрыва функции /Сч) сумме рпдп (29) врпппмьсг зпаче» пе Ч [/ (х — О) +/(х+ О)1.)( 21.8-6. Решение дифференциальных уравнений прн помощи функций Бесседи н связанных с ними функций.
Линейное дифференциальное уравнение —,+ — — +[(Ьсгс ')'+, '~ге=О (21.8-30) имеет решение вида 2 (Ь). (21.8-31) Многие специальные случаи уравнения (30) представляют значительный инте- рес (пп, 21.8-6 — 21.8-8; см, [9.4[). 21.8-6. Модифицированные функции Бесселя н Ганиева, Модифицирован- ные цилиндрические фумкцин порядка т: / (г) =! т 1т (!2) (модифицированные функции Бесселя), (21.8-32) Кт(г)= — (ть! Н"'(Гг) (модифицированные функции Ганкеля) ) 2 определяются с помощью формул (3) — (5); определения могут быть расширены с помощью формул (6) и (7). Функции (32) суть линейно независимые реше- ния дифференциального уравнения — Г+ — — „— (1+ —,,) э=О (2! .
8-33) (модифицированное дифференциальное уравнение Бесселя) (см. также п. 10.4-3, Ь) и удовлетворяют рекуррентпым формулам ,/ и (г) = / , (г) — т /т (г) = 2 — /т (г) — / , (г), (21.8-341 /(п»»1 00 — Кт-! (2) + г Кв» (г) = 2,!г Кт (г) Кт-1(г » 2 л» )»(б) Р я д ы Ф у р ь е- Б е с с е л я. Прн дос!аточно общих условиях функцию ) (х) можно разложить в ряд [(х)= ~ аь 1т (Рйх) (ряд Фурье — Бесселя), (21,8-29) /»=! 1 (г) и Кт (г) — действительные монотонные функции для и О, сь1, щ. 2, ... и действительных г (см.
рис. 2!.8-4). 21.8-7. ФУнкиии Ьсгт г, Ье!т г, Ьегт г, Ье1„2, йегт г. Ье1т г. ФУнкпнн !сгт г, 1с1т г, Ьегтг, Ье)юг, Ьегт 2, Ье1т2 определяются соотношениями Все эти фупкш)И Дейс!вятслЬнЫ ДЛя дсйствнтсльнык значсинй г. На рнс. 21.8-5 показаны нх графики. Индекс ш не пишется, если ш=О, например, Ьегаг = Ьегг. х»4 .г -///У Гпс. 2!.8-4. Мадпфпцпрап»нные Рпс.
2!.8-8. Грлфппп фуппцпй Ьсг х, Ье» х, Ьег х фумпцпн Бесселя п Глплеля. п Ьа! х. н н Заметим, чта Ьег г= — — Ье! г, Ьы г — Ьег г, Ьегг, Ье! г. Ьегг п Ье(г, т 2 т т 2 т тлп те кап /,(» — /» г) и НО» ' (»' /» «), уйапле»варпют апфферспцппльваму урввнеппю аав ! ав — ф — — — !в=о. аг 2 аг (гиаат) Имеют места рл»латеппп (2!.8-28) Иа мпагплпрплатепапх уяабпавваялть [/т (» /'л) [» [К 0/'г)1, пгг / (! /»г) т ' »л т Я Пта[! Кт11»г/) Пгп СПЕЦПЛЛЬПЫЕ фУППЦЯП ВМССЮ ПЛН ахлаВРЕМСППа С ЬЕ» Х, Ьс! г.
Ьег г в Ье! л. Все зтп фуппцвв нействптельпм для даастпвтельпыл значений в. 1»л (! — /*2) = Ьегт г -». ( Ье1т г, [ Бт (! /'г)=Ьегт г+(Ье!т г, [ 1 Кт(! — '/*г)» йегтг щ 1йе[ г. чу М 1. ы р »1 (г»2)' (л/2Р г» г' (2!)' (4!)' ' ' 2Ч» 2*4*8'8* / 1 т» (г/2)' х' л' Ье! г ( — г) — —,+ ... — — — ч-,„, 'тй ) (З!)* "' 2» 2»48» — ' ' (2! . 8-35) (21.8-36) 21.8-8. ГЛ 2!. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.8-8. Сферические функции Бесселя. С(Рернческне функция Бесселя первого, второго, третьего н четвертого рода ;()=)à —," В(„, (), (2!.8-39) И ~=~7 $~ .,т лу(л/ (г) 2 л» (! агй г ! ( л), (21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
