Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 168
Текст из файла (страница 168)
21 д Биномийльные коэооициенты. многочлены Беи|улли 747 (Ш Некоторые свойства многочлен о ленов н чнсел Бернуллн, к а в(л> к В(а> [л> ," < >-,", [к>, )Вй [1>Е1- — >В["] [к]-В'л' < >', г,а- 1 й+1( «+! — й+! а е [ 1, 16> ,! Б<л> (л-1> л [л т <Ю= В, <Ю, Ь В[ >Ы>= |[т — Н...Р— а+Ой (й О, -|- 1, -|- 2.... ! т ) Л> (СМ.
Н, 26.4-1>е (21. >Ь ! 1] в <л> [к в !] вй <х>+ 4 в > <к>, в[ ">И> в<">+ йв р -!! (л] (л — ! <г!.з-ю] х+1 1 В<л>[1Щ- — ЬВ<">, Ы>-В[л '><к], ~В(л> <1],Ч В<л '>, (г>,ЫЗ> к вш] л — х - — ! йв<"> к ( — > (- > й (к> [лморела а долоенитееьно» аргумент >; [2|.а-ы] [л+ 1] — й (л х л / й ! (к, т — 1 В >тк= й ! (1>l ) й л вй х+— о (!> й + 1 соа глек (гие> ь е 1 со Йй+1 ('>=2( — и ~' [уй+1>! ъч — "" ~"- [гн„>а 41" Г 2!.5-3 Форму~~, саязыаа!ощне „„„, и.
21.5-! гочлены. й<нагачленее и числа Бернулли аизаны с факториальн[нмй~ ~в~грел ( .. - ) ло ерыленям х; зги связи используются прн решении разностнмх ураниеннй н, и частности, прн суммировании рядов (п. 4.8-5, 8). х " = („) л! = х (к — ц ... (к — л+ ц = В[а+ '] (х + ц = <л> к Х (й †!!)В[а> хй (л = О, 1, 2, ...), (21.5-17) й-о к к ~ — ца — 2) ...а — йг+цб;=~а — ц("-'! а 1 =,—, '(Вг~"> (к) — В[ег']~ (с=1, 2, ...).
(21.5-18) 21.6.4. ПРнбллменные ФоРмУхы Ллн (л ) [см, тенже и. 21. 4-2> Есле Н вЂ” наложим тельное нелое весло н х — — — л С и — е ()-„—. н, гмь| е ' 1-* гм+! е е !+а — ф.. [гьв!2> у глй У гнн -* ") ю.в.к 746 21,6-1. ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Если л щ ЕЕ, то где ае у 4ю' — г,ю — и, <Ш.б-а> (21,6-9) (21.6-16) и -и— 1) ( )ш — е (0<а< — /. л (2! 5-2Н) При больших анзченияэ Ас, л и А' — л применяется формула Сткрлннгз (21.4-1!!.
21.6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ФУНКЦИИ 21.6-1. Эллиптические функции," общие свойства. Функция ь=((г) комп- лексной переменной г называется вллнптической функцией, если: 1. [(г) является двоякоперноднческой функцией с двумя конечными прнмитивиымн пернодамн (паименьшими периодами) ь, и шю отношение которых не есть действительное число э), т. е. [ (г + ть, + ль ) = [ (г) (т, л = О, ж 1, -1- 2, ...; ! п) ( ю — ') ф О) . (21 6- !) Точки г плоскости, отличающиеся друг от друга иа период, наш)- ваются коигруэнтиыми.
2. Единственные особенности [(г) в конечной части плоское!и суть полюсы (см, также пп. 7.6-7 — 7.6-9). Дпоякопериодическая функция повторяетзначения, принимаемые ею в парал- лелограмме периодов, определенном точками О, ьы ью ю,+ьт, причем лне стороны, соединяющие три последние тоцки, нужно исключить как принадле- жащие смежному параллелограмму. Порядком эллиптической функции .асы. вается число полюсов в параллелограмме периодов, причем каждый полюс считается столько раз, какова его кратность. Двоякопсриодическая функция, ке имеющая полюсов в параллелограмме пери- одов (целая двоякопериодическая функции), есть постоянная, Сумма вычетов двояколсриодичсской функции в ее поляках в параллелограмме периодов ривка нулю; отсюда следует, что простейшая нетривиальная эллиптическая фушшия имеет порядок 2.
Эллиптическая функция [(г) порядка г принимает каждое значение ь в точности г раз в каждом параллелограмме периодов, соли зто значение считать столько раэ, какова кратноппь кор я уравнения [ (г) — ю=О. Разность между суммой всех нулей и суммой всех полюсов функции Е (г), рас- положенных в параллелограмме периодов, равна некоторому ее периоду. Эллиптические функции обычно встречаются е связи с интегралами или дифферен- циальными уравнениями, содержащими квадратные корни из мнсгочэенов третьса или четвергов степеней (например, при вычислении длины дуги эллипсе, при решении урав- нения колебания маятника; см.
также пп, 4.6-7 и 21.6-4.] йллилспнческигсррикции вгоеоинн ожсо и ноомалэнмг ээлилюнческиг иншггрслм эбстемтси иэ нвэснсэслфвйклио с иээ сжнмли осебениэсжлли и просты длл шгсрпни !эскил иссмеоэакий <пп 21 6-2, 21.6-5 и 21,6-5 Ы. Для численных расчетов предпочтительнее эллиптические функции Якоби (и, 21.6.7), которые могут рассматриваться кап обобщение тригонометрическая функций; нэвиолэкэи эллиптические иншэгролм ?елсолдрс, тесно связанные с обратными функциями Якоба также подробно табулнроввны спп 21.6-5 и 2!.5-6).
21,6-2. У>-функция Вейерштрасса. (а) [з (г) =[2 (г ! Фи ьт) есть четная эллиптическая функшия порядка 2 с периодами ьс, ьз и двукратными полюсами в точках г=ть,+ль (л, т = =О, 4 1, ж 2, ...). Функция [з(г) определяется как [з (г) = [з (г [ ьы ь ) = —, + ~ ~,, ) = [о ( — г) ж, л чл+ лз ч'.:-О 1'ш( ж)>61. (21.6-л> *) Следует иметь в виду, что во многик руксводстваэ периоды обозвачаютсн 'черве 2м, и эыэ, 2!.6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ 749 ) ммирование распространяется по всем целым значениям тельным, а пням т и л положианачений ел н л.
Ф н , отрицательным и нулевым), за исключением однов еме сменных нулевых н л. Функция ю=[З(г) удовлетворяет дифференциальному урав- ( .)! =4шэ— аш кэ ) = (шэ — й,ь — 26=4 (ь — еП (ь — ез) (ю — е,), (21.6-3) с!=[о(~гш), ез=-[э(юс, ы*), [э(ээ*) 1+ т+ а= 61сз+с<ез+езсз — — — 4 уз* е,еасз= — Я, (21.6.6) 4 ЯЗ' ПаРаметРы Яю Яз опРеДелЯют постоЯнные ью ь„свазанные с кажДой [э фУикцией, и называются ннварнаитамн [э(г)=[з(г)о>1, ьт)= г;, ", з что при любом ! ~О [г(12[!Ь„ЕЬэ)=1 ' [З(г',Ь<, ЬД, [З(12 Е-Эйз Е-Эйэ)=Е-Э [О(г! дз, йз) (2!.6-6) Точки ь=е, с, е и ь =со есть точки разветвления обратной для [о (г! оэс, ьы ф)'иннин (нормальный эллиптический интеграл Вейер!итрасса первого рода), Заметим следующие разложения в ряды. -и .Р ч о»г' '!о<! г! <пнп(', ю), )юэ ° ), а=г з о* З <г».„!> (сзл»-з+ лао» з+- +еа-тоз)! и э!гареме слежение р л+в>- — р л> — у<в>+ — '[у 'л' 4 Р <Л) — Р <В> (Ь) Каждаи эллиптичсскаа фУнкЦиЯ Е'(г) с лсРиодами ьс, ьз люжет быть предо!лавлена как рациональная функция от [о (21 ьс, ьз) и [о' (21 ьс, ьз).
Более тоцио, Е(г) может быть записана в виде Е(г) = ЕЕ! [[о (г)[ + [з'(г) ЕЕз [[з (г)), (21 6-! !) где )71 и Кэ — рациональные функции; [з'(г) — нечетная эллиптическая нкция порядка 3. с л'унк- зьк эллиптические Функции и интегрллы 2!.З-З. ГЛ. 2!. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.6-3. (г и а-функции Вейерштрасса. (и) ь- и а-функции Вейерштрасса не являются эллиптическими функциями, однако могут быть использованы для построения эллиптических функций с заданными особенностями.
По определению Ь(г)=Ь(г)ь], ь,) = =-',+ ~ ((,' + ' + *„,1 1( г), [4 — тнз — нн, тн, + нн, !тн, + ан,), т и тз+азЬЕ а(г) о(з(ьп ь,)= тз-]- аэ)ЕО (2! .6-12) [(щ® ~О| где сумма н произведение распространяются по всем целым (положительзым, иым н нулевым) значениям ]и и п, за исключением одновременных нулевых значений т и л. 5 (г) имеет простые полюсы и а(г) имеет просты: нули в точках г=гль)+пь„и Г (г) -)з(г) — „, 1(г) (2! .6-1)) Формулы (8) и (13) позволяют получить разложения функций Ь(г) и а (г) в ряды Лорана в окрестности точки г О.
Ь)тмегим, что ]Я СН-! " 44 Ю 4 — 4 4 ~,,4 рма сааз! (21.6-14) Теорема сложения для Ь-функции (21.6-15) Если ввести обозначения*) 2Ь(ь /2) =])„2г (ь 12) = )И, то т) ь, — т)зса] = 2п) н 1,(2+ты!+льз)=Ь (г)+т])з+пг)4 (т, п=б, -4- 1, -4- 2,,), а(г+ть,+ льз) (21.6-16) =( — 1)т+а+та 4)(г)ехр [(т]],+и]) ) ~г+ "'+" ']/1 (Ь) 44 Если эллиптическая функция /(г) имеет в параллелограмме периодов только простые полюсы ЬА с вычетами АА (2=1, 2, ..., г), то Г / (г)» ~ ', Ал ь (г — Ье) -1- С. (21.6-17 а) А = ! Если эллиптическая функция /(г) имеет в параллелограмме периодов нули аь и полккы А ( = юсы Ь ]Ф=!, 2, ..., г), каждый из которых пишется столько раз, какова его кратность, то а(з — ада(4 — ай ...
а(з — а) (21.6-17 Ь) / (г) Са (г — Ьз) а (г — Э ),. а (4 - Ь )' ") если пернели аеазазчевм через 2н, н 2Н, ]си, сиаснт нз сгр, 74з), та аалагз Шр 5]нд Ч =5П 4). где Ь* л~л аь- ~~~~ Ьь — полюс функции /(г), конгруэвтиый полюсу Ьг М. 1 аь— ь= ! А=2 21.6.4. Эллиптические интегралы (см. также п. 4,6.7).
Ф „„„„ 2 Р (г) = )г / (г) 4(г (2!.6.18) а эллиптическим интегралом, если /(г) есть ра „„ от г н квадратного корня г' 6 РО из миогочлена 6(г)=асгз+азгз+а,гз+а,с+аз=а,(г — а ) (г — ая) (г — аз) (г — а ), (21.6-!9) не имеющего кратных корней; сюда включается случай многочлена третьей степени 6(г) =64 (г), который рассматривается как миогочлен четвертой степени 6(г)=6,(г) прн условии, что сс,=со и а,=б так, что формально аэ (г — аз) = а!.
В формуле (18) считается, что нижний предел интегрирования а не совпадает ни с одины корнем многочлена 6(г). Каждый эллиптический интеграл есть многозначиая функция от г; разин)е пути интегрирования производят бесчисленное множество значении фуикНии. Точки г= а„ г=ссз, г=аэ, а=аз являются тачками разаэтэленил. Соединяя а,, а й и, ач двумя соответствующим образом определеииымп разрезами, можно получить сввзиую римаиову поверхность (п. 7.4-3). подобную поверхности тора.
21.6-5. Приведение эллиптических интегралов. Следующие действия приводят каждый эллиптический интеграл к сумме элементарных функций н трех так называемых нормальных эллиптических интегралов (см. также (21.2), (21.31; в (21.3) содержится очень подробная таблица явных формул, выражающих эллиптические интегралы через нормальные эллиптические интегралы). (а) А л г е б р а и ч е с к о е п р и в е д е н и е, Заметим, что четные степени 516(г) есть многочлены от г, и запишем /(г) 4 ОЛ+ )4 М))~б )4] (Р -)-Р )сб)(Р Рз )4]+ Р !4) Т'б И) ! ( ) + ° '21. 6-20) где Р) (г) — миогочлены, а )7! (2) н )74 (г) — рациональные функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
