Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 171
Текст из файла (страница 171)
ному уравиеивю <двфферсвчиакьввмв ираввсвию лсжавэра) и рекурревтвым барвулав для вйогачаевав Лежак ра (табл 21.7-1) удовлетворяют ве толька миагачкевы Лежааврв ервагв рада Р (г) <тааа. 21.7-11, иа также и фувкции Лвжаввра втарша рода О <гп для к =к и — ! <к<1 ави раввы 0 <к> = †. !и †', О, (к> = ..' !и ' Ф к — 1, 1+к 2 1 — к' 2 1 — к !+к 3 0 (к) = . (Зк' — 1) <а — — — к, 1 — к 2 Палев абща, метод и.
О.В-В, Ь позволяет получить ливеава независимые решении Р (к), Оа (г> ЛиффеРеиЦиальиага УРаввеииа ЛежанДРа (фавкчии Лежавэва взРвага и втоРого рв )л. да) л» иецеаых палажвтельвых и атрицательиых, а также для «амалвксвых значения а =а; решения для я =а и а = — а — 1 тажлествеви 21,7.4. Миагвчлевы Чебышева вераага и второго Рода. Двфферевззиааз наму урав. вению в рекурревтвым формулам лля мвагачлевав Чебышева (таба 21 7-1) уповает.
воряют ие талька мивгачаевы Чебышева аервагв рода (табл, 21.7-1) Т (к) =сов (вагссазк) (а=о, 1, 2... ), (2!.7-2) я ау„ Функции С3 <к) ие являются миагочаенами ат к; функции — — в~~- есть члевы; ик абмчиа яазывазот мввгачлеиами Чебышеве втврвга рода. Отметим Т (к) = — — — Ц (к) (в =О, 3, 2„...), в Лк (к> )(7 <к) ! О арв и:>'.т иав я =аз= О, ! 1 я гл )г! тз 1п>2 ари и = т фо. — ! Й= З ю ж ы ш— а а з п а и и М в и з ы и О в. о ш и 3 ш Д зз. О 77! 21ГН4 Ы 7-4.
770 Е 4. к !' 4- х О Б Ю О' „ ха к о о О » о 3 х 4 Ю х О. О1 л х о х о о х х .о Е о. Ф- х к Э ха х КЪ 4 О1 4К ! Н ь1.» к' О х а о а к 4 х о е х О х у Оа 26* ГЛ. 21, СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКШ!!! и »Ф О, а !4 Йе х х х к Е х 14 \ о о 4 $ о х О х х 21.7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛТНОГОЧЛЕНЫ »1 с:4 4» ! О О. $ л х о о ъ Ы.ТОН И,г-г. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 772 Е а с Е Е О к 8 Щ! О ! о А + о + г о О О О Ь 3 о О ! Й ! О" О Е м Р~1 о О Н Н О О и + ч ° г 8ЯН Н + Н а О Н н 1 О Ф у о а Х а О ГЛ 11. СПЕПИАЛЬНЫЕ ФУНК!!ИИ Е,о О й з й а с'.
Е 5 О О о г О а Е э С-' а л О й о а о О о О й, О ! 1 З о а О и О а е м Е О ! Ы .7-8. ил-з. ГЛ 2!. СНЕ<И(АЛЬНЫЕ ФУНК11ИИ 21.7. ОРТОГОНАЛЫ!ЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ Т а б л н ц в 21.7.2 Первые ортогональиые многочлены (см. также табл. 20.6-1) (Р, (х) = Еа (х) = Н, (х) = 1) (а) Мнввечлекы Лснандзв Р (х> Р, (х> =. 1 г, Н>= —,<Зх — Н 2 ! )', <х) = †, <ь в — Зх> 2 3 ОЗ вЂ” <Ззх — ЗОхв + З> 8 ! г Ьп = — <Сгхв — ?СХ» Ф жз> Р, (х) = —.
(23<а' — 3(зх' + <обхв — Ы ! (б РНЮ (429х' — агах -(- 33 за" — Збх) 1 >б (Ь) Мнегсчленм Чебыюева см. в табл, 20,0-1. (с) 81негвчлены Лагеуоа Ел <л) — х+ 1 х' — 4х + 2 — х' -(. 9х' — Ых + б х — К,. 72х — М>х + 24 — хв 4. 23хв — 200хв + бббхв — боох + 120 хв Жхв !. 4пжв 2400хз + 3400х 4320х + 720 — х + (ох — звгхв + )ЗЬОх — Ы<оех + ЬЮОх — Зьззьх + ЬО(О (б) Мнегвчлены Эрмнта Н Н, (х) = Нв (х) = Н, <х) = Нв (х) Нв (х> = Н,(х)= Н, (х) = (ю 2х (кв — 2 бхв <бз — 4Ьхз+ Ю 32лв — <бох' + 320х Ых — ЫО +720хв — 120 173хв — 1344хв + Ыбох' — 1бзол 21.7-6. Обобщенные многочлены н присоединенные функции Лагерра (см.
также пп. 9.3-10 и 10.4-6). (в) Обобщенные многочлены Лагерра степени и — й н порядка й кь ЕЛ(х)=--лЕл(х)=( — 1)зл! ~й)Р(й — и; й-(-1; х) (21,76) л — Л л (л=1,2,...; 8=0,1,2,...,п), где р (й — л; 8+1; х) — вырогкденная гипергеометрическая функция, удовлетворяют дифференциальному уравнению ';„.+(й+1 — х)"-,й+( -й) =О (21.7. 7) Е, (х) = Е, (х) = Га <х) = ев ы) = ев ы) = !.
(х) = Е,(в)= х'= —,- <<бр,+ю +182Р„+1(3 О 420 х = — <(бр,+72Р,+ НОР,+ЬЗР,> 1 23! хв = —, (8Рв + 28Р в + 2?РД 1 Ы х'= — (зр, + 20Р +7Р ) ! Зь з ха= — <зр, фю,> ь 1 хв = —, (зрв + Р ! дла целых значенай леч 1, 2, ... в 2=0, 1, 2, ..., л. Уравнение (?) приводится к дифференциальному уравнению для многочленон Лагерра (табл.
2!.7-!) при А=О. Производящая функция для обобщенных многочленов Лагерра зх ( — з',) — ', = 'й! ЕЕ(х)'— „, (А=О, 1, 2, ...). (2176) а=о Условия ортогональносги и нормировки (2!.?-9) о 4((6) Обобщенные многочлены Лагерра Е(е) (х) обычно определяются с помощью обобщенной формулы Родрига бл Е(ц) (х) = схх "— (в ххл+н). хх~ ,>Л Если а=й — целое число, то Е<Л) (х) = ( ) ЕЛ (х), где ЕЛ (х) — мнол (л< а! и+Л вч гочлеиы, определенные формулой (6). (Часто Е(ц) (х) называют просто много- членами Лагерра и обозначают Ео (х).) Многочлены Е„(х) удовлетворяют дифференциальном) уравнению (ц) б \в Фв х---+(а+1 — х) — +ам=О, йхв бх имеют явное выражение ж=о <л) Ы Хх 2в [(л+ ()3!в ~ .
(. ° .-'" " с(<л х х о (2 3,7-31) (см. также ц. 10.4-0), — «в(2 217 4 Функднн ЭРмнта ФУннцзв ф (х)=в Н (х> (а=о 1 2 ) обычно л называемые Функцкамн эрмвта, удовлетворнит днфаеренцнзльному уравневвю — в-+(2ч+1 — х)м=о (л=о, 3, 2...,) (21. 1-12) а условию ф„(х) фж(х) ах= 2"л! У'и б Ы(,7-13) х— в и производящую функцию ,)оы ' При а) — 1 миогочлены Е(к) (х) ортогоиальны на интервале (О, со) с весом 7 (х) = е Ххц; они нормированы: ) с "хи ~ Е(Ц) (х)]~ <(х = л! Г (л + а + 1).
(б о <с) Функцнв ф„((х) х(в «72Е„~~ (х) (л = 1, 2...,; ( = Ов 1, 2, ..., л — 1), которые часто назызаютса прнсведвненнымн Фунвцкамн Лаверрз, удовлетвернквг двфферен цкальнему урзвненнм Лвм Хы < х ((( 3 1)1 Х вЂ”, + 2 — + (л — — — ) м 0 (л = 1, 2..., ! ( = О, 1, 2, „., т — 1> <2!.1-<Ю н условию 776 ил-т. 21.2-1. ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 777 21.9.
ЦИЛИНЛРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 2! .7-7. Некоторые внтегральные формулы. (21. 7-14) (21.7->5) ~ х"е «[ь,",(к)] ях=( я>(г О (21.7.17> (21.7-21) (21.8.4) (2!.7-22) (21.8.6) и ) <СОЕЕ> — г!(СОВЕ+!МПЕСОЕ»пт (Л=О, 1, 2...,> г л и О (интеграл Лапласах (р — »л р <х> ф т <л=а,>,2,...> 2и! 2л (! — х) "~! \анжгглаг Шлгфги), контур нвтегрнрованкя в формуле (>б) окружает точку х = ю ю !' и (х> = 1 2 ( (х Уг + и)"г 2 н (л = О. 1, 2, ...>; <2>.т.!б> л !г (л,)' (л»' «а+!г х 11.2 (к>! ле = ' (2л — а+». "1 ° 1 О ха+як-к [> а (к)] ах = — '(ба' — ела+ йг+ ба — Зй + 2) чг (л»* [л ! <л — М> О (л = !. 2, ...: й О.
1. 2, ... ~ в — »! — ' на <к> и ( > я =2" ~л! Уйбл, 1+2"(л+»> Уй ел,ют <ш.т-(в> 21.7-2. Мпогочлены Якобн н Гегенбауэра. (а) многочлемы якоба (гвпергеометрвческле многочлены) есть спецпальный случай гапергеометрнческих фупкцнй +л-1 а-у+л Ф (х) =Р(- л. а+и; у: «) = — [хт <(-.ч> [ <Ш.г-ю> <у+» ... (у+ — > я.ч" (а, 9.2-9); овв улеелетворяюг условиям ортогопальаоств ° ) 1 (.д"'(! — к>а уф <х> ф (л> лх О Г <у> Г (а — у+» (а — у+ 1> (а — у+ 2> ... <а — у+ л> л! Г (а) а (а -!. » ... (а -(- л — » у (у+» ... (у+ и — 1) а+2л л~ю (Не у) О; це (а — у) ) — 1).
(21. 7-29) (Ь) Фупаппв С (х>= а Г(а+ее) Г . 1, 1 — Х( Я 1'(л+»Г(2а) Ч ' ' 2 ' 2 Р (л + 2а, — л; а + —;— навмваютсв многочленами ГегенбаУэРа (УльтРасфеРвческвмн). Оап пРеДстаелают обобще- пне многочленов ЛежвндРа (табл. 21.7-», к котоРым в пРввоДЯтсв пРв а = г/г. Мвого- члеяы Гегенбауэра удовлетворнют дпффереицнальпому уравяевню (х' — » —; + (2а +» х — — я (л + га) ю О лье яю ях* йх ') Многочлевы, определенные формулой (21.7-19), ортоговальны па нктервале [О, Н. Чаще рассматрпваютсв многочлены Якоба, ар!атональные ва интервале [-1, П; сднл своаятсв к другим эамепой переменной.
н условиям ортогональностн 1 1,— (1 — х'>а г Са(х>Са (х> ик= ( + ) б Л т " " 2аа-1(а+л) л! [Р(ан» л ж (2 .7-23> Многочлены Гегенбауэра могут быть получены как коэффпцяеяты рааложеная в степен. ной ряд пронэводящей функции Н вЂ” ггх + г > а = ~„ 'С~ (х> вл, И >.т.ге> « = О 21 8 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА И СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ 21.8-1.
Функции Бесселя и другие цилиндрические функцив. (а) Цилиндрическая функция (круговая цилиндрическая функция) порядка т есть решение ш=3ю (г) линейного дифференциального уравнения Лгм 1 Лм Г лр' —, + — — + (! — Г) ю = О (дифференциальное уравнение Бесселя), (21.8-[] где т — действительное число; цилиндрические функции Еж(г) удовлетворяют рекуррентным соотношениям 2т 3 „И) = —,7„(г) — 3„,(г)- —,2 (г) — —,3 (г) — г —,[г ю2 (г)[! (21.8-2) т л к при т 0 получим 21(г)= — 3;(2).
Функции еахех!юрою(Кр) суть решения уравнения Лапласа в цнлнндрмческнх координатах р, !р, г (цилиндрические гармоники, и. 10.4-3, Ь). Цнлнндрмческне функции нецелого порядка многозначны (и. 9.3-5, Ь); нх главная ветвь определяется условием )агй2[(и (разрез от 2=0 до г= — со; и. 7.4-2), (Ь) Наиболее часто встречаются следующие цилиндрические функции порядка т: (»й -()=(2) Х й!Г(.+»й+»(2)ве ([-8 [~.) а О (функции бесселя первого рода); (21.8-3) )У (г) —,~лт [7 (г)ссвтп — г (г)[ (т-ь0, .г1, -1-2...,), ! 1 А>ж (2) = (-!)" А[ „ (2) = -„' ую (г) (!п-* + С)— —;(!Г,Е...;;',.„(!Г[Б !. Б !]- т-1 а=о (т=О, 1, 2, ...; [ агй г [ < и) (функции Бесселя второго рода млм функции Неймана), 7[гл (г) lю (2) +! >у!л (г) Нщ (г) Ут (2) ! >()ю (г) (функции Ганхсля ляреосо и второго рода).
гл 1!. Сне<!Илльные Функции 21. Ч-2. 778 2 1. З-<. 2!.З НИЛИНДРнч!ЕСКИЕ ФУНКИНН Вропснианы (п. 9.3-2) указанных систем равны В формуле (4) последнюю сумму следует считать раоной нулю, если т=о; С вЂ” постоянная Эйлера — Маскеронн (21.4-6). Важно отметить, что кажаая функция Неймана имеет особенность в начале координат'). На рис. 21.8.! показаны графики функций Бесселя и Неймана (т=б, 1) для г=х и О. )р (") (г) Л) (г)) = — 2 —, уг' (Н„1' (г), Н, ( ц ( )т (г),,7 т (г)1 =— Нервна два вронскиана не зависят от т. Отметим, „„ 2 1 ж (")+ щ (г)), Л!!и(г) =.— (Н о (г) Ни (гЦ (о1 8 9) 1 — =2-1" "Н "()+Е ™Не (г)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
