Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 174
Текст из файла (страница 174)
т) Рт(совб,)Р (с(мбз)созт(98 — 1р,) ()+ты ! ' ! т=! (тсоргми сложения для миосочленоя Лежандра). 21.9. СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ И СИМВОЛИЧЕСКИЕ ИМПУЛЬСНЫЕ ФУНКЦИИ 21.9-1, Ступенчатые функции (см. также пп. 4.6.!7, с, 18.3-1 и 20.4-6). (а) Ступенчатой функцией действительной переменной х называется функция, которая изменяет свои значения только в дискретной последовательности точек разрыва (необходимо первого рода, п. 4А-7, Ь). Значения функции в точках разрыва могут быть как определены, так и не определены. Наиболее часто применяются ступенчатые функции ') 0 пря х<0, 1/з при х =О, (симмстричнпя единичная функция), 1 при х~О 0 при х<0, ' (асимметричные единичные функции) 1п их)0, 0 при х~О, 1 прн х>0 (см.
также рис. 21.9-1). ') встсив озс С аб ~ячсииа рэзличиык сдивичиык фуявциа ис является общспрввятоа) постону исабхалиыв асторажиасть при вальзовзиии рвзиыии ис о с г чвиивыи. ига ст~пенчлтые н импульсные функ!(ии Заметим, что ()(Π— 0)=О, (7(О+О) ! (21.9-2) Пк о)(с — 6))=(/(х — так(а, 6))+() [т)п(и, 6)-х). (21.9-8) Каждая ступенчатая функция может быть представлена (за исключением, возможно, ее значений в точках разрыва х=х„) кзк сумма вида ~ пл () (х — х(), ~ ая (! (х — хя) или ~ из (уч (х — хя).
я л л (П р и не р ы: зйп с=2()(х) — 1; функции скачков в и. 2Х4 5) лу Рис 21 9! Еливвчиыс ступсвчвтыв функции (Г (к) и (Гк (к) и вппроксиызции ичпульс иык функций 6 (к] 6(.(х) О' (к) и 6! (к) (Ь) Аппроксимация ступенчатых функций ными функциями (7(х) = 1!т ! — + — агс!й ах~, ! ! а са (7 (х) = !!т — (ег1 (ах)+1), а со () (х) = )пп 2 " ", З!.В-З. 792 ы.в-в. гл. ш. специлльные функции 793 (2!.9-3) (21,9-9) 6(а-х) 6(х-Ь) дх=б(а-Ь), (21.9-14) 6(,)=О ( .
—О), $ 614) В=!1 (21.9-! Ос) ) См. сноску на стр, 792, (с) П р е д с т а в л е н и я и и т е г р а л о м Ф у р ь е (см, также и. 4.11-6). 1 [ е ьве Комплексный контурный интеграл — — [ — дю соответственно равен (7 (Г) Зпе е сэ или — У( — Г) в вависимости от того, огибает лн контур интегрирования начало координат против часовой стрелки (т. е. по полуокружности, расположенной в нижней полуплосности) нли по часовой стрелке (по полуокружности в верхней полуплоскостн).
Главное значение интеграла по Коши (о. 4.6.2, Ь) равно У(Г) — 17. Отделяя действительную и мнимую части, по- лучим зп 1 ю Отметим также формулу 21.9-2. Символическая дельта-функция Дирака '). (а) Симметричная елмннчнан импульсная функция или функция Днрака 6 (х) действительной переменной х определяется условием в ~[(6) 6| — Х) Ц= о (О прн Х«Са или Хд. Ь, 1 — 1(в[(Х) при Х= а или Х Ь, (а(Ь), (21.9.10а) [(Х) при а.Х.Ь где [(х) — произвольная функция, непрерывная в точке х=Х. Более общее определение функции о(х): б ) 1!в) 6 гв — Х) в= о 0 при Х(а или Х>Ь, 17 [(Х+О) при Х=а, (а ( Ь), (21.9-!ОЬ) = »Д[(Х вЂ” О) при Х=Ь, 1/в [[(Х вЂ” 0)+[(Х+О)] при а ( Х ( Ь где [(х) — произвольная функция ограниченной вариации в окрестности точки х=Х. 6(х) не является функцией в обычном смысле; из определения (10) следуют несовместимые условия 6 (х) есть символическая (обобщенная) функция, позволяющая формально представить функциональное преобразование [14) — [(х) как интегральное преоб.
разование (п. 15.3-1, а). Формальное применение 6(х) приводит к удобным обозначениям, подсказывающим обобщения многих математических соотношений (см. также пп. 8.5-1, а, 15.5-1 и 18.3-!). Хотя функций, обладающих в точ- е) В вастовщсе время твровос равввтвс получала теорвв обобщелчмх фвлкчп . вграющав ва эу о щав важэую поль прв ваучсэвэ авффарсвапальэмх урэвпсвэб матэмэсэчсскоа фламкй б-фупэпэв )!врака может рассматрмвасься как оапэ вэ прэмсров обобщсв пык фупкцва.
По етому поводу смч например, [1З.б). рая ступенчлтые и импульсные функции ти свойствами (10), не существует, возможно в некотором смыс е р с вать 6(х) как пределы обычных функций (п. 21,9-4). Математические предложения, в которых применяются импулосны ф ции, у т россматривтпо как ввристичккиг и нуждающиеся в строгих след в обоснованиях.
Можно избежать применения импульсных функций, вводя интегралы Стнлтьеса (и. 4.6-17); тогда б в ~[(ч) ба — Х) ~=~(ей(7(6 — Х). л о Прн этом возможно ввести обобщенна понятий «функции» и «дифференциала» (тсорил распределений Лорана Шварца) *) (Ь) Формальные соотношения, содержащие б (х).
6 (ах) = -' 6 (х) (а ) 0), 6 ( — х) = 6 (х), (21.9-11) [(х) 6 (х-а) = — „, [[(а — 0)+1(а+0)[ б (х — а), х 6 (х) =О, (21,9-!2) 1 6(х'-аа) = — [6(х — а)-[-6(х-1-а)[ (а) 0), в 1 1 (21.9-13) 21. -. 11рсмеммщиые стуненчатых н импульсивен [ й и. 8.5-1). Формулы (!О) приводят к соотношению (а) 0) с [6(( — а)[=~ 6(1 — а)в еесЫ в "е=вЯ[У(! — а)[, откуда следует символическое равенство 6 (х) = — „"„(7 (х) (21.9-15) (зто равенство формально можно получить также из формулы (19) н. 2!.9-4, Ь), Производные 6' (х), б" (х), „. импульсной функции 6 (х) определяются условиями Ь ) 7 14) 6' ' гв — х) с»в= и при Х~а илн Х)Ь, Π— !) ' ' Х+0) прн х=а, 1(э( — 1)'Д (Х вЂ” О) прн х=Ь, (а~Ь), 1/а( — 1)' [Де' (Х вЂ” О)+Де'(Хц-О)[ прн а < Х <Ь (21.9-16) где 7' (х)- произвольная функция такая, что односторонние пределы Дг' (Х вЂ” 0) и Дю (Х+0) существуют.
Функции 6'е' (с — Х) есть ядра линейных интегральных преобразований (п. !5.2-1), представляющих повторные дифференцирования. Отметим символическое соотношение б~п(х) — ( 1)гИ 11 (1 — О, 1, 2,, ) (219„!7) гл. ы. спнцийльнып функции 21.9-4. Аппроксимация импульсных функций (см. также рис. 21.9-1). (а) Аппроксииация 6(х) непрерывно дифференцируе.
мы и и ф у н'к ц и я м и. Возможно аппроксимировать 6(х) непрерывно дпфференцируемыми функциямн 6(х, а)= „„... при а-оз, (21.9-180) 6 (х, сс) = — и= е п«х при а со, (2!.9-186) >»л« б(х, а)= п- — '"пх при со (2!.9- 18с) л пх в том сиысле, что >оп б (х, а) =0 (х р'= 0) и п оз 1(х) б (х — р а) с(с= — () (х — 0)+) (х+О)) и оз прн условии, что 1(х — 0) и ) (х+0) существуют; заметим еще, что 1пп ) б (9, а) сге = 1. П со интегрирование аппрокснмнрующнз фуииций (19> приводит к соответствующим аппроксимациям сгупсичатмх функций (формулм (4> и ( ».
ю [б (х — о, пп (е) 0> сходится к е ог = ж [б (х — ед прн н со длн каждой функции (!6> (см. раздел 9.9>. (Ь) Аппроксимация 6(х) разрывными функциями. 6(х) часто аппрокснмируется центральной конечной разностью (п. 20.4-3) б (х й) = У (Х + й> У 'Х "' при й (21.9-19) 2Л Отметим также, что щ.9. Ст>'ПГН«!йтЫИ И ИМП>ЛЬСНЫГ ОЬП>КЬО>и 795 2! 9.5. Й.е ста е р д нл иня китегралом Фурье.
Отметим формальные соопюшения 6 (х — Х) = - — ~ е !" Хе!юх с(10 бт! (х Х) ) (сю)'е — 'юхе'ю'с(ю 1 2л (21.9-26) — (6 [х — Х)+б (х+Х)) — ~ соз юХ созюх йо. о (21.9-27) ) (Р) 6('> (еч Х),Щ ( пРн Х ( а о+о + ( — 1)')'»' (Х+0) прн а =.- Х ы. Ь Можно записать (а С Ь; г = 1, 2, . ). 61 (х> = 26 (х> У (х> = — — У« (х>. лх (2!.9-29) (21 9-20> рующпе фупнц . 21.9-4 Чтобы получить аппроксимирующие ьуик нв а б х, ии п, . - в соогиоюснпн (30>, иапрпмер, ф ц дл +(х>, нужно подставить иппрокскмн.
У(х> — и(х-й> »(х, 0= й прн й О, Р>.оац 9 6 ~сны 'рн п>ые импульсные фуницнн (см. также пп. 8,6-1 и 9 4.8) (а) Асимметричные импульсмые функции б (х), 6' () 6(»> ляются соотношениями +,, х, ...,,. х) опредеь 1 )(6,6 Х),ра )'О при Х(а и Х-Ь ) 1 ((Х+О) прн а =Х(6 (2!.9-28) !Уп — ~ !(8) ( 6> с(2 — — (((Х вЂ” 0)+г(Х+0)) ( — а>аХ <со) ю оз (интегральная формула Дирихле) (2 1.9-20) и-1 — О зл ( — л ( Х ( л), (21.9-21) если 7(х) — функция ограниченной вариации в окрестности точки Х=Х (сн. также п, 4.11-6).
(с) А впрок сии аци я функ ци й б'(х), б" (х), ..., 6"1(х). Последовательное дифференцирование формулы (1ба) приводит к аппроксимирующим функциям л (Ы*х'->-1>' при а со, (21.9-22) , „в!п ~(»+ 1> агс12 — 1 61 бсо(х, 8)=( при () со (г=О, 1, 2, ...). (21.9-23) л (к*+6«>(»+ !>>2 Заметим также, что б'(х й)чн У(х+й> 2 ('>4 У(" — й> прн й О. (21.92 (х, Л) = йз 4 У (х> — 2 У (х — й/2> .(- У (х й* при й о.
6) (х, й> (Ш Л-22> еу = УУ (хг, хз, ..., х") — )l ! 2 (,л хз л) ~ условию ( . 1 10-!0> л-ьюонан дельта-фУнкцив б (хз, 61! хз 62 . л бл) ((6',Ьз, .... 1к) 6(х', 11! хз, бз> >й !») ") (>П 9-ЗЗ> ю Х ) в >' где >(х! ха хл) неорермв что опрснслеиие б (хг 11 хз Ьт х" бл) зеелсит ет нмбе роо теряет снмсл, если Л>' =О. П частности, для прямоугольной деяартовой системы коодииат х, у, г имеем Лу = Лх Ху Хг и во системы кооре (х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
