Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 173
Текст из файла (страница 173)
8-44) А)л(г) ~ у— 2 и» (21.8-45) Вл (г) (21. 8-46) Рис. 21.8-8. Сферические фуикции Бессели. удовлетворяют дифференциальному уравнению — + — — — 1! — — ) ш=0 ечи 2 а г у<! ЬН и»» » ,(г ) »» (21 8-40) (см. также п. 10А.4, с) и рекурреитным формулам ~~9/ гуХ Вр В.г ьЮ Р7 (7 ш)+1(г)» ш)(г)-ш)-1(г)= — г е* (г Ле)(г)) (2! 8 40)- яцз.щ, 218 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 785 Для целых значений ! сферические функции Бесселя суть элементарные трансцендентные функция (см. также п. 21.8-1): Ми» ы~ (е!» ~в !е ! (г)= —, й, (г)= — —, й, (г)= — ' (21.
8-42) 1 и !»!и» )7 (г) = г! ( — — — — ) —, л! (г) =( — 1)!+1) (2). (21.8-43) » и»» Графики функций )((г) я лу(г) для г=х)0 показаны иа рис. 21.8-6 а) и б); иа рис. с) показана зависимость ))(х) и л)(х) от индекса ! при х = 10. 21.8-9. Асвмвтотнческие разложения цилиндрических функций н сферических функций Бесселя для больших значений ! г~ (см. также пп. 4.4-3, 4.8.6). Пря г сО Ал (г) ссл (г — — )— лл л Вл (г) зщ (г — — — д, 2 4 =) А»» (2) зш (г — — — ~)+ 2 4 +Вы(г) соз ~г — ~" — л)]4 где Аж (г) и Вл(г) имеют асимптотические разложения (<т» — 1) (<л» вЂ” 9) + Ы <8») ° +(4л» вЂ” 1) <<л» вЂ” 9) <4л» вЂ” гб) <<л» вЂ” 49) 41 (8»)» !(л' — Н (4»4* — 9) <<т — Ш) З! <8»)' Подставляя разложения (44) и (45) в формулы (5), получим соответствующие асимптотические разложения для В<1) (г) н В<2) (г).
Иэ разлажеинй (44) и (45) следует, что для /г/,"жш при г со лл л У (г)ллф/ Ссз~г " "), В<1)(г)~~/ Е ( 2 4/ А) (г) )/ - ( "'л л)»»(2)( ) )/ ( 2 4). lл рзж (г) )у — мп (г — — ) (и=0, 1, 2, . ), (21.8.47) 1 !+1 1 . /+1 (21,8-48) й ' (г) ~ 1 ( — 1)/41Е!», г й (г) ~ — В+»е 1*. I г 21.8-10. Присоединенные функции н многочлены Лежандра. (а) Присоединенные функция Лежандра степени ) н порядка ш есть реше. иня дифференциального уравнения е»л ел т* (' ") е»г-2' — »+() 0+1) — — 1,] ш=о, (21.8-49) Ш .В-(6.
786 ГЛ. 2!. ЕПЕПИАЛЪНЫЕ ФУНКПИИ 787 г" ч хе/ / х .» (ш,в-вы ! ы) Р (х) л.е = — 8. т т 2 (!'-!- ти ! г 2/+! (!' — т)! /г (21. 8-50) 1 ! (!'+ т)! О ~)Р (х)/ ! (/-(-тн эх=в 1 — х' 2»к (/ — т)! О (/=0,1,2»...; т=(,2...,0 (21.8-63) (21.8-6() г е и т — действительные нли комплексные числа; уравнение (49) прпводитси гд /' и к дифференциальному уравнению Лежандра (табл. 21.7-1 и 21.7-3) дли т=О. Общая теория првсоедииениых функций Лежандра содержится в (21.3]. Во многих важных приложениях (пп.
10.4.3, с и 21 8.12) / и )и — оейеаыииель. ные целые числа, а г=х — действительное число, заключенное лгежду — 1 и 1; Рис. 21„6.7. ПРхсоеДииеииме фтикпии ЛетаиДРа Р, !х), Ре (х), Рг и» <!» и! (х) положим х=с(но. Прн этих условиях уравиевию (49) удовлетворяют присоединенные функции Лежандра первого рода зт </ — т))т! Лх 2/Д Лх/ем =( — 1)!+т Рт ( — х) ( — 1»х» 1), / = О, 1, 2, ...; л)=0, 1, 2, ..., / (см. также п. 9.39), причем РО(х)=Р/(х) н Р/т (х)=0 для и)/. В частности, Р', (х) =У!-хе=ми 6, (21.8-51) Р/(х)=Э У ! — ха=а/,ив 20, (21.8-52) Р„' (х) = 3 (1 -хв) = а/а (1 — сов 26), ) Р', (х) '/, (5х' — Ц У1 — х' = '/, (в)п 6 + 5 В(п 36), Р , '(х) = 15х (1 — х ) = !а/а сов 6 (сов  — сов 30), (21.8 53) Р', (х)= 15 (1 †) У1 †!% (3 в(я  — в!п 30), Р' (х) = 1 ° 3 ° 5 ...
(2/ — 1) (1 — хв)'/2 = 1 ° 3 ° 5 ... (2/ — 1) мп/О (/ = О, 1, 2, „ .), (21.8-54) 2!.8-12. 21.8. ((ИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ где сов 0 х (см тагже п 21 8 12) Соответствующие графики показаны на рас. 21.8-7. (Ь) Присоединенные функции Лежандра, определенные формуламн (50), удовлетворяют следующим рекурреитным соотношениям ( — 1 Сх С 1)! (2/+ 1) х Р'," (х) — (/ — т+ 1) Рт 1 (х) — (/+ и) Р т, (х) = 0 (О т и» / — 1); (21.8. 55) (хх — 1) - — Р, [х) — (/' — т+ 1) Рт, (х) -!-(/+1) х Р~!' (х) = 0 (О сч и» /); (21.8-56) Рт (х) — 2(т-1-1) ' Рт+ (х)+[/(/+1) — и(т+1)) РР(х)= — 0 (О» и» /' — 2); (21,8-57) Рт 1 (х) — Рт 1 (х)=(2/+1) У! — хх Р(р (х) (О~и»/' — ЕЛ (2! 8 58) (/'+и) (/+т+1) Р',", (х) — (/ — т) (/ — т+1) Р'," 1 [х) = =(2/+1) 1' 1 — х»Р/ г (х) (О-=тс/ — 1). (21,8 59) (е) Асимптотическое поведеиие.
При/ о» Рт (сох 0) = ( — /)'и ~ —. сох !'+ — Π— -+ — +О (! /г) ! Шх!ив ! 2 В 2 <о с 0 с н). (ш.В-Во) 21.6-11. интегральные свойства присоединенных фгнкний ленамдра (ем, также п, 21.1:!). Р (х) ( !) . ~ (к+Ух» — 1 еоа !)!сох т! и о (! О, 1, 2, ...; и=о. 1, 2, ..., !) (пмтггригь кх Формул» Ггйчгп О с=о, !. 2....; т=о, 1, 2...И (21,8-62) 21.8.!2.
Сферические гармоники. Ортогоиальность (см. также пп. 10.4-3, с, 14.!0-7, Ь и 15.2-6). (а) Решения <р(г, В, В») уравнения Лапласа в сферических координатах (10.4-15) называются сферическими гармониками. Сферические поверхностные гармоники степени / суть решения дифференциального уравнения с частными производными дв*+С(20 да +хи»В дгрх +/(/+1) У=О, д*У дУ ! д'У полученного разделением переменвых в уравнении (10.4-15).
Если потребовать, чтобы решения были регулярны при 0»0»п, 0»ф»2н и удовлетворяли условию у/(О, гр-1-2п) =К/(В, В), то мы приходим к проблеме собственных 788 ш.зим гл. ш. специальные Функции 21. В-! Э, 21.В. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 789 ~//2!~-Ь)'/ т)' Рт (соэб)с!мт, 2м (/+ т)1 / Ф 2!+1(!. т) Рт (Вш 6) з(п тф 2м (!'+в!)! / (/=0,1,2,„,; т=0,1,2," /) (21.8.65) (21.8-68а) где (21,8-680) Р, (гт,бар) (21.
8-66) д х а) 0) (21. 8-67) (/ /,) ~ нф(/(О, !р)й(0, Ф) В!пб!(6 (21.8-69) удовлетвоярюще« значений (п. 15А.5), допускающей решения только нрн целых значениях /. Можно ие касаться отрицательных значений /, так как — / — ! и / дают одинаковые значения / (/+1).
Действительные собствеииые функции называются тессеральными сферическими гармониками степени / н порядка т; опн ~ериодичиы на поверхности сферы и меняют эиак вдоль узловых линия Ря*. 21,В-В. Узлы Функций Рза (соа В) з1в ВФ из развернутой поверхности сферы. Функ- ция трицателъяая в Заштрихованной части.
б=сопэ1 и Ф=сопз1 (рис. 21.8-8); на самих этих ливнях они раины нулю. При т=/ функции (65) называются секторнальнымн сферическими гармониками и прн т=Π— зональными сферическими гармониками. Обе функции (65) и более часто встречающиеся комплексные функции 2/+1(/ — (е(и/т(аа! ( ) /т(! 2 и (/+(т!)! / (/ О, 1, 2, ...; т=О, .а- 1, ч- 2, ..., -е )) образуют ортонормироваиную последовательность собственных функций в смысле скалярного произведення (и. 15.4-6,Ь). (/, 6) 0 для каждой пары функций (65) илн функций (66), если )~й; если же /=й, то скалярное произведение равно единице: (/, /)=1. Существует 2/+1 линейно независимых сферических поверхностных гармоник стсцени /, (Ь) Каждая дважды дифференцнруемая действительная функция Ф(0, Ф) (0 ~6 ( и, 0( !р( 2п), Ф (О, !р+2п) =Ф(В, Ф), определенная иа поверхности сферы, допускает разложение в бс мерно сходищийся ряд е а олютио и рааио- / (О.
Ф) = .~ 1 2 ~/о Р/(сов б)+ ), Р/т" (сов б) (а/~ сов пну+(3/~ Вше!Р)1= !'=о т=) а! — у Р, 'т ! (с(м О) е/тф, / от= — / 2м н 2/-(-1 и — е)! ~/т= — ( + )! ~ (/Фсоэтф ~ Ф(0, !0) Р (с!иб) зш6!/6, о о 2я и 2!+ 1 (! — е)! Р/т= 2„(,.+т)! ~ ЙГ В!п т!Р~ Ф(0, Ф) Р/т (от 6) и!п 0!(О, о о 1 у = у/ = — (т/т — /()/т) = 2и 2н = — ",+„' —,"„),' ~йре" Ф ~ Ф(6, р) и',"(сшб) В!пбдб, о о (/=О, 1, 2, ...; т=О, 1, 2...,, /). Разложения вила (68) физически ннтерпре иналов по мультиполям (пп. 1Ре,6-5, а н с) ру " как Разложения потен- 21,8-13. Теоремы сложения.
Рис. 21.В-Э, Г ееметрическая иллюстрация к теоремам е ам сложения. р жения для цилиндрических функций. (а) Те о реми сл ож усть, я Р,-две точки плоскости с поляриымн коорднна ооРдннатами (Р,, 9!1), (рз, !р). Согласно рис. 21.8.9, а пусть р,) рз, так что От,(ф) ~и и ар= ра+ре — 2р р с!и ( ) е 2иР Ра — Рае ! (Фа — Фа) Р» Р а/(Фа Фа) огда для каждой цилиндрической функции я; ) З ! Л-(. 21.9-1, 791 ГЛ. 2!. СПЕИИАЛЬНЫЕ ФУНКИИИ 790 (2!.8-71) ' Ау,(х) 'Г (21.8-73) (21.8-74) (7 (х) = и е п р е р ы в- (21.9.4) (21.9-1) () (х) = ~ ()е(х)= ( (21.9-5) (21.9-6) ак и()= 1! -' ~ 'сп)дС а соя (2!.9-7) уравнению (1), , ) 7„( ) с(з(ч -1*) (21.8-70) З = — са (теорслса сложения для цилиндрических функций)„ где а в произвольное комплексное число. В частности, если 91 — фз =и, то Ят (а[р,+р)) ~', 29(ар,) / з(арз).
Ь = — ао (Ь) Теоремы сложения для сферических функций Бес- селял я и и ног оч ле нов Лежандра. Пусть Р, и Р,— две точки прост- ранства со сферическими коордииатаии (гп бп Ф,), (гя, бз, ф,). Согласно рис. 21.8-4, Ь пусть 6,+6,( п; тогда ср=г +г,' — 2г,г,сову, (2!.8-72) оси Т = ссб 0, сов 0, + ми 0, юп бз соя (1р, — (рз) ) д) "1" "л — '~ (2Л+!) )а (аг))!» (агз) Рл (сов Т), ь=-о са (26+ ц 11'„~ (аг,) )л (аг ) Рл (ом Т) (г) )г я) !чн л=о (тсоремо сложения для сферических функций Бесселя порядки нуль). Р;(сову)=Р) (сов 6,) Р! (соз б )+ / +2 Х~и ('.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
