Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 169
Текст из файла (страница 169)
Интегрирование А4! (г) приводит к элементарным функциям (п. 4.6-6). Разлагая рациональную функцию )74(г) на простейшие дроби (п. 1.7-4], приведем вычисление ) — * йг к ищегралам вида г Л,(4] Т'б !2] )Р \' — )Р ]4 б 1л ! йг (п=О, -4- 1, .4-2, ...). " )'б ]г) Каждый такой интггра] может быть эмражсн чэрез 1, 14, 14 и 1, прн помощи рекуррентной формулы (2л+6) Ь41„+4+(2л+5) Ь,1 +(2л+4) Ь41„-)- +(2л+3) Ь41„,4+ (2л+2) Ь414 — — 2 (г — с)а+4 Ь' 6 (г) (л О, 1, Щ 2, ...), (21,6.22) (2!.6-21) где коэффициенты Ьь определяются из тождества 6 ( ) 424+азгз+азг'+ага+аз= Ьэ (г — с)4+Ь, (г — с)'+ Ь, (г — с)'+Ь, (г — с)+ Ь4.
(21 6-23) ФоРмУла (22) позволвет Явно выРазить 14 чеРез 14, 1! и 1 „есле аз=О ш в-з. ш е. эллиптические. скикпии и интегедлы 753 ш .э-з. 752 ГЛ. 2). СПЕПИЛЛЪНЫЕ ФИГИ<ИИИ (т. е, Ьр=О) нли если с есть корень уравнения 6 (г) =0 (т. е. Ьг =-О). Пусть с не ивлиется таким корнем; тогда можно записать 1, как йг=((г ') йг+а(='+5 '! — ', (21.6.21) г — г" ((г — г)> р'о(г) .) Уо(г) зр'вы) ' -Уй(г) где г=с' есть корень 6 (г) =О. Слгдоватгльно, каждый лллиатичссхий интгграл (13) люжгт йы(аь выражен в виде суммы элгмгнтариых функций и тргх сравнительно орос(аых типов вллиатичгских интегралов агового, второю и тргл>ьгго рода (п.
21.6 4): (21 б 25) Первый из этих интегралов обычно рассматривают как нормальный эллиптический интеграл первого рода; другие два интеграла (25) непосредствепио применя>отся редко, и чаще пользуются их линейными комбинациями †нормальнымн эллиптическими интегралами второго н третьего рода (пп. 21.6-2, 21.6-3 и 21.6-6). Эллиптический интеграл первого рода конечен для всех г; он авали>ичен в у, сюду, за исключением алгебраических точек разветвления а,, аг, аг, о,.
Эллиптический интеграл второго рода аналитичен всюду, исключая т же е ( и азветвления и полюс иа бесконечности (если ар=О, то >хг=сх> и интеграл имеет на бесконечности точку разветвления и принимает в н " ей бесконечное значение), Эллиптический интеграл третьего рода помимо алгебраических точек разветвления а,, а„ аг, аг имеет еще логарифмическую точку разветвления при г =с. (5) Замена переменных, Нормальные формы Вейершт р а сс а и Р ими на. В процессе приведения можно ввести новую переменную интегрирования г=г (г), преобразующую эллиптические интегралы (21) или (25) в новые эллиптические интегралы, содержащие более удобные многочлены 6(г) и, возможно, более простую рекуррентную формулу (22). В частности, дробно-линейное преойрачование (АР— ВС чь 0) (21.6-26) Сг+Р (п.
7.9-2), выбранное так, что точки разветвления г=с(,, аз, аг, аг преобразус в точки г=г, г, гг, со, приводит к эллиптическим интегралам в нормальной форме Вейерштрасса, где 6(г)=4гг — дгг — йг. Эти интегралы связаны с функцией Вейерштрасса )г (п. 21.6-2). Напротив, преобразование (26), отображающее точки г=а(, ач, аг, аг в г=О, 1, 1(й, — 1(й, где й есть действительное чигло, закл>оченное между 0 и 1, приводит к эллиптическим интегралам в нормальной форме Римана, где 6(г) =г(! — г) (1 — йзг'.) () Приведение к нормальной форме Лежандра.
Чаще к требуется преобразовать действительный интеграл ~ г (х) йх к нормальной форме а Лежандра, где 6(г) =(1 — гз) (! — Ь~г~) и й есть действительное число, заключенное между О и 1. Процесс приведения приводит к действительным ип>рр мальным интегралам Леи(андра (п. 21.6 6), для которых имеются подробные таблицы. Пусть 6 (х) — действительный миогочлен, положчтельиый в инте вале к р ' (а, х); тогда ~ 1 (х) йх принимает действительные значения, если интервал а и пегрироваиия не содержит действительных корней уравнения 6 (х) = — О.
о) и. ' абл. 21.6-1 содержит преобрааоваиия х=х (4>), отображзющие интервал интегрирования (а, х) в соответствующий интервал действительного аргумента >р ь>ежду 0 и п(2, так что лх б>р уг(ххй 1 У) — л'ыа*>р (2 1.6-27) Р * возможных типов действительных много ленов че пепи 6 (х)=6г(х) и третьей степени 6 (х) =Оэ (х).
Соответствующие значения настоянных параметров Ьг и И также табулиронаны. Во всех случаях старшие коэффициенты (аг или а,) многочленов 6 (х) привиты равными 1 нли — 1. В случае действительных корней принимаем а>) ссг) аг) и,; комплексные корни обозначаем Ь, ь (с, и Ьг ->- (сз, где Ь> Ьм с>)0, сз)0. Нногла вводятся вспомогательные величины: а(г=аг — а> ((, />=1, 2, 3, .1), (, 0, у, 5)=--,'; — —;Я, 160,- "— ', (~Ь 16 В г г Ь ~~ — г, (й ((Ьь(2)г,' = — —, = (й ((Ьг — Ь>)>2) 12 Пв>+В>)(2). (2!.6-28) .
У! — л' г(п' >р г У() — «*) () — ь*г*) о (нормальный вллитличгсхий интгграл Лглсандра первою рода); ч г ЕОр, Ь)=))/1 — Ьгэ(пг(р й)р=~ )г> ' г — ', йг=Е(г, Ь) о о (нормальный вллиал>ич>гкий иатгграл Лежандра второго рода), Ф п(р. ' Ь)=1и,ма,„,„-,'=, о (21.6.' 9) г лг — —,—,-=л (г, с, й) () -(- гг>) >'П вЂ” г.),) „...)-= о (эюрмальамй зллаатичгсхий иатгграл Лежандра тргтьгго рода), где г= ми >р, так что Е (зли )р, 1() =г Ор, й) н г. д. 21 6 Г> Нормальные эчлипт> ческие интегралы Лежандра (см также пп 21 6 4 и 21.6-5). (а) О п р ед е л е н и я. Нормальные эллиптические интегралы Лежандра (неполные) определяются формуллми ч г Ю.й-а. 2(.6-6. ГЛ 2(.
СПЕИИАЛЪНЫЕ ФУНКПИИ 756 й есть комплексное число, называемое модулем эллиптического интеграла, с называется параметром интеграла 3-го рода. Эллиптические интегралы (29) — нечетные функции от г (и от чр) и четныа от модуля й. Если й действительно и (й,'~1, то эллиптические интегралы Г([а,зйпа) Г([р,з(п ау' и Обыч функц соо) в Г 40 о' го 40' 60 ОО' и) Рвс.
2(.6-(. Неполный вввветкческий интеграл верного роде Р кь й) = Р (чн о аи а) квк функция Ф пре постокввом а: ь) квк фувкцив модувяряого угла а арк во. стоеииом Ч ),6 60' 60' ег) 0' 60 80' ск 9 Ркс. 2(.6-2. Нееовный евлиотвческвй витегРвв пеРвого Роде Р (ф, Ю квк фУккцке от Че двя трех рввиых вивчеикй й.
первого и второго рода действительны для действительных г, таких, что — 1К2(1, т. е. для действительных (р. Для указанных значений (р и й ф нкции Г((р, й) и Е Ор, й) табуличованы [21.2[, !1ри табулировании вмес о ункции модуля й обычно вводят модулярный угол и= агсз(п й. Н . 21.6-1 показаны графики функции Г ((р, мп а) прн постоянных а рис.. - о а и при постоянных (р.
На рис. 21.6-2 показаны графики функции Г ((р, ) ввисимости от (р при разных й; см. также [21.2[. ч й (! — й ) '-*-", + (! — йе) '-- -~ йЕ =-б, (2!.6-32) г,4 2,2 г,й 12 (.6 (,4 (г (Р О, О, г,г( '66 (,г ),О 0,6 64 Ог 0» 20' 40' 60 00' ск 67 2(гь эллиптические Функт(ии и интеГРАлы 757 (Ь) Полные порнальные эллиптические интегралы Лежандра (см. также рнс.
21.6-3). Функции п)2 К=К(й)= ~, =Г(п('2, й), о н(2 Е=Е(й)= ) )/1-йез(пзфйф=Е(л)2, й) о соответственно известны как полные нормальные эллиптические интегралы Лежандра первого н второго рода; й и й'=) ! — йв называются дополннтельнымн модулямн; К (й) н К'(й) =К (й') называются свнзанными эллиптическими ннтеграламн первого рода, а Е (й) и Е' (й) =Е (й') — свнзанными эллипнческнмн интеграламн второго рода.
Заметим, что ЕК'+Е'К вЂ” КК'= -. (соотношение Лежандра) (21.6-31) К(О)=К'(!)=-2", К(1)=К'(О)= Е(О)=Е'(1)=-2", ЕП)=Е (О)=!. но полные эллиптические интегралы К (й) и Е(й) табулируются в виде ий модулярного угла иве агсз)ой. При этом дополнительному модулю й' етствует угол н,'2 — а (см. рис. 2!.6-3 и табл.
21.6-6). Рес. 2(.6-3, Повные вввкеткческве китегрввы а) к (ю = к м(па) в к' (й)( ю е (ю к е' (й) квч функция модулярвого угле а. К(й) и Е (й) удовлетворя(о( дифференциальным уравнениям 760 2!.В-?. Ю.в-в. гъц эллиптические Функции и интегпллы Гл. 21. Спепивлъные Функции 761 зк кэк пРи этом й„' 1, то (1 — йп)7(!+ли) 0; учитывая что К (0)= !2 получим формулу К(") ="- П вЂ”,',' (21.6-67) и=о + еи табиипа 21,6-4 н Е эллиптические интегралы К Полные п?2 ик "Г: се" ' о зс1 — Ос Мп'и ии о 3= мосс 50 51 52 53 М 1.9356 %39 97% 9927 2,0!ЗЗ 1,5708 5707 5703 6697 66Ю 8! 81.2 Ы,З 81,6 81,8 1,0338 0336 ОЗН ОИП 92% 3,2563 2?71 3468 Т,ЗСЮ 2963 2870 2776 2681 1,5708 6709 6713 6719 5727 0 1 2 з 4 Ог?8 0267 0258 %% 02М 36% ЗОН И 99 ИВО 47% 0347 ОЬ71 0804 1047 !ЗОО 6678 566Ь 5649 6632 Ьан ЬТЗВ 6?Ы 57Б7 6786 5%5 82,0 82.2 82.4 82,6 ЗЗ,О %37 зьз 2397 %01 2206 0223 0213 Ойц О!92 0182 вз,о ЗЗ,'2 83 4 ВЗ,Б 83,8 6004 5%8 5581 5884 6196 г1и 201 5 1921 18% 1732 1565 1ЗЮ 21 32 24% 2?М 60 61 62 Ю 64 5828 6882 %1З 6946 ю и 12 1З И 5442 ьип 5%7 532Б 62% Сиз о!% 0163 0144 ЫЗЬ ВВ,О ВЗЛ 84,4 34.6 84,8 85,0 35',2 %,6 %,3 5981 6061 61% 6151 65!9 6862 7193 7557 7ЮО 1638 %92 1МЬ 1499 ньз 65 65,5 %,'о Бб,б 87,0 !б 16 17 !8 19 8317 872! 9Н2 %83 4,0ОИ 5238 5191 5141 5090 5037 9127 0118 оио а!92 С094 4001 4138 И01 вма 4%5 67,6 ю',а БЗ,Ь 69,0 Б9,5 70,0 70,5 71,0 ?1,6 72,0 1408 1362 !зи 1272 1228 21 ?г 23 24 00% 0079 С072 00% 0059 ОИВ 1аз? 6%4 2Н2 2744 86,0 86,2 86,4 ав',6 86,8 49% 4%4 4%4 4803 4740 11М 1140 !098 1ОЬЗ юи 6046 5273 6607 5749 5998 6490 ВЬЬ7 6627 6701 %7? Зэз? 4073 4811 5609 %77 0053 С047 аон 0036 аоз! 87,0 87,2 87,4 37,'Б 87,8 6%6 6521 6796 7081 ?юь 0968 0927 08% 0844 0804 Т2.5 ?З,О 735 ?4.0 Т4.5 6%8 6941 7028 7И9 тгн го 31 Ю Зз М 9ПБ 0021 00!7 ООН оа!о ВЗМ 4%8 4П1 4092 40!3 мю 8478 9654 Ь,оэза '2%7 вз.а 88,2 83.4 ЗЗ,Б 88,8 7681 7998 8327 8669 902Б 0764 0725 БВВБ 0648 Об!! 75,0 75,5 76,'0 7Б,5 Т7,0 7312 7415 7522 7633 7748 35 36 37 гв 39 Ркс.
21.6-4. Цнлаоткееские Ф?ккпик Якоб» ео и, со и к й индии = Тс. йс — 2 4%9 Мог %79 ?ИВ 94% 9397 9785 3,0192 0617 1064 ЦП1 3849 37% ЗБЮ 3594 0008 9ХМ ОСО5 0004 Оааз 89,0 89.1 89,2 89,3 89,4 0574 БЬЗЗ 0502 аса ОВМ 78,0 78,Ь 79,0 79,Ь 7868 ?Юз 8122 8256 8396 Ва 41 42 43 44 рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
