Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 142
Текст из файла (страница 142)
также табл, 1).3.1 в п. 19,3-5). Ствтистякн (!9 2-18) хэрвктеризуют соответственна аснмнетрню и эксцесс выборки н являются состочтельнымз оценками асимметрии и эксцесса гекерэльиой совокупности (см. также и. 19.'2) Грубо говоря, к, > 9 указывает на длинный «хвост» в правой части рзспределеви.. Некоторые автаоы вводят вз И Вз+ 3 ВМЕСта Вз И Вз, 20* ! здьй. ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 8)2 1 = х, + — р (кй — Х,) л а=.! (19.2.19) вли. при группировзианк данных »а= Х + — „Л л!(Ху — Х,у). 1 1=1 (!9,2-20) (!9.2-2!) ввн, врн группироввниых данных «и л — 1 з ! кч з за = — Еа = — гг л.Х!. — йа. л „Лз г ) 1 (19, В22) — л У) — ра (йл).
л 1 з 1 ч \ з е а л 1 л,~з ! )=1 (19,2-25) н«,а- л Х л((ХТ-»а)' ! =! гл 1 Ъз г л а = — „зл л(Х!» !'=1 Н9.2-26) помощью оцегок ш' шза — — <ЬХ), з 12 П9 2-27) ю щза ! 7 ш,а <ЬХ)*+ — <ЬХ> . 4 4 2 240 где и) — числа Бернулли (и, 21,6-2), !9.2-5. упрощенное вычисление выборочвмх средних и дисперсий, Поправка нв гртпнирозку.
(а> При вычислении удобно выбрать начало отсчета Х, вблизи центра выборочного распределения и считать по формуле л <ш Выборочные дисперсии Р и 3«могут быть подсчитаны по формуле л л ! 1 %ч з Ф и«= — р кй — к л л й 1 <с) Вычисления при группироввниых данных особенно упрощаются«если все клвсеовме интервалы имеют одинаковую длину ЬХ и если за начало отсчета принята сере.
дина одного из классовых интервалов. тан что Ху — — Хо+ У!ЬХ, (!9до23) где У принимает только целые значения О, «- 1, -«- 2, ... Тогда / "а= хо+райх. ва= — „У' к)УР ! (!9,2-24) л )=1 Проверять вычисления можно, выбирая другое начало отсчета, например«Х«+ ЬХ, (д)Поправка Шеппардз нз группировку. Пусть все классовыв интервалы имеют влы имеют одинаковую длину ЬХ. Если для теоретического распределения велин лнж чини к о а «хв к оба «хвоств» имеют высокий порядок соприкосновения с осью к то пр б ение зза к истинной выборочной дисперсии з можно улучшить путем прнбавлеввя лолплзкн )аенлллда — †, Цля выборочных моментов по группнрованиым данным !2 можно ввести аналогичные поправки с л', л(а, ! л' лза — — (ЬХ)' з !2 ! а' л.а — — Л а (ЬХ)«, з З 4 1 '=в — флза <ЬХ> ° + 7 <ЬХ>, Вообще г ,;= ~; ©(21 "— ()В л„„а<Ах>з <,=1,2,„,>, (шль23> й 0 19.3-2.
шл. типовые рйспрецедения вероятностеп 613 :!рнзедениЫе оценки совпздзют с оценками по негруппировзнным данным в том слу. 2П чае, когда х (з) =.0 прн ! з ) — - — е (в > 0), для нормально распределенной вели. ЬХ чины» при ЬХ 2я з о' с точностью до 2,3 ° 10 — ' ЬХ при 3 лО, .1 ! (ЬХ)' л а' — — с точностью до 3,1 1О *и' гри . =О. ! ! 12 П р н м е ч а н н е. Поправка Шеппзрда часто применвма в качестве оценки он;нбкп, вознпкаюл;ей при «круз««кки выборочны» зло«гний з точаых формулах (12) и (!3), нзпрвчср, средняя ошибка окрутлення ьх!2 в значениях кй во»действу«т обычна нз и только как <ЬЛР(!2 19,2-5. Размах выборки(см.
также и. !9.8-4). Размах ш случайной выборки (х,, х, ..., хл) есть разность между наибольшим п наименьшим значениями хз. Рзаызх вйборки иыеет физический смысл (контроль качества) и служндля грубой, но удобно вычисляемой оцеяки характеристик генеральной совокупности, Размах выборки, наименьшее н наибольшее выборочные значения дшот примеры порядковых статистик.
19.3. ТИПОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 19.3-1. Вводные замечания. В качестве теоретического распределения (генеральной совокупности) н статистических моделях могут служить распре. деления вероятностей, описанные в пп. 18.8-! — )8.8-9, и частности, нормальное, бпномняльнос, гипергеометрическое и пуассоновское распределения Применимость тех или нных частных типов распределения (с цодходпшими параметрами) может быть установлена как теоретически, так и яо графику эмпирического распределения. Особенно гдзано колла««нзе лосев«деление, Каждое нормальное распрслеленне вполне опрезелящся своим первым и вторым моментами. В случзе нормального распределсняя генеральной совокупности точно рассчитаны статнстическне критерия выбора ь яого распределения (пп. 19.6.4 в !9.6 6).
Приненнмость нормального распоедслеявя часто обосповь«настоя чезаре«ьнед предельной «пеопгмзй (и. 15.6.5); в частности, зи«ибки нзкеужпл часто расснзтрвззются как нормально распределенные суммы большого количества веззвнсвмых элементарных» ошибок, !9.3-2 н Класс распределений Каптейна.
Часто оказываетсп желательным сопоставить с опытнымп даннымп такое распределение случайной величины х в интервале (а, Ь), чтобы некоторая функцпп й(х) имела нормальное распределение, т. е, чтобы <)У.(х)=б>.~й Л) "1, ф,(х)«п ' ехР~ — !.~",' "1)~Д~. ()93-!) Функция йг(х) должна быть монотонной при а х(Ь и изменяться от — со до +со. После того кзк функция д(к) выбрана (например, из теоретических соооражепий), остается оценить только два параметра Р=МХ(х) и о, что для нормального распределения сделать нетрудно. Слу. «вязав величина», описываемая распределением (1), может рассматриватьсн «сак предел последовательности случайных велвчнн » =» -~-» З(»„) <г=о, 1, 2, ...), каждая из которых есть результат действия малых независимых импульсов», », „,, » а''"' л удовлетворяющих условиям и.
13.6-5, с, причем г — 1 » ч-т «;,1»! г д» -', » +...+» = ' — ' — =) — йид з - г= Х".з 'А(к) =) Л(к> 1=0 к, сз.з.а. Гук 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.4. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ 19.4-!. б)5 (19.3-2) (39,3-9> !Ч тс' 19.4. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ (19.3-4а) (19.3-45) Эх(х>=фа(х)+ 3 'ги (х)+ — "аи (х) где 11„= ( — — -) $ >уй ( — ) га„(х) >х, (!9.3-4с) В ЧаСтНОСтя, ЕСЛК Л (Х) = Саны=С, ГО Д (Х) = (Х вЂ” ХсИС Н РЗСПРСДЕЛЕЯИС (П НОРМаЛЬ- нос. Если Л (х) =х. т. е, эффект дев«таки импульса пропорцссонален уже достигнутому значению случайной неличиим, и хь = 1, то й (х) 1пх, и мы имееы хогаричмичсскя нормальное распределение !93-3 Ряды Грама — Шалплье н Эджворта Плотность шпандорли!заааинай случайной величины х=: (п.
!8,5.5) часто удобно аппроксвмиронать а (х> с помощью формулы фх (Х) Чиг (х) 3! Ч3и (х) + (!П) (сть 3) !Рг! ' (Х)+ (И (сса) Ч>й (х)1 (19 3 За) где аз=ма, Рз, Р,— паРаметРы теоРетического РаспРеделеинЯ величины а (и. !8.3-Т, Ь). Вводя коэффициенты асимметри~ н эксцесса (табл. 18.3.1, б), формуле (За) можно придать вяд 'Рх (х) ф» (х) з 'Ри (~)+!(4 'Рй'(х)+ — 'гуй'(х)1 (19 3-35) 4(Формула (3) дает поправочиые члены при замене плотности распределения !р (х) плотностью нормального распределения ср„(х). В частности, формула (3) может применяться для приближенного построения плотности распределения суммы п независимых случайных величин; в этом случае коэффициент при ф» имеет порядок 0(п А), а коэффициенты при слагаемых, объединенных квадратной скобкой, — 0(п !).44 Аналогичное выражение для функции распределения Фх(х) получаетсн из (3) заменой ф(а) (х) на Ф(") (х).
Заметим, что для входящих в формулу (3) пронзводныд от плотности нормального распределения фи(х) ипеются широко распространенные таблицы и что параметры (коэффвциенты) могут быть легко оценены как функции моментов (п. 19.4-3); все же расчет выборочных распределений здесь ве прост. Дзн несыта ограниченного класса распределений формула (3) содержит перзые члены разложения э ряд Грама — Шарлье по ортогональным функциям (и.
15,2-ОК Ф (х) = Ф (х) 3- Ч', Фи (х) + Ч' Ф~~' (х) + „,, и (х) — мкогочзеи Врмнтэ степени й (и. 21,7.3) В частности, и,= — т,, тц=->с. й Ряд (4а) сходится к Ф (х), если существуют асс моменты р,, р„, и если — х* 1 «4 иФ (х) сходится; ряд (45) будет при атом сходиться к е (х) эо «сел точках х Х иепр иеп ерыаностгк если га (х) есть функции ограниченной эяркацик (и 4 4-8, Ы э ( — со, оз), х Для очень большого класса паспределений аппронсимация (3) может быть обосяоээиа асилгптатичесхими рядами Эджаорта (18.8].
19,3-4. усеченные иормальмыс распределения н распредсаение парето. (а) усеченные нормальные распределения, ослина нормальноа соаокупностк со средним р и дисперсией а* (п, 19,1.2) исключить эсе события (х (хч), то остаэшзяся саэокупность букет иметь одностороннее усеченное иормааьное распределение, для которого ч (х) ='Р (х) = О пр» х (х, и Ф (х) = (х) х„), (19 3-5) (х,— р> где т.—..Ф ~ — стсчснь асс!ения, раэнаяэероятностпР (хщх) э исходном Раси( а предеаенип.
Первы,". дэа начальных момента усеченного распредеаення разны а, —..- р + аьса (х,), (39.3-Г) а, .= р' -(- а' (р -)- х,) ср (х„) -(- ац ~ Есаа задчны к, и моменты ао а, (последние оцениэаются ныборочнымн цоментамн а,, ак п (О.Ъ3, Ь), то р и а ьюгут быть нацдены с почо!цью таблиц Пирсона, дающих чясаейЕ иое Решен с уразаеннй (о) (38.5]. (Ю РзспаеД«ление Папе«о опреДелаетсн фоРмУламн Ч (х) = Ф (х) = О пРп х ( хь и а Гх,'а ]-3 Гх,'а О \Х) = — ( †' 1 , Ф (Х) = ! — ! †' 1 (Х ьп ХЫ а ) О>, (ш.з-т> х, (хг л хй а *! =- Мх.= хь (а) 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
