Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 137
Текст из файла (страница 137)
Если корреляционная функция [!хх(т) непрерывна при т=0, то она непрерывна при всех т. Мзтрядз [ц„(! — ! )[ является эрмктазой н положительно яалуапределзэнай ххл ! |и. 13.5-3) для л!эаьго конечного мяожествз значений 1, 1„..., ! . и' Слу«айные процессы назыааются стационарными (или совместно стационарными) в широком смысле, если для пих сргдниг Мх(!), Му(!) постоянны и корреляционные функции заэигят таэька ат т, ках а формулах (4).
(Ь) Нормированные корреляционные функции определяются формулами и |т) — 12!" "х Ги Ти Рхх(т)= ""; Рх !т)= "", (18.10-7) Ы ! х Р— ! й !э "" ' 1'М ! х Р— [2 >э ) М ! РР— ! Н !' ПРи этом ! Рхх(т)! ~1, ! Р„„(т) ! (1. э) См, замечание к и, 18,9.3, Ь„ 18.1е-т. (18.10-9) (18.10-16) (18.10.17) (18Л 0-10) (18.10-18) (18.10-19) (18ДО-11> ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.18-8. (с) Для дейгтеительных стациомарных процессов х«) и у«) корреляционные функции действительны и Кхх (т) — Как( — 'г), Кху (т) мм Кух ( 'г). (18.10-8) Нормированные корреляционные функции р к(т) и р у(т) являются действительными копффиииентаии корреляиии (п. 18.4-4).
18.10-3. Спектральная плотность по множеству наблюдений. Для стацвонариого случаймого процесса х«) и совместно стационарных случайных процессов х«), у(г) спектральная плотность Фкк(в) и взаимная спектральная плотность Ф ((о) по множеству наблюдений (по множеству реализаций) ку определяются с помощью соотношений Ханаана — Винера Ф х(в)= ~ К (т)е (мтйт=Фкх(в), (рк (г,а)= $ К у(т)е 1"«11т=Фук(о)). Спектральная плотность Ф (в) всегда дейстгитглона, даже для комплексного процесса х «); ио взаимная спектральмая плотность Фку(в) может быть комплексной даже прн действительмых х «) и у «).
При соответствующих условиях сходнмости имеют место формулы обра- щения К к (т) = — >е Ф ((о) е(в« г(в = Кк„ ( — т), Кху (т) = — „)г Фку (в)г(мс йо) = Кук( — т). Преобразования Фурье (9) вводятся обычно для упрощения соотношений' между иорреляционными функциими входного и выходного сигналов в линейной стационарной скстеме (п.18,12-3). Существование преобразований (9) требует, кроме существования М ] х]а н М ', у ]' (п. 18.9-3), еще и достаточно быстРого стРемлениЯ к нУлю величии Кк„(т) и К у(т) пРи т со. В слУчае периодического процесса для возможности примеме имя спектральных плотностей приходится вводить члены с дельта-функциями (и.
18.10.9). 18.10-4. Корреляционные функции и спектры действительных ироцсссов. Если х«) и у«) дейстеительны, то действительны и корреляционные функции К„к(т), Кку(т); в этом случае (см. также формулы (8)) ф (со)=2 $ Ккх(г)созвтйт=Фкх( — в) о Ккк(т)ом 1 ~ Фк (в)созвтйв=К х( — т) (1810 !2) л Фку(в)=Фух( е))=Фку( — (о) (18ДО-13> 18.10-8. Спектральное разложение средней «мощности» действительных процессов, Для дейгяыительного прог(асса х«) подстановка т=О в соотношение (12) дает М]х]»=Кхх(0)= — ! Фхх(о)) дыма — „~ Фхх((1)йв. (181014) — хх — П хх ви )8.10.
СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Это можно толковать как слеюяральное разложение средней «мощности» М] х]а по частотам в в (О, сю) или ( — оо, со). Второй интеграл дает разложение по всем положительным и отрицательным частотам со спектральной паотиостью Фкк (в) (РазмеРиость Фкк (в) есть (единицы х)ауг«РЧ), пеРвый интеграл — по йеотрицательиым («действительным») частотам с «односторонней» спектральной плотностью 2Ф»к (о)). Взаимная спектральная плотность Ф (в), вообще говоря, комплексная, не может быть истолкована так просто. Для действительных процесс«)е х «), у «) подстановка т=О в соотношение (10) дает Мху=К „(0)= — ] Ф ((о) йв= — „~ Ке Фку(о))йв. (18.10-15) со о Величину Ке Фх„(в) иногда называ(от взаимной спектральной плотностью мощности.
Мнимая часть !гп Ф „(в) ие дает вклада в среднюю мощность (15). 18.10-6. Другие виды спектральной плотности по множеству наблюдений. В литературе спектральная плотность записывается еще в следующих видах: Зхк (м) = Фхх (2пч) с М ] х ]а 11 8хх (3) йчг где 9=9-, размерность Зкк(9) есть (единицы х)а)гери, 1 йкк(го)=й-„Фкк(в) с М] х]а ~ й„к(в) йв размерность йкк,(в) есть (единицы х)а)радиан в секунду. Для односторонней плотности применяются обозначения Гкк (ч)=25хк (м) =2Фхх (2нт) (т «0) Сека (со) = 28кк (в) =, Фхх (в) (в «0) диалогично записыва(отся так»хе и взаимные спектральные плотности, Большое количество различных обозначений требует внимания при работе с литературой.
18.10-7. Средине по времени н эргодические процессы. (а) Средине по времени. Для любого процесса х«) среднее по времени (по параметру () от функции ) ]к«1), х«а)...,, х«„)] определяется так: (>]х«1) «) " «)!)= т =.,'(п),— ', ( 7(х«,-]-1),х«,-~О, ..., х«„+1)]й(, (18.10-20) — т если этот предел суи(естоует "). если х(() описыеает случайный процесс, то (1) есть случайная величина для каждого данного лгножеипва значений („1», „. ..., („. Заметим, что М (7) =МД (18.10-21) если соответству)ощие интегралы существуют. ') Вместо оеоааавенма (1), таа же каа м аместо М), амогда прамеаают П ио аослея- мее осоааачеане лучио соараааеь дле ело«ум»еского среднего Е= — „' (')+'1+..
+")>, где есть авачемне )лля а-а амооркм к(О= к(1) (А =1, 3, ..., л) (см, также е. 19.8-1). л я )вло-о. 7 ( ! х(0) '2)= 1пп — ~ ! х(!))ей[, 7 ( ) у (О) )а) = 1)щ,— ~ ! у (!) ,'а 02 7 7 (18.!0-23) (18.10-24) х гб =- асов(е«! + «2), и 03 = а сов(е,! +Ф) ([а.(0-28а) змеем ()8.[0-286) ((8, [0.29а) О где 1'хх (ь!) = з! )1кх (т) е йт= ! х«([а) (18.10-26) 'Р„(е)= $ Яку(т) е 'еей(=Ч' ([о).
Ай = ай + Оэй = 4 / га / 592 гл. )о. теория вероятностеи н случдиные процессы )вло-о. (5) Эр гади че с к и е п р оце с с ы. Стационарный с.чучайный процесс х(!) обладает эргодическим свойством, если дхя любой функции ! [к()!), ..., х((„)) с вероятностью 1 среднее по времени (20) совпадает со греднил! по множеству наблюдений (!8.9-4), т. е. Р(()) = М)) =1 (18.10-22) (при условии, что зти средние существуют). При атом каждая реализация х(!) определяет случайный процесс однозначно с вероятностью 1, например, через характеристическую функцию (18.9-11), вычисляемую по х (!) с помощью .ормулы (2!). Каждое среднее по ерелвеии ), например, (х), (х') или )век(т) п, 18.10-8) описывает с вероятностью 1 общее свойство всего мно)кества реализаций х(!). Сгацкоаарпый процесс эргодичез, если вероятность пвобпго егп стацппзарного подмножества ранка 0 или !.
Два или более совместно стационарных случайных процессов называются Совместно вртадическиМи, есЛи ВрГОдиЧЕСкоЕ свайетао имеет место для любых выборочных средних, 18,10-8. Корреляционные функции и спектральные плотности по времени. Для действительных или комплексных функций х(!), у (!) (которые могут и ие быть реализациями случайного процесса) с конечными средними квадра.
тами по времени существуют корреляционные функции по времени: азл!оварргляционкал функция Т лцхк (т) — (х(0) х(т)) — !ип — ~ х(!) л ((+т) й! «п н таил!ноя корреляционная функция Т )(лу(т)=(х(0)у(т))= 1пп — ~ к(!)у((+т)й! (18.10-2о) (обранщем внимание на разницу в обозначениях корреляционных функций по множеству наблюдений ([4) и по времени (Й)). Зл)и корреллциомпые функции удоахетеорхют соотношениям, хоторьве иолучаютсл из соотношений и !8,10-2, если каждое среднее по миожетпеу наблюдений (математическое ожидание) заменить соогпеетстеувощим средним по ерел[еии.
Спектральная плотность Ч'„ (в) н взаимная спектральная плотность Члз(в) для средних по времени вводятся с помощью соотношений Хинчина— Вййсра 18.)0, СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАИНЫЕ ПРОЦЕССЫ 593 Если зти спектризьные плотности гущегтоуюл! (без формального допусла членоо с дельта-фуикцилми), то оии удоехепюарявот соотио[иекиям, аналогич- ным тем, которые приоедспы е пп, 18.10-3 — 18.10-5, Другие виды спектральных плотностей вводятся так же, кая в п. 18,10-6. Если х(!), у(!) — реализация совместно стационарного процесса, то корре- ляционные функции (24), (25) и спектральные плотности (26) являются слу- чайныиа величинами, математические ожидания которых равны соответству- ющим средним характеристикам по множеству набл(одеиий. Если к(!), у(!) совместно зргодичны, то с вероятностью 1 их корреляционные функции (24), (25) и спектральные плотности (26) совпадают с соответствующими средними характеристиками по множеству наблюдений.
Спектральные пзотзосга можно ввести также с помощью формального соотзпшевкя Ч" [е) Иш -- Г (е) 87 (е), ! ([8,)0-2!а) лу !. 27 гпе ат (е) к 87 (е) — преобразования Фурье от «усечекных» фузкцкй хт (!) и рт (!), рэзпых соогзе!«!закво к (!), е (!) при ! ( , '( Т к равных О при , '(, > Т: Т 7 ат [е) ( х(!)е ™ац ьт(е)= ) ии)е )е[«н, Т вЂ” 7 Соответствующую спектральную ппатзп«ть по мпожестау паблюдепий можно прк этом определить кж математкческпе ожпдапае: Ф, (е) = МФ (е); тогда соогпошевка л'з ху Хзз вика — Винера (26) будут следовать зз теоремы Борепя а свертке (табл 4, ))-2), Одвако Формулы (22) имеют смысл только. еспп спекгразьвые пзатиости ке содержат членов с д«хьта-функцккмк [и [8 )0-9 и [8 П-6; см. также и, )8.)0-[О), )8.)о-з. Фумкцпк с перзадкческнми компамевтамм (см, также п, !8,([-!) Так же как а другие средпке пп ар«мекк.
коррезяцкокиые фупкцкв и спектральные плотиост» пь зрзмевн предсваазяют особый иптерес, когда пзк с аероятиьсгью ! совпадают с соогветстоующимн характеристиками по мзожесгау забзюдепкй (з случае эргодзчесюгх проц«своа, и. [8.[0-7, О, зто зервз дпя егек средзкх пп времени). если это имеет место, го прагтые зктеграпы [24), (28) обьшип легче зычпезкть, чем двойные интегралы (4).
Таким образаы, эргпдкческое свойства позволяет истопказзгь, например, Ф (е) как хх «частотаый спектр» одной «типичной» реалвзацкк к (!), так как Ф [е) — ч! (е) с зерззтпосгью !. Карр«лап«во!виме фуакппа к спектральные пзотвпсти па аремепв легко зычиспзть дхя фузьцка к ОБ и (!), предсвазпмых в виде сумм периодических слагаемых, В частизсгз, дзя г а — аи гав (евт +«р — вр) прп в« = вы Л.
[т) = —.«о!а!,т; )[ (!) = 2 .«л 2'' ' ху 0 ев ~ прк е,. Более общо, пусть к [!) — дейгтзпгепьзак функция е ограниченной зариацпей в каждам конечном пптзрзззе (и. 4 4-8), пмеювцая конечный средзвв квадрат (среднюю мащ. ность) ( х (0) м), Тогда фувкцкя хто может быгь пред«гаазена почти вводу (и. 4 6-[4, Ь) как сунь!а ае среднего впачззьз (к(О))=-в„веко!араго рида перааднческзх слагаемых к апернодпчеекой компопезты а (!): ав ве ! «а .«03 = ~' гье А +р (!) =с„-1- йх (а„сове,! + ь, в[ив,!)+ р (!) = ь =-— ь=! =г«+ ~ы А! сов(в),(+вр,)+ р (!), А=! е.=о, е,=- — в ь)о, ! ! пр г,,= — (а.— во )= — А,е Ь=г ! (Ь=[, 2 ), 595 (18.!0.38) х (!) - ) е!е! дх>п! ((И), (18, 10.3б) То»да справедливы соотношения (е 3(„,<т)- ~; (сй(а ' й +Л,<Ф= й= — со 1 х;,! <(И>-х!ы((в )- — ~ хр<ьв>де! о 2л е»» (18.10.37) с, + — лу Айсозвйт+Л (т)» й=! бд(„! <»И) ХР (йе) = 2л бв (18, 10- 3 1> СО сйе Ь (иаарвмер в сл> !ае »е ! й = — ОО Обабшванас ПРЕОбРааазаинв Х!п!(из) н к ц н я Ф;п!(н) для стационарного процесса х (!) есть обобщенное преоб- <!8,10-38) Е94 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
