Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 135
Текст из файла (страница 135)
% теория еероятностеи и слрчзиные процессы 18%-6. Таблица 1889 Иятегрвл вероятностей ги! В часто прнннььаются в качестве даееиительннл границ нопипльнаго атлланенил и ялв в качестве и-аничений нарнольнаеа аьпкланенил (см также и, 19,6-1). Заметим, что ! и 10,95 и0,975 1.96 $ и $0,99 и0,995 2% ! и 10,999= но,99% 3,29 (18.8-15) (с) Для нормального распределення прнменяются следуюп(не харвктернстнкн рассеянна (см также табл.
18 3-1): среднее пбсольатнае отклонение (с а, о,) Ч /' 2 м ! л — т ! = а м ! и ! - !)г — а = 0,793 а, и аераиптас тнкланение (в, о., меднана велвчннм !» — Я !) )и (е а — и ь) а= и ау а 0,674а, (а ° ° Фумкцяя ошябок 2 г ег1в — 1е ! ат Уя 3 С Щ В.4 !В,В, СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЕРРОЯТНОСТЕЙ 58! Са о Ъ « х хи и а «х х В ъ)о ! П+ В -;Ы НЕ+о! ЯР ха а « а и ч х а;"« !« Л и Е и 6 о и ВЛ Э Е ае х « е и и и й !а о « Е и о а Л! Я и о $, о И В ч Ч ! а и «« о о ! а и а б х а хк э к Вх ак В Й э и а «х ах хх Р, ГЛ.
ВВ. ТЕОРИЯ ЕЕРОЯТНОСТЕИ И СЛУЧАИНЫЕ ПРОЦЕССЫ 14.4-4. х Е Ф а а е х а х « И э«В х а ха а« -,'«« ,"й, !! их« хо ох«Е« ,!,*.х о ' е и ««Е « а к « о х 1 х Ы а о Ю а а « ха и» о е Л о «! ! о Л а+ « ! а а « ~ аГ !! ! ж Ю "х к а х « х х -х «х « и х. е о Л и о о Л и б в(«Л « ~г Б гл. Рд теория вероятностен и случднные процессы ыдьз. (ВЛ-Э, 18.8. СПЕЦИДЛЬНЫЕ РДСПРЕДЕЛЕННЯ ВЕ ОЯтиоСтеп 583 логоеика лолуширолпы у 2(п 2 а т 1,177а, нижний н верхний кеартило хлу =$+ «Н о=в — ! и ! лу о, х»7 !+ п »Л $ + ! и ! 47 о, зара точности й ==. а)72 18.8-5.
Различные иепрерывнме одномерные распределения вероятностей. Табл. 18.8-11 описывает некоторые непрерывные одномерные распределевня. 18.8-6. Двумерные нормальные распределения. <а) Двумерное нормальное распределение задается плотностью распределения <р (хт, хз)=, ехр [ — (и,' — 2р„илие+ и!г) ~ (!8.8-16) ,)/~ рз ( Г! рз ~ где и = — "' ~л. из=к' ~з (о(>0, и >О, [Р<з<(!) о, ' з о, (Ь) Кзждое двумерное нормальное рвспределенке <1б) может бить опвсзно стзьдзртлВОВЗВНЫин НОРНВЛЬНЫип ВЕЛНЧВНВМН и,, и, С КО»ффнакзпта»4 КОРРЕЛКЦни Ры НЛН НЕВавнсииыын ствкдзртнзовзнныик еорызльнымв велнчкнзив и', и' (и, 18.5-5), з именно.
о (кь зд дх, дхл ехр( — (из — 2р и и + из) ди ди 1 эп[У~ рз ~ 2(1 — рз) л 1з 1 з з 1» фи (из) Ои(и„') ли<ли' =лги (" ) фп (иг) ди' диы (18'8 29) где хл — !л а 1 о„ и хл — !л 3 41» и, — р,лиз "л — / —, )' 'лл [71 (с) Распределение (15) можае представить грзфнчегкн с помощью взлвпсов равной вероятности ф (к„хд = соп»1 ллк лз ВеРозгноеть того, что точке <хи х,) лежит внУтРи эллипса <22), Раве» Хз(2) ( ) что ознзчзег эл = хр (2) (табл.
19.5-1). Две прямые регрессии, определенные урзвкекн оын <17) в <18), делит пополам все хорды зллвпсв равных вероятностей, иду!иве в нв пРввленнах осей хл к х, соогвегс1вевно (сн. также и. 2д-б). РаспРеделениЯ кооРдинат хт и хз ЯвлЯютсЯ ноРмальными с центРамн йм $2 и ДиспеРсиЯми оы и[ соответственно; Р„ — коэффиЦиент коРРелЯЦии межДУ хт н хе. Пять параметров 51, 5з, и,', о'„ р,е вполне определяют распределенне.
йгслоеные распределения х и хз тоже нормальны с М [ хз ! хз ) =51+Рте — ' (хз — ече)! () ( хт [хз ) =и'; (! — Р'„), (18.8-17) М [ хе [хт) =$з+ртз — ' (х< — $1)! () [хз /хт )=о'."(1 — рз ), (18 8 18) так что кривые средней квадратической регрессии совпадают с прямыми регрессии (и. 18.4-6). х, и хе кезалисимы тогда и только тогда, когда ояи иг коррелираеакы (р,»=0, см. также и. 18.4-11).
Заметим, что 1 1 Р ( хт ~ 51! хе =-5» ) =Р ( хт(51! хе (5з ) = — — + —, агсз!и р»з, 1 (18.8-19) Р (хт — 55 хз~$» )=Р(хз ~511 х,)$з )=-- — — агоипРз. 18.8-7. Круговое нормальное распределение, Формула (15) определяет круговое нормальное распределение с центром (21, $») и дисперснеы пз, если р,з=- = О, о,=аз —— и. Йрн этом эллипсы равных вероятностей сводятся к окружностям, соответствующим квантилям радиального отклонения (радиальной ошибки) = у (х, — $1) +(х, — $ )'. Распределение г дается формулами (см.
так)ке табл. 19.5-1) 2г угз) <Рг(г) 1» Цлхл(2) (ол) =5 —, е (г ге О), гял'л Ф. (7() =Р и — 5))'+( — Ыз = 7(е) = $ <р. («) д = й),*< „—.). о (!8.8-23) Отметим формулы ги = [гГХ[7 <Л а 1,177(а (18.8-24) (круговая веронтнзя ошибка), Ыг = $7г.-а = !днээа (И. 8-25) 2 (средина рзлнзльнвв отнбкз). !8.8-8. и-мерные нормальные распределения. Распределение л-мерной случайнои величины (х,, х,, ..., х„) называется п.мерным нормальным распределенном, если оно является непрерывным с плотностью распределения 1р(х,, х,, ..., х„) = л л ехо~ — -2- ~' '5', луз (ху — ь)) (хз — 5ь) . )г ( )" оы [Х)1,1 (18.8-25) д )дз=йзу и [Л;з[=[)гв[ .
— — -1 Норналы<ог распределение елолие олределягпыл своим цеитрам (,"ы 5з, ..., 5л) и матрицей момектоз [к а[ = [лгл[ ' или дисперсиями и козффициекгпами корреляции (ш18,4-8). Характеристйческая функция равна л.(г,,<г. -.и„)---»!~у!к--'г. г.ьгл~ оззлл [ 1=1 /=(З=! Каждое т-ыервое ызргпнзльпое клн условное рзспуеделевке, получзеиое нз нор. изльп ного рзспрелелевкн, квлкетск лорчзльнын. Все гкперповерхностк среаке) кзздрз. зкчегкоа регресевв совпздзюг с соотвеггтвующкын гкперплоскостян р грег' <а, !8.4.9).
л глучайкых ег шпек х, х, ..., з, и»гожих корма,юное л-мерное роглргдгггпиг. к»замке лгзаеигимы глогдз и ллолько тогда, ко~да зки кг коаоггирогаки ( 4. т 1 3'"' л' и 18.4.11). Каждое л-мерное корнзлькое рзспределенне может быть опнсзко кзк рзсарелелзнве системы л вззныно независимых стзказрткзовзквых нзрнзльнык вели п~н, связоннык с нсходнымк велнчвпзил лннойвын преобрззоезнкеы (и. И 5-5). (8.8-9. Теоремы сложения дла специальных распределений (см. также и. 18.5-7 и табл, !9.5-1). (а) Бинамиальког распределение (табл. 18.8-3), распределение Пуассог<а (табл.
18.8-4) и распределение Ко<пи (табл. 18.8-8) устойчивы (ксамовоспронзводятся») при сложении нсзависимых величин. Если случайная величина х яглягтса суммой х = х< + хе+... + хт 584 Гл.!ц теория еероятностеи н случйиные пРО)(Яссы 18.8-1, 18.З-З. 188. ТЕОРИЯ СЛУЧЛИНЫХ ПРОЦЕССОВ 585 1 т взаимно иеэагисимых случайиых величии хз, хз, ..., хт. то /и) из р((«1)=( 1)9«1(1 — О)"1 х( следует рх(х)=( )Ох(1 — 5)" х (п=п +и -1-...+пт), (18.8-28) 11 |х иэ р((х()=е|1(„)1 следует рх(х)=ей «((ьь=ьь(+58+" +ты) (18829) 1 иэ (р;(х() =„—, следует (рх(х) = — „ (4=81+58+ "+Ет) (18.8-30) (Ь) Сумма х=хт+хз+...+х„гзаимио независимых случайных величин х(, х, ..., х имеет нормальное раслргделгиие тогда и только тогда, когда з " х всг оии нормально распределены.
В этом случае 8=4 -[.$ -[-...-«-$„; аз=аз+аз+...+и'„, (18.8-31) Если случайные вехкчивм х, х, ..., х (ае обезетельво кезавкскмме) имеют корр 3'"'' л мааьвме респределеввя, то величава «=ах +ах +...+а х имеет нормальное распределение с центром н днснерсвей, ьнределяемммк фьрмуламк (18,8-22).
18.9. ТЕОРИЯ СДУЧАЙИЪ|Х ПРОЦЕССОВ 18.9-1. Случайные процессы. Случайнмй процесс есть случайная функция х(() от независимой переменной 1. Каждое испытание дает определенную функцию Х (1), которая называется реализацией процесса или выборочной функцией. Случайный процесс можно рассматривать либо как совокупность реализаций процесса Х ((), либо как совокупность случайных величии, зависящих от параметра (.
При этом должны быть заданы распределения вероятностей систем случайных величин х(=-х(11), хз=хгг/з), ... (выборочных значений) для любого нонечиого множества значений 11, (з, ... (выборочных моментов). Случайный процесс дискретен нли непрерывен, если дискретно или непрерывно распределение величин х ((1), х (11), ... для кагкдого конечного множества 1,, 11, ...
Процесс называется случайной последовательностью (процессом с дискретным временем), если независимая переменная может принимать только счеп(ое множество значений. Ьолее общо случайный процесс может описываться многомерной случайной величиной х(() .[х(О, у(() "). Е большнастзе прихожеввй незаваснмьй переменной 1 служит заеме, а ьелкчвва х (1) нлк х (1) означает состоянии физической скстемм.
П р н м е р ы: результаты пьследазательвмх мзбхюдевай, состояния Лиизмачеекой еаетемы з статмствческьй механаке Гиббса илк квантовой мехавнке, соьбщевкя а тумы з системах связи, зременайе ряди в экономике 18.9-2. Описание случайных процессов. (а) Для описания случайного процесса надо задать распределение величины х(1,) и совместные распределения систем величии [х (1,), х (1,)[4 [х((1), х((4), х(18)[, ... Длн кажДого конечного множества значений 1„(з, 18, ...
(перызе, второе, ... конечномериые распределения вероятностей случайного процесса). Эти распределения описываются функциями распределения соответственно первого, второго, ... порядков (см. также п. 1и.4-7): Фп, (Х(, 11) Р [х ((,) ( Хт), Фцв (Хт, (1', Хз, 18) — Р [х ((1) ( Хт! х ((з) ( Хз), (18.9-1а) Дискретные и непрерывные случайные процессы описываются соответст венно вероятностями или плотностями распределения: Р~(1(Х) !1) — Р «х((,)=Х(), р,,(Х,, (5 Х, () — = Р [х((,)=ХЕ «((,)=Х,) (18.9-!Ь) (Х 1 Хы /з)= —, 3 а и е ч а н и е.
Пьследоьзтельаьсть фуакцкй распрехемеике ()а) опнеыьает случайный ирьцесс е возрастающей подробностью, тзк как каждая фувкцк» расвределевця Фом ЬПЬЛНЕ ОПРЕДЕЛЯЕТ ЬСЕ ПРЕНЫДУЩМЕ ФУНКЦИИ РаеаРЕДЕЛЕааа Фот (т < Ц) (и. )зл.т). Это же справедливо и для каждой нз последовательностей (ы). каждая из функций (1) симметрична отцьгаыельио мерегтанозхи аар Х., 1. и Хь, 11,. 4 (Ь) Условные распределения ггроятиослый для случайного процесса получаются из функций (|Ь) тан же, как в п. 18.4.7, например р(Х,, (,; ...; Хт, (т!Х „, ( „; ...; Х„, („)= "" ('1' ' ' "' "' ") (18 9 2а) (гсе — т ( гхьг т411 "' ' м' л) р(Х,, (,; ...; Х, (т [Х „, 1 „; ...; Х„, („) = 'л'( ' ' ' ' х' и) (18.9-2Ь) фггг-тг( т41' т д '" ' х' а) 3 амеч 4 н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
