Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 132
Текст из файла (страница 132)
19.5-3). Случайная величина д„с функцией распределения Фу (У) распределена асимлтотически нормальна, если существует (»л последовательность пар действительных чисел )>л, оз таких, что случайные величины (у„ — т>л)(ал сходятся по вероятности к стандартизованной нормальной величине (п. 18.8-3). Зто имеет место тогда и только тогда, когда для всех а и Ь ) а 1пп Р (т!э+ аал ч.. ул ч..
т>я+ дал) = Фи (Ь) Фи (сф, (18 6 4) л»о где Фл (х) — нормальная функция распределения. Формула (4) позволяет аппроксимировать распределение вероятностей величины у„для достаточно больших л нормальным распределением с центром цл н дисперсией а;-', Заметим, что из формулы (О иг следует ии то, что пл и о„яэляютея масел»этическим ожидание»» и дисперсией эелзчииы у, ии то, что аеследоввтельиасть у сходитсз поверол' л Яткогтк, ИИ »О, Чтэ ПРЕЛЕЛЫ Мрл И Пл ИЛИ Орл И Ол СОЭПЗДЗЮт. НВ СЗМаы ЛЕЛЕ Этн ПРЕ- дели могут даже ие сущестэоззть.
18.6-5. Предельные теоремы. (а) Пус»пь р„— число появлений события Е в и нюависимых испытанияк и Р (Е) =6 — егротпногть пояеленич событил Е в каждом из испытаний. 7'огда !) лоследозательность относительных час»пот йл — — рл/л появления сойыпшя Е за л независимых повторных испытаний лри л — со сходится е среднем и, следовательно, ло вероялтости к Р (Е) =Э (лгеорсма Бернулли); 2) Пл имеет асимптотически нормальное распределение с центром т>л=Э и дисперсией ог = — Э(1 — 6) (см.
также табл. 18.8-3). ! Заметим, что р(рл) — (" ) Э"л (1 Э)" л (рл — 0 1 2 п) (18. 6-5) Мнр =Э, Г>-й=-'Э(1-6). л ' л л (Ь) Пусгпь к), хы ...— последовательность взаимно независимых случайных величин, имгющйх одно и л»о же распределение вероятностей с конечным матгмати'(вским ожиданием 5. Тогда при л сз имеем: л л ! ' ~ЧР 5;=„-' ~ (х! — ь,)'-"О г' = 1 г=) «=1 Р (Е) = И,р,+Иэр,+..
(18,7-2) нормальное ~~ Ы гри 1=1 (18.6-6) ! Твблзиэ 15.7-1 Перестановки н разбиения л! э гдг ел= (бииьмнэгьмые козбйи- цэеиты, п. 21.5-1) Л)И),.Ф) (мультэмомиэлгиые кээффэииэмты) 546 гл. !в тпорня пьпоятностпв н случйпнып проннссы (вл-!. — 1 1) случайная величина х„= — (х,+хе+...+хл) сходится по еерол л ятнос)ни к Е(теорема хин«ила, закон больших шсгл); 2) случайиал величина х„имеет асимлтотичеочи нормальное рис.
предел«нас вероятностей с централ( Ч =5 и дисперсией а-"„=-оз)п лри условии, что существует общая дисперсии аз величин хы хз, ... (глгорема гуиндеберга — Ливи, центрильная предельная пыоргз)а). (с) Пусть х, х, ...— пос!гдавалгельногть взиичко нгзагисимых слу«аиньгх величин, ил)гюЩих конг!ные матсл1ати««скис ожиданич ъ(, 2, ... и дисп«Р ии 1 2 о-",, о":..... Тогда при п — ощ вэр 1) из а-'„' О ел«дуся), что х„— Ел — О; 2) из 1ип —, ~ а,"-=О следует 1 л «о (закон болыиих чисел, теорема Чебышева); л 3) случайная величина ~~ х( илыет асимппютически л РаСПРЕдЕЛЕНие С ЦЕНтРОМ Чл= ~~51 и диел«Р«игй ап= 1=1 условии, что для лгобого положшпсльного числа е и л Ц~~ л( хи если (х( — (и)з ~ е ~~ ~а( 1= 1 1- 1 !пп =1, где г;= л л л ь» ~л а( О, если (х( — Е))э)е ~ и( э= 1 1=1 (центральиая предельния тгарема, углония Линд«берга). )( угэээш! Линд«бэрг« идэвмтвэллют«л, в «э« ллэгти, или гищ «тглгт тиээг лоло жиь!гльнэг «игле и, «эиэ при и «ь —,', ~М)х( — 5,!" — О, Ъ'„+' 1 Х ) ез (и«.ювил Лллунэва)..Х.
г=) 18.7. СПЕПИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАДАЧ 18.7-1. Вводные замечания, Многие задачи теории вероятностей сводятся к нахождению распределения случайной величины х (нлн системы случайных величин) по дайному распределению дРугих случайных величин х(, хэ, ... Кали правило, простые события, отмечаемые значениями величины х„оказы.
' ваются сложными событиями по отношению к аначепиям величин х„х„... ' й шаг е решении любой такой задачи должен состоять в чепвем определении множество элементарных событий, отмеченного каждой случайной ' величиной, Тогда вероятности сложных событий могут быть нычнслены. методамн !зл-2. ькт. спнцнллы(ын мнтоды пншсння внпоятностных зйдйч 567 пп. !8.2-2 — 18.2-6 н 18 5-1 — 18,7-3, Форз(улы (18.3-3), (18.3-6), (18,4 7) или (18.4-27) могут применяться для контроля вычислении, 18.7-2. Задачи с дискретным распределением вероятностей: подсчет событий и комбннаториый анализ. Следующие соотношения (каждое в отдельности или в сочетании с соотношениями пп.
18.2-2 — 18.2.6) помогают вычислять вероятности сложных событий по данному миожестау элементарных событии. (а) Если множество элемеатариых событий конт(но (состоит из И «случаевэ) и есе элеиеитарные события разит)ероягпны, то вероятность сложного события («успехаз), определяемого как объединение И, элементарных событий («благопрнятствующихз случаев), можно вычислить по формуле '!ИГЛЭ бэ«ГЭЭЕЭЭГС«ЭУЮЩНХ Случаев И, вероятность успеха = общее чэ«ло всех случае» Ф' (Ь) Если мно»(ество элементарных со51»тий счетно (коиечно или бесконечно) и событие Е состоит в объединении И, элементарных событий с вероятностями р, и И, элементарных событий с вероятностямн р,,..., то причем И, +Из+... ие обязано быть конечным. (с) Во многих задачах рассматриваемые элементарные события представляют собой различные возможные расположения данного множества или миожесте элементов, так что числа И„Им ...
в ириведеяных выше соотношениях являются количествами перестановок, сочетаний н т. п. Наиболее важные определения и формулы для них приеедеиы в таблицах 18.7-1 — 18.7-3. Свойства факториалов и биномиальных коэффнпиентое приведены в п. 1.2-4 и табл. 21.5-1. Для приближенных вычислений применяется формула Стнрлинга (п. 21.4.2). Дополнительный ыатериал содержится е кинге [18.10), '1эслэ рэзлечеых пере«те»оаэи из л рэзличэых эбьэктьв э) Число различимых пэ«ледевагельиэстгй из И объээтээ, сорержэщнх л щ Л' эерэзличимых объектов типа 1 и Ф вЂ” л эерэзлэчимых объектов гипэ 2, или Ы Число рэзллчимых Пэзбиеэий последовательэегээ ьз Л' различных объектов эз Лэа класса из и щ Л э И вЂ” и объектов «оэгзет«твеэла э) Число различимых пэгленовэтельээсгзй из И = Л'1 т Из -1-...
т И ьбъгэ'гэз, салэржээ(их У иерззлэ иэмйх объгктэв тина 1, И, неразличимых объектов гэпэ 2, ... и И эерэзлэчэмых объектов тэлэ г, или Ы чйсль рэзлэчэмых рэзбэззэй последователь»асти Л' = И , Из-1-...-(- И различных объектов иэ г классов из И, И ...,, И эаьгктэв гоэтвет- стээээа Т а б л в ц а щ.7.2 Число рззлнчвмы» неупорядоченны» сочетаннй нз )Ч объектов разннчваго типа по а в каждом: а) объект каждого типа может встречаться не более одного раза в любом сочетанвн (гочстония бсэ повторений) Ы объект «эждого типа может встречаться О, 1, 2, ., нлн а раз в любам сочетания (сотетпния с аоэторениями) с) объект каждого тапа должен встречаться по крайней мере одна рзз в каждом со чета н на (ЬГ'1 )У (гт' — !)...
(А) — а-1-1) = ( ) а) Ы объект каждого тапа может встречаться О, 1, 2,... нлн а раз в каждэй выборке (эмборка с эоэээпщснием, поэме. щеныл с поэтэээнаем) ТО р (8)=(з+зз+...)н= ( э ) а=а Т а б л н ц а 18,7-3 а жт Ьй ба(8) = ~н — "-8 =(1+8)а) Ь),=ЯА ~ Ь=О то 666 ГЛ 18 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕП И СЛУЧАИНЫЕ ПРОНЕССЫ 18.7-2 Сочетания н выборки Каждая формула справедлива для гт'< а, А( = и в А(~ а Число рззлачвмы» выборок (размещеанй, упорядоченны» рядов) объема а нз совокупно«тн А' различнаго тяпа объектов; а) объект каждого типа может встречаться не более одного раза в любой «ыборке (эыборки без эсээращгния, размещена беэ повторений) П р н мер. Дава множество А! =3 разлнчаого типа элементов а, Ь, с, Для а =2 су~пествуют 3 сочетания беэ неетоэсния (пЬ, ас, Ьс), з сочетаний с аоетэреналма (аа, аЬ, ас, ЬЬ, Ьс, съ), З раэличамык выборок бээ ээээращения (аЬ, ас, Ьа, Ьс, си, сб), 3 раааа чимык выборок с эоэээащснием (па, аЬ, ас, Ьа, ЬЬ, Ьс, са, сЬ, сс).
Размещения в ячейках илн расположения каждая формула справедлива для ьг< а, м= а в ь) > а 18 7.3, !8 7 спениАльные методы Решения ВеРОятнОстных ВАддч 669 16.7-3. )( Применение производящих функций. Теорема Пойа. (а) Сочетания аз л разлачнык объектоь А,, Аю ..., Аа ло А без повторений могут быть получены как коэффициенты (за производящей функции а Р (3) = ~ сгьз" =(!+А,з) (1+АП) ... (1+Ааа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
