Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 127
Текст из файла (страница 127)
(18.2-8) Распределение многомерной случайной величины хы(хт, хз, ...) задзется функцией совместного распределения Фх(Х, Х, ...)жФ(Х2, Х, ...)амР(х <Хтч х сХ, .„), (18.2-9) Обратно, функция распределения определяется по данному распределению вероятностей однохйачно для всех значений случайной величавы, ва возможным нсключеннем множегтвх меры нуль (и, 4.8.14). Функция распределения всегда определена однохвхчно в точная непрерывности. Каждая функция рхспредслення являетен неубывающей фувхпвей от каждого нв своих аргументов н Фк ( — со) = О, Ф (+«о) =1, тх( «о Из Хр .) Фх(Х<,— со, Х...,)=,,=о, Фх <+ ох —,— . + ю, „) = ! (!8 2-18) <18.2.1 и 18.3.
ОДНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 18.3-!. Дискретные одномерные распределения вероятностей (примеры см. в табл. 18.8-1 — 18.8-7). Действительная случайная иелнчнна х называется дискретной, если вероятности р„(Х) == р (Х)== Р (х«ыХ» отличны от нуля только для счетного множества спектральных значений Х= =Х„„Х„„... (снектр дискретной случайной величины). Каждое дискретное распределение вероятностей описывается или функцией (1) нли функцией распределения Ф„(Х) = Ф(Х) ==- Р (х С Х» = ~р~ р (Х,!,.), (18.3-2а) Х<;)СХ Функцчю рхспределення удобно зхнвсызать с помощью еденвчной фупхчвн У« (О такой, 'по у.! (!) =-.ч прн! о, у <0 =1 прч ! ъс (и. 21.2-!): Ф (И) — Р(Х<!)) У (Х И<!)) + Р (ХР)) У (Х Х<2)) + .„<!82Ь2Ь) В настоящем справочнике символ ~Р~ у(х) обозначает сумму значений функции у (х) по всем спектральным значениам дискретной случайной величины х. Бзметим, что ~ ! р(х)=Ф(+ сз) =1.
(18.3-3) к 18.3-2. Непрерывные одномерные распределения вероятностей (примеры см. в табл. 18.8-1!). Действительная случайная величина х называется непрерывной, если ее функция распределения Ф„(Х) = Ф(Х) непрерывна н имеет кусочно-непрерывную производную — плотность распределения вероятностей величины х! !р,(Х) «ж!р(Х) ьн 1пп зх =ах ' (18'3 4) Р(Х хСХ (-ЛХ» «(Ф *) В некоторых руководствах функцня распредехення определяется несколько иначе: Ф (Х) == Р <к Х». 18.8-2. 18.3. ОДНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 643 )з.в-з (18,3-6) Р(х< "р)='РР/)4 р (О<1'<1). ~у(х) р(х) у(х) лр(х) дх (х дискретна), (18.3-7) (к непрерывна), Му(х)= ~х р(х) х хлр(х) дх (х дискретна) (х непрерывна), (18. 3-8) ~3~(х — $)з р(х) (х — $)з лр (х) л(х (х дискретна) 1 1 лр (х) = — гааз лр (х) - — лр (1 2 2 ю ' 0х=п' = М (к — $)'= (х непрерывна) распределении 18 Г.
Карп н Т. Кори 644 Гл. !3. теОРия ВеРОятнОстей и случАЙные пРОцессы м,з-з Дифференциал ЛФ= 8) (Х) ЛХ вЂ”. Р (Х (х(Х+ЛХ) называется влементом вероятности. Отметим формулы Х Р(х(Х)РЯФ(Х)= ) лр(х)бк, ь Р (а ( к ( Ь ) =. Ф (Ь) — Ф (а) = ~ лр (х) дх, а лр (х) дх=Ф (со)=1. (18.3-6) Если х — непрерывная случайная величина, то каждое событие (х= Х) имеет вероятность нуль, аа ие аблзалнельна лзллеимя невозможным. Спектром непрерывной случай. ной величины х называется множество значений х = Х, в котоРых Ч (Х) т= О. 18.3-3. Математическое ожидание н дисперсия, Числовые характеристики одномерного распределения вероятностей (см.
также и. 18.3-6). (а) Математмческое ожидание (среднее значение) функции у (к) от дискрет. ной илн непрерывной случайной величины к есть если вти выражения существуют в смысле абсолютной сходимогти (см. пп. 4.6-2). (Ь) В частности, математическое ожидание (среднее значение, центр распределения) Мх=$ и дисперсия Ох=аз дискретной илн непрерывной случайаой величины х определяются по формулам Для вычисления дисперсии можно применять формулы Ох= аз = Мха — $2 = Мк (х — 1) — $ (К вЂ” 1). (18. 3-9) Если существуют Мх и Ох, то средний квадрат отклонения М(х — Х)'=а*+ (1 — Х1' случайной величины х от данного числа Х будет наименьшим (и равным в') прн Х =в, (с) Мх и Ох ме являются функциями от х; это-функ((монады (п.
12,1-4), описывающие свойства распределения случайной величины х: Мх характеризует полажеиие величины х, а 0х — ее рассеяние. Определения других числовыи характеристик одномерного распределения вероятностей даны в табл. 18.3-1 и в пп. !8.3.7 и 18.3-9, Заметим, что некоторые параметры типа Мх, 0к„ М ~х — $(, ... могут ие существовать у данного распределения вероятностей. (б) 1абл.
18.8-1 — 18,8-7 и 18.8-11 дают математические ожидания н дисперсии некоторых часто употребляемых распределений. 18.3. ОДНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕИИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 646 Т а б л и ц а 1В,З.) Числовые характеристики одномерных распре (см также пп. )В.З.З, Ы.З.У, )В.З-О) (а) Кзантили. Кзантиль порадка Р одномсркога распределения есть такое значение хр случайной величины з, для которого хл/ есть медиана распределении Кзартнли х / хл/ х / децили х аз .
Ха,..., Хе ДСЛЯГ О5паетЬ НЗМЕНЕИНЯ Х Саатзстетэсииа На 4, 1О и 1ОО ннтераалов, йопадаиия н которые имеют ранаые вероятности. Каантнлн существуют у каждого распределения вероятностей, на они не обя- зательно однозначно определены. Таблицы кнаитнлей ширина используются а ста. тистнке (пп. 19.5-3, 19.5.4). (Ь) Характеристики положении. 1, Целлтр распределении (математллческое ожидание) Мх = 1 (п. 18.3.3). 2.
Медиана хл/ (см. выше). /з 3. Мода нелрерывнага распределения есть точна ианснмума плотности расп еде- леиня вероятностей О (х). Мадз Васкрлшиога распределения есть такое спектральное Р значение $ ю чта предшествующее н следующее за ннм спектральные значения имеют вероятности, меньшие чем р (1 ). Распределения, нмелощне адиу, дее или более мод, называются соответственно однамодальными, двузмодальиыми или многамадальнымн, (с) Характеристики рассеянии. 1. дисперсия в'= Ох (и, 18.3.3).
2, среднее квадратическое отклонение (стандарт) а = )' Ок. 3, Коэффициент вариации вдь 4. среднее абсолютное отклонение м ) х — 1 ). 5. Ннтеркзартнльная шнротз х / — лл/ и (19-98)-процеиткльная широта "О,З "8,1 8. Размах (разность между наибольшим и наименьшим спектральными иначе. и няни). т. Полуюирота одяачодального непрерывного распределения есть полуразность двух значений величины х, в «оторых (в) характеристики асимметрии и эксцесса. первые дэе из вваднмык ниже ха.
рактернстик определяются через моменты Лом. пп. 18.3-7 н 18.3-9). 1. Коэффициент асимметрии у, = —, ПЛ Ил П/» н/4 3 з 2. Коэффициент эксцесса у, — — 3 =— 144 Я4 и) и„. 3. Пврсаноеская мера асимметрии для одиомадальиого ь — Зш з = — (см, также и. ГКЗ-5) а Вместо величии у и у употребляются также уз н уз+ 3 нлн — (у + 3). 1 1 3 3 2 з ! 8.3-7. дг47 Ч' у (х) ф (х) М у (х) = ~, ф(х) х Р(х) = — ф (х) = ф (х) Ъ' ф (х) х (18.З-)О> у (х) ф (х> дх М у (х) = ф (х) дх — со Хх Р (х) (х днскретиа), со (18.3.17) х" ф(х) ах (х непрерывна).
1 ф(х) се (х) = - - ф (х) = й оэ ф (х) дт (!8.3-Н) ах=Их'= » х" йФ(х)= ~'~(х — 5)' Р (х) (х дискретна), х р,=-м(х — 5)" = ) (х — $)гсю(х)= (х — О)' Оэ (х) с(х (х непрерывна). (18.3-!3) (18.3-18) е( 1 = Мх(г) = Мх (х — 1> ... (х — г -1- 1>. (18.>-12) М (х- Х)э = 14, ф (й — Х)' > Ип — с+1в пе — ме — — е(О1 = Р о (18.3-28) 546 гл. (в тпория всроятноствн и сл>чйиныв процвссы )з.з-4. !8.3-4. нормирование. если известно, что фуннцнн ф (х) ?л О пропорцеоналсне веро. ятноств р (х) днсаретной случайной величины х (в. 18.3-1), то „„., еи ф ( ) гв О пропорциональна плотности Е (л) Расорецехец"" "е"Р Ры ной случайной величины х (и. М.3-2). то В обоих случаех 1)й называетсн нормнрующнм множлтелсм.
подобный метод применим н в случае многомерных распределений. 18.3-5. )( Неравенство Чебышева и связанмые с ннм формулы. Неравенство Чебышева дает оценку сверху дая вероятности того, что абсолютное отклонение >х — 5~ случайной величины х от ее центра распределения 5=Мх превзойдет данное число Р «! х — 6 ! З а» (о— , (а > 0). (18.3.12) Если все значения в ~0, то имеет место оценка Р «х ) а» .$- (а ) О).
Если х имеет непрерывное одиомодальное распределение, то справедлива более сильная оценка Р «)х — 5! хна» ~-~- (18.3-14) где 3 в пирсоновская мера асимметрии (табл, 18,3-1); заметим, что 8=0, если распределение сил!метрнчио относительно моды. 18.3-6. Единое описание распределений вероятностей с помощью интеграла Стнлтьеса. Изучение дискретных и непрерывных распределений вероятностей можно объединит!О если представить вероятность каждого события «а ( х ~ Ь» как интеграл Лебега — Стнлтьесз (п.
4.6-17) ь Р «а < х < Ь» =$ аФ(х), (18.3-15) ) и ,1, Р « .~ Х» функция распределения случайной величины х (пп. 18.2-9, 18.3.1, 18,3 2) В случае непрерывного распределения интеграл (15) приводится к ивтегралу Римана. В случае дискретного распределения функция Ф (х) определяется формулой (2) и интеграл (15) приводится к сумме ~ Р(х) ищх<Ь С помощью интеграла Стилтьеса мы получаем единые выражения со со со Мх = ) х сЮ (х); М у (х) = ) у (х) сЮ (х); ()х = ) (х — 5)т сЮ (х) (!8.3-1м) как для дискретного, так н для непрерывного распределеиийг Интеграл ) м,з.
одномгщ!ып рдспрвдплвния ппроятноствн Стилтьеса применим также и к более общим распределениям, в часпюсгп. к распределениям, которые частично дискрстны, а частично непре чио непрерывны. Аналогичные понятия применяются в случае многомер (пп. 18.4-4 и 18.4-8). рных распределений )8.3-7. Моменты одноатерного распределения вероятностей. (а) Моментом порядка г ) 0 случайной величины х относительно числа Х называется математическое ожидание М (х — Х)'.
( ) частности, начальный момент порядка г,относительно Х =0) ес ь (Ь В Ц=Мх) есть р льны момент порядка г (относительно центра распред еления нлсс 14 лю сутестеуют г ( РЛД) длх иг ихи Н РО ХсдитСЛ, Н!Е расходятся е, „„... (ряди) длх нй и мй нерлдхее е т Бслн распределение веровтностей снмметрнчно относнтельно своего центра, то все Ссущссэвую!цне) центральные моменты и нечетного порядка г Равны н лээ. анны нулээ. называется (с) Фааторнальным моментом порядка г случайной велнчнны х относ ельно Х вЂ” О нт центральным фаеторвальным моментом порндна г называется М (х — Ф(г1 Абсолютным моментом порядка г относнтельво х =О иазываетса Р = М>х Отметим формулы г (ф Однзмернес Реслр д лениг веРолтностей СДнсзнетс е еДех й и, Е, и НЕ.
"., ЕСЛи ЗСЕ Епи Сринстзрот и ЕСЛи Рлд хч' й схоД л ГС) л Ри лей=о """'Ром а > О (см также соотношение (28) н сноску на тр 848) (е) Примеры приведены в табл. 18.8-1 — 18.8-?; в п. 18.3-10 указана связь между а, р и а(,1, 18* ГЛ. 18 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙПЪ|Е ПРОПЕССЫ !8.3-8, ~~ре'чкр(х) (х днскретнз), к (!8.3-21) елзктр(х) йх (х непрерывна), у (д) »а ййелск — ~ влек йФ (х)= где — действительная переменная, изменяющаяся от -оо до +оп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
