Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 126
Текст из файла (страница 126)
Вводимая далее аксиома 4) связывает чабсолютную» вероятность Р «Е», относящуюся к данному испытанию, и суслоннуюз вероятность Р (Е! Е,), отно- сящуюся к испытанию, ограниченному дополнительным условием осуществле- ния события Ег. Условная вероятность Р (Е ) Е,) события Е при условии осу- ществления события Е, определяетсн аксиомой 4) Вероятность совмещения событий ЕПЕ( равна Р «Е П Е, » = Р ( Е(» Р «Е [ Ег» (и разила умножения зераятвюпей)! еероятиасть Р (Е ! Е() нс определена, если Р (Е,) =О. Па отношению к указанному зын1с агравнчзннаму» испытанию асс величины Р (Е ! Е,» являются абычнынн вероятностями, яиенна зераятнастямн сазксщзнных сабы- тнй БОЯ» абразующнх алгебру 8 исходов звжа испытания (н. 18.2-П. Нз арактнкекаж.
дая ззраятнать может быть нсталказана как условная вероятность, соответствующая кека. тарым услазнян, налаженным арн празедсннн испытания. 18.2-8. Независимость случайных событий. Дза события Ег и Е, назы- ваются иезависимммн (независимыми ио вероятности), если Р (Е, ПЕ,» Р (Е,» Р (Ез», (18.2-1) так что Р(Е()Ех»=Р(Е(», если Р(Ет» чьО, н Р(Ет) Е,»=Р(Ез», если Р«Е,» та О. События Е, Е, ..., Е называются незавнснмымн в совокупности, если х "' /у выполняются все указаньые ниже соотношения: Р ( Е; П Е/) = Р ( Е; » Р ( Е/) (1 «1 < / «А/), Р (Е! П Е/П Еа»= Р «Е() Р (Е/» Р «Еа» (1 « / С / ( й «А()* Р(Е ПЕ П "ПЕ»=Р(Е(» Р(Е2» "Р(ЕБ+ 18.2-4.
Слажныз нснытаннн. Нсзазисямыа всиытанян я повторные нсззннснмыа нснытання. Часта нснытанне нежна расчленить нл атдельныс частнчныз нспытаннк (ск, также ни. 18.1-3 н 16.8-0. Результаты первого, второго, ... частичных нсаытаннй абазна. чни чс ез Е', Е", ... Резтльтат Е сложного испытания может быть списан как сазизще- ннз событий Е ЕТОЕ" (! ..:, в общем случае нх всраятнастн будут зависеть ат нрнрады н взанмадейстаия чзссичнйх нснытанвй. дза [нлн балес) частячвых нснытання называются незавнсвмымн, если независимы нх результаты ', Е", ..., л аты ЕС Е", ..., налучсвные з лраясссс слажкагз иснытанил.
Если некатарае а частнчн с кехада прн нразедзннн слажнага нслытання равна соответствующей з ра а нсиытанне аеззайсина ат летальных, та зераятнасть асущсствлення любого ег е ятнастн и в Р самостоятельном нразсденин чзсснчнага испытания. П а ымя исзаввснмымв вснытанинми называется паследааатзльнасть независи- мых испытаний, кзжхаз вз катарых имеет адин н тат же набор возможных ис д авт рн ха аз Е в кх ае аятнастей Р (Е». Взраятнастз лалрчсния алредслекксй лттдазатальнзсти рсзуль.
кх аераятнасте нннлт Е, Е ...„ Е кри лрзтдснии л лазтаркьи незазисимых нспитапий ралли а "" н Р (Ед. Еа.:ч Еи» = Р (Е ) Р (Еа»:. Р «Е„». (18Л.Ф Т а б л и ц з !8.2-1 Вероятности логичесан связанных событий (а) Веразтнасть нзасущестзлсння сабытия Е Р(Е»=! — Р(Е) Вераятнасть осуществления хотя бы одного нз двух событий Е, н Е, (Гс влн Бз кли обоих> Р (Ес Ц Ез! -Р (Е.)+Р(Б*» — Р(Я П Е.» Р(Е,ПЕ, П... П ЕБ)- =Р (Е» Р (Е,(кс)... ... Р(ем(ет П Я, П ... П ед,) Всраятнасть сазмзщения всех сабытнй Е, Е, ..., ЕБ Р(Е(Ц Е Ц ° ° ° Ц Е/4»= = ! — (1 — Р (Е,») Х х ( — Р «е ))" (' — '(Бм») (Ы Веразткасть асущестзлскня хата бы аднага нз Ф независимых з савакупнастн событий Е, Б, ..., ЕБ 1 'З Вераятнасть сазисщеинк сабытнй Я, Е, ..., ЕБ, нсзззнснных з сова- купнастн Р(Е! П Е П...
П ЕБ» = =Р(Е(»Р«Ез»" Р(ЕБ» Вераятласти асзшсстз знал не менее т н точно лс из Б (ле збззатсл на нсзазисизщх) ссбитий Е, Б..., ЕБ разам саатзстстзснна 1 З 8/ !)/ — т(/ — 1) Б /=т ~! / — т(/) Б /=-Л1 (т=(, 2, ..., Ф). (18.2-4) гдз Б( — — У' Р (Е/~ Б У' ~~~ Р (Е. П Ей»' ... ББ=Р «Е ПЕхП ... ПББ» (1823) 1 1<2 Заметим, чта /ч й/ Б ° = ~ ( ) Р( ~П~ ( ) Р .! (/ =1, 2...,, а/). (16.2-6) а = !' а = (' Если Я, Е..., Ем независимы з санакуннастн, та вслнчнкы (6) арнвадятся к сим- метрическим фуккннзн [1,4-9) ат Р (Е!» (табл.
16.2-1, Ы. П р и ме р ы, Если зераятнасть выпадения каждой стороны игральной кости ранна 1/6, та зераятнасть аынадекнн или 1 или 6 есть 1/6+ 1/6= 1/3, аеразтнасть нсзыладскил 6 есть 1 — 1/б 6/6, вероятность выпадения 6 хоть один раз за дза брасанвя насти есть 1/6.1. 1/6 — 1/% 11(36, зераятнасть зыаадення 6 точна здим раз за два брссаннн кости есть 1/3 — 2/36 6/18 зераятвасть аынадсннн 6 дважды за дна брасання есть 1/36. 18.2-3.
Правила сочетаний (см. также пп. 18.7-1 — 18.7-3). Каждая нз теорем табл. 18.2-1 выражает вероятность некоторого события через вероятности других событий, логически связанных с ним. 842 Гл. 18 теОРия ВеРОятнОстеЙ и случАЙные пРОнессы 18 я 8 (18.2-7) Формула (т) позволяет вычислять «хпостерворные» вероятности Р <Н! ( Е) через ° хприорные вероятноств Р <Н!» «гипотез Нт, 18.2-7. Представление собмтий как множеств в пространстве выборок. Каждый класс $ событий Е может быть представлен как множество й попарно несовместных событий ЕфО так, что каждое событие Е есть объединение некоторого подмножества событий из у.
у называется пространством выборок илн множеством элементарных событий, связанных с данным испытанием. Каждое множество элементарных событий Е из й соответствует некоторому сабы. тию Е. В частности, само й соответствует достоверному событию, а пустое множество из у — невозможному событию.
Вероятности г(Е» могут рассматриваться при этом как значения некоторой алдитивной функции множества, вероятностной функции, определяющей распределение вероятностей в пространстве выборок.. Таким обрезом. алгебра событвй $ ввоморфно отображается нх алгебру нзмервмых множеств (см. также пп. 4.8-И, Ь н 12.8-4). Множество вхементврных себытвй, соответств)тощее условным вероятностям Р <Е ! Е,», есть подмножество, сост«екающее собмтве Е,.
Обратно, множество влементхрных событий, связхвное с некоторым вспытеннем, может рхссмхтрчвхться кхк подмножество в пространстве выборок, связанном с более общим вснытвнвем. 18.2-8. Случайные величины. Случайная величина есть любая (не обязательно численная) переменная х, езначенияь которой х=Х обрззуют множество элементарных событий <х=Х) илн, другими словами, обозначают точки в пространстве выборок.
Соответствующее распределение вероятностей называется распределением случайной величины х. Каждая нзмервмхя функция (и. 4.6.14, с) х, определенна» ва некотором множестве элемента ных событий, есть случайная вехнчннх: ее рхспределенне ввдхется ьероятностямн событий — измеримых подмножеств значений х. 18.2-9. Описание вероятностных моделей на языке случайных величин и нх функций распределения. Во многих задачах элементарные события Е бывают отмечены значениями Х действительной случайной величины х. Таковы, например, результаты измерения. Сложные события, скажем, <хса», <зшх )О 5» нлн <к=ага(22), соответствуют измеримым множествам значений величины х.
Более общим образом каждое случайное событие может быть отмечено упорядоченным набором Х=(Х<, Хз, ...) действительных чнсет Хю Хю ..., который дает чзначениев многомерной случайной величины хс— ц (х„х,, ...). Каждая из действительных величин хю хз, ... сама является случайной величиной. Если множество элементарных событий, связанное с данным испытанием, отмечено случайной величиной х нли х, то вероятности случайных событий однозначно описызаюпкя распределением вероятностей етой случайной величины. В настоящем справочнике все действительные случайные величины считаются эадвннымн в интервале ( — со, +со); значения случайной величины, ие соответствующие эдементарным событиям Е, трактуютсв квк невозможные события н нм припнсмвается вероятность О.
18.2-8. Теоремы Байеса (см. Также п. 18.4-5, Ь). Нуслм Н(, Ню ... — последовательность попарно пмхммеспмм(х событий, образующих полную группу. т, е, Н, () Н, () ...=7. Тогда для каждой пары событий Нн Е имеет место формула Бвйеса Р <Н ~Ż— Р(н Ое» Р<н!»Р<е~н» Р<Е) ~~Р Р <Н!» Р <Е )Н!»' Распределение действительной случайной величины х задается ее функцией распределении *) Ф (Х) нн Ф(Х) Ре Р <х ( Х».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
