Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 129
Текст из файла (страница 129)
Мате!латнческое ожидание, моменты, ковариация и коэффициент корречиция. (а) Математическое ожидание (среднее значение) функции, (хп хз) двух случайных величин х» хз определяется через их совместаое распределение формулой Му(х„хз)= ) ~ у(к,, кз) йФ(к„кз)= ~~ ~х~у (х,, х,) р(х,, хз) для дискретного к, к, распрсдсленяя, со са (18»О8) для непрерывного ' распределения Заметим, что 1 < р < 1 ) =Мх х — 5Д~ — — р<за(аз. (18.4-11) 1Е.4-5. Условные распределения вероятностей, связанные с двумя случайными величинами.
(а) Распределение системы двух случайных величин хм хз определяет условное распределение величины х, при х,=ХМ и условное распределение величины хз при х,=ХР В случае дискретного совместного распределения эти условнйе распределения также являются дйскретными и описываются условными вероятиостямн (п. 18.2-2): р (Хо Хз) Р 2(Х! ~Хз) Р(х! Хт [ха Хз) р <хь х,) Рт ~ ! (Хз [ Х!) = — Р [хз = Хз [ х! = Х<) = <х > В случае непрерывного совместного распределения условныс распределения вельчин х, и хз также являются непрерывными и описываются условными плотностями распределений: !р (Хь Хз) р„,(Х, [Х,)= (Ь) Отметим формулы ~Р, р,, (Х, [ Х2) = ~' р,, (Х, [Х,) =, лз к ~ !Р! ~ 2 (х! <! ха) йх! = ~ <Р), ! (хз ! х! ) дхз = 1, (18.4-!4) р,(Х,) и Н (Х [Х,) к, Х ! Х 2 ( 2) ! ! 2 ( <[ 2) к (Х Х)= "( ') ' '( " ') —, <Р! 2 <' <! 2) В (»)92 )(Х2[»)ал ф,(х)в,,з( <<Х2) Ц<2! ! ( 2! !) ! В2( 2)ф(~2( )! 2) 2 (форл<улы Байгса, см.
также и, 18.2-5) ()8.4-15) ( с) Если дано дискретное или непрерывное распределение вероятностей системы двух случайвык величин х, и хг, то условное математическое ожида- ние фуннцни у (х„хз) при хз=Х, есть М [у (х!' хз)[Х!) ~'„у(х(, хз) рз<! (хй<,х!) для дискретного распределения, (18.4-15) ! у(Х), хз) 9<2, ! (хз!Х,) дх, лля непрерывного распределения, если эти выражения существуют в смысле абсолютной сходимостн. Заметим, что М (у(х<, х )<Х!) есть функция от Х<.
552 Гл. <й. теОРия ВеРОятнОстей и случдпнъ)е процессы )з.4-з. <з 4-2. )з4. многомерные Распределения ВероятнОстеЙ 553 П р н мер. УслОвные дисперсии зслнчвн л, з л, равны соответственна О (з, Хз) М ((», — М (лз! Хз))"-,Х ), О (х„х,) = м [Р, — м [„< х,))з х,[ 18.4-6. Регрессии (см.
также пп. 18 4-9 и 19.7-2), (а) Если дано распределение системы двух случайных величин х н х, то о регрессией хз на х, называется любая фуяция йз(х,), приближенно прсдз стзвляющая статистическую завясимость х, от х,. 1!ри этом величина хз представляется как сумма двух случайных величин х, =уз (х,)+ Ь, (х„х,), (18.4-18) где Ь,(х,, хз) рассматривается в качестве поправочного члена (остатка). В частности, средняя квадратическая регрессия х, ма х, л распределения, йз(х)ЕЙМ(х,[х,)= со ~ ~~ ~ ! а | ~ ~ а ь хз рз ! (хз [х!) для дискретного (!8.4-!9) !" хз<рг,,(хг'х,) йхз для непрерывного — со распределения минимизирует средний квадрат отьлонеяия М [х, — дз (х,)[з = М [Ьз (х,, х ))'.
(18.4-20) Соответствующая кривая ха= М (хз[х!) называется кривой средней нввдрми- ческой регрессии величины хз. (Ь) Часто оказывается достаточным аппроксимировать регрессию (19) линейной функцией 5 +5 (х ь ) [)з =р — (ли <г ыая регр ссия х <и! х ) пс 2 ! (18.4.21) Урзвненне (21) описывает прямую линию — поямую регрессии величины хз; 5м есть коэффициент регрессии хз на хм Формула (21) представляет лияейную функцию ах, +Ь, коэффициенты которой а=[)2! н Ь=,— [32Д, мннимизируюп средний квадрат отклонения М [х, — (ах, + Ь) Р = а'.-', + а а," — 2аР ма газ + [5з — (а5! -[- Ь) [з.
Наименьший средний квадрат отклонения (остатачнан дисперсия) равен а'„'(1 — р',з); таким образом, коэффициент корреляции ры измеряет хачгство снаилучшггоз линейного приближения. <с) Регрессия (<9) мажет быть зппронснмвроввнз более точно с помоп<ью многочлзвв стспсвв ю > ! (пзрвболнчсскзн регрессия порядка т) нлз с замоа<ью других фуннцва, нозффвцнзнты которых выбнрзются тзк, чтобы мнннлсвзнразвть отвлансннс (20). <6) полн рзссмвтрнвзть в ззчсствс йсззввснмай переменной величину лз, то мы получнм подобным образом срсдз!ою нвздрзтнчссную регрессию зз нз ха й, <х,) = М (л,;л,), ((З,4-22) в лнвсйную рсгрсссню к, пз ка й (лз) аз+5' Мз йз) ŠР— 3, ()й.4.29) о,' ззмствм. чта в общем случае нв функция ()9) н (ю), нн фуннцвн (2!) в (23) нс являются взвнмна обрзтнымв.
Вес линии рсгрессвн проходят через центр (М 14) распределения вероятностей. !8.4-7. и-мерные распределения вероятностей, (а) Распределение системы и случайных величин х„, хй,..., х„ или и-мерного случайного вектора х задается функцией совместного распределения Ф, (Х), Ха, ..., Х„) Еп Ф (Х„Х2, ... Х„) =Р (х! < Х<, ха < Хз ..., х„< Хл) (!8.4-24) 18 4 8 184 МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕИ БББ ГЛ. 18.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕИ И СЛУЧАИНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.4-7. ( ф„(х„х,)=Ф(х,, х„,", ); Ф (Х)=Ф(со Х со са) и т. д. (Ь) п.меРнаЯ слУчайнаЯ величина х ив м (х„хз, ..., х„) называе)сЯ ДискРетной (имеет дискретное распределение вероятностей), если совместные вероятности Р(Х>ХзХ)Р(Х)ХзХа)Р)(х>Х(хзхзхаХа (18.4-23) отличны от нуля лишь для счетного множества (спектра) точек (Х,, ..., „), ,..., Х т. е. если каждая из величин «1, хз, ..., х„дискретна (см. также пп.
18,3-1 и 18.4-3, а). Раса еделеиив подсистем с«у гзйвых величии и уг«авиые рзсаредевевия апредевяасаред ются гзк же, кзк в пп 18 4-5,« и 18,4.5,«, т е Р(З(Х> Хй) — ~Л~...~~~ Р(Х> ХЗ «З,. «а) «3 «а РЗ (ХЗ) =~ ~П~ .. ~~~ р («1, ХЗ, «3 ..., «а) — ~~Л р(З (х1, Хй) Н т «1 «3 «а «1 Х Х Ры (Хг. Х Х) Р()З(»1(ХЗ)= (Х ) 1 Р>)ЗЗ(»1)ХЗ, 3)= (Х (с) и-мерная случайная величина х пн (хл, х„..., х„) называется непрерывной (имеет непрерывное распределение вероятностей), если функция распределения Ф(Х„ХЬ...,, Х„) непрерывна всюду и если плотность распределения вероятностей ф (Хл, Хз...
г Ха) == (Р(Х>, Хз, .' Хл)= бх зт л» ( ) существ) ет и кусочно-непрерывна. Дифференциал (р(хл, х„..., х„) дх, дх, ... дх„ называстся елемеитом вероятности (см. также пп. 18.3-2 и 18А-3, Ь). Спеитр ьепрерывнога распределения вероятностей есть множество всех точек (Х,, Х,, ..., Х„), в которых плотнос~ь распределения (28) отлична ат нуля, (б) Отметим формулы ~ар(хм хз " хи)=1, «х «„ га га га ф (хз, хз, ..., х„) дхл дхз ... дх„=1, (18. 4-27) (п. 18.2.9).
Распределение подсистемы т( и величин х,, х,, хю есть щ-згери ое распределение, получаемое нз исходного распределения (маргинальное распределение). соответствующая Ррмерная функция распределения (иаргин лье. ная функция распределения) получается нз и-мерной функции распределения (24) подстановкой Х)=са для каждого из и — щ аргумектов Хр которые ие входят в выбранную подсистему, например, 'лагваюн ~н«г ы«м в ан л*н ~«аагаагбгынна и у га °, юе аа«, ~в«мы«вэ аеарерывнага а-игр«ага рвсаределеввз веровгвастей, апредвлвюгсг ~внй жг, «зк в па, 1ЬА-З, Ь и 1Ь.4-5, в, в«пример, а а>ы (Х„Х,> Ч, (Х,> ЕПЗЗ(»г( Хг, Х,) =- с ы (»а Хь»г> ры(»ы»,> (Л', Х, ) Х > грыз (», Лг, Хг) ( ) т~(ебглгг~ггг гагаггмгг двух мла ба«ге мнвгамгрн г„„чай„ ( г ««) у Ыг у«) еггь савмесгвае распределение всех величин л хг уг уг 3 ам е ч в и и е, савмегтвав рггвредглеиив может акввзгьгв дискретным па оввай м«в весвавькмм случайным величинам и иварерыввым аа другим; «раме тога, квжагв сга.чзйввв каардвивтз может Сыть чггтичва двскрегвап и частично непрерывной.
18,4-8. Математические ожидания и моменты (см. Также п. 18.4-4). (а) Математическое ожидание (среднее значение) функции У=У(хл, ...,х ) 1'" а от л случайных величин хл, лз, ..., х„определяется фармулои "-"""'- """)= ) ) - ) У(;...,...,.„)пФ(хы„, „.,„„) ~м~л" ~лу(хл хз. ". хв)р(хл хз " х„) (д«л дискрстпога раслределенил), (18.4-28) 5 )Г " ) у(хы лз, ", х,)ф(хы хз..., х„)дх,дх, ... дх„ (д«л непрерывно о распределемил), если эти выражения существуют в смысле абсолютной сходимости. 3 з ы в ч в в и е, если у егг» еуивпвв талька т ( а из в случайных величин х, «..., х„, та мзтемвгичегкае ожив«низ (з8) гавазавгг с мвгемзгическим ажвдвиием у па агваюеивю к ю.мерному рвгаределеввю толькО рассматриваемы«т величие.
(Ь) и математических ожиданий М«1=41, Мха=с«, ..., Мха=за опреде- лают точкУ (ы, "з, ..., $а), котаРаа называетса центРом Распуеделейип веро- пгггастей. Величины М (хл — Х,)"'(х,— Хз)" ... (х„— Х„) " называются момен- (ами поРЯдка гл+гз+...-1-г„относительно точЯй (Х,, Хз, ..., Х„). В част- (.асп(. моменты относительно начала (начальные моменты) и относителыю иматра распределения (центральные моменты) определяются формулами сг, = М«г1х'з х а, 'л'з" 'а 1 г '" а' р =М(хл — йг) л(«л — сз) з...(ха — Тв) а. 1ГЗ - а (с) 11ентральиые моменты второго порядка представляют особый интерес и имеют специальные названия и обозначения: лы =Лз(= М («1 — йг) (хь — (в) = Рх(=- а",.
при (=й (дисперсия), (Е, А=1, 2...,, и). (18мЬЗБ) сов(хп хз) прн (-,ай (кааприаиия) у' Вти моменты определяют матрицу моментое (Лгй). Ве определи«с. ь а«1 (ЛМ) 656 гл. 18, теОРия ВВРОятнастеи и случлйные пРОпессъ( 18.4-4 наэывается обобщенной дисперсией и-мерсого распределения. Коэффициенты корреляции ]УХ 4 „а.
а, определяют корреляцчонную матрицу [Р;а] и-мерного распределения, если только все о( ~ О. Величину )'бе( [31,] ] йс! [Р(а[ = а а 11"' л иногда называют коэффициентом разброса. !Латрицы [А(Э] " [РЫ) действительны м симметричны, Их общий ранг (п.
!3.2.7) г есть ранг л-мерно»а распределении вероятностей .Х Распределение называется сабстэсннмл или нссабсюэсннмл в ааэисимости от того, бУдст лн г =- и или г ( и В слУчае собственного РаспРедслсниа матРицы [А, ) н [Р а) наляются положительно определенными (п. 13.3.2)эд Эллипсоадом рассеннал длн собственного л.мерного Распределения вероятностей с центрои в начале координат называется л-мерный «эллипсоид» л л л хк =л-).2, (18 4-32) Ы)Э 1 (а=! где [Л ] СХ. ] 1 есть матрица, обратная матрице моментов, Эллйпсосзд рассеянии обладает теы свойством, чтп при Равномерном рагпределении , Э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
