Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 124
Текст из файла (страница 124)
!7.3-10. Отображения. (а) Взаимно однозначное преобразование (отображение) — „(и, „), й й(и, „), ! — „01 (17.3-34) — Г д (и, о) ставит 3 соответствие каждой точке (и, о) данного регулярного куска поверхности г=г(и, о) определенну>о точку (и, о) регулярного куска другой поверхности г =г(и, о).
В дальнейшем символы с чертой сверху будут относиться ко второй поверхности. Функцнн и (и, Р), о(и, о) предполагаются днфференцнруемымн достаточное число раз, Отображение нйзыпается изометрическим (сохраняет все метрические величины ца потрхноапи), если Е (и, р) зы Е (и, о), Р (и, о) мн Р (и, о), 0 (и, о) — 0 (и, о); ') В отечественной литеозтуре уравнения (17 3-32), основывансь из хронологической последовательности, в которой онн рзссматризалистм нззыввют уравнениями Петерсена Код.ц,и, !7.3-12, !7.3.
ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 53! конформным (сохраняет углы), еслн Е (и, о): Р (й, о): 0 (й, о) — Е (и, о): Р (и, о): 0 (и, о)! зкннарезльнмм (сохраняет площади), если д(ц, о) У ЕС вЂ” Р' д(и, о) ЕС вЂ” Рз (Ь) Для получения канформнота отображения (34) каждая из поверхностей конформио отображается нз плоскость, з затем одна плоскость отображается ва другую при помощи аналитической функции комплексного перемеииего (п.
7.3-1). Для того чтобы отобрззять конформио поверхность г = т(ц, и) нз плоскость с декар" тозммн прямоугольными координатами 1(и, о), ц(ц, о). решается дифференцнаеьное уравяенне Е (и, о)В«*-1-2Р(и, о) Вибо+ С (ц, о) Во'=0 (17.3-35 а) нлн, что то же, Во 1 Во 1 Вц С вЂ” „=с (-Р+(Уес — Р ) и — = — (-Р-<УГа — Рг~. <!7.3-333) ви с Интегралы этих уравнений опрацеляют мнимые кривые (нзатропные илн ми«имзльяые «кривые» не поверхности, которые характеризуются условием вм =0) С(и, о) =соле(, У (и, о) =совЫ. Тогда первая квадратичная форма поверх«ости в действительных ортогонзльных коорднизтзк 1<», >= — <ифу>, 1 2 (17.3-3Ф (нзетропные или изотермические координаты) принимает ивд ЛЫ = ) Н, Ч> <Вйг+Вцг> и становится пропорциональной первой квздрзтнчной форме вйг + вн' плоск!юг« с декор.
газымн прямоугольными координатами 1, \1. 17.3-11. Огибающие (см. тзкже пп. 10.2-3 и 17.1-7). Пусть уравнение р(х, у, г, Х) = 0 (17.3-ЗЩ определяет однопарзметрическое семейство назер«настей, для «оторото в некоторой области у прострзистнз. Тогда в области у суьхестзует лозеохность (егвбзюисзя данного семейства), каторз» касается каждой из поверхностей (33) вдоль кривой (характеристики), определяемой уравнениями Е (л. У, г.
Х> =0 ЕХ (л, У, з, Х> =О, (17.3-40) е. ииеет с поверхностью семейства общую касательную плоскость в каждой точке характеристики. Если, кроме того, з области у выполняется условие ( уеучйуЕХХ] т- О, то огибающая имеет ребро зозерзтз, т. е. кривую, которая «асзется нзждой харзктерястикн (40); точка касания ребра возврата н характеристики называется фокусом. Координаты фокуса апра!еляются уравнениями Е (х, У, з, Х) = О, Е)„(г, У, з, Х) = О, ОХХ (х, У, з.
Х) = О. Ну.з-гц Исключение Х нз уравнений (41) приводит н уравнениям ребра возврата. Уравнения (40> определяют прн фиксированном значении Х=Х, кацаую. являющуюся нргдгльнмм логолсглигм линии нгагсгчгния логе рглогтгй Е (х, у, х, )„> = 0 и ф (л. у, з. Хд = 0 при Х, ХЫ если х произвольно, то уравнения (40> определяют геонетрнческое место текил «Рввмх. Вто геометрическое место (Х-дискриминаитиая поиерхиость) содержит, изрзщу с огибающей. все особые тачки паиеркностей семейства (ребре, узловые точки н т. Д.). РебРо зозврзта является, аналогично, геометрическим местом слочгк лгргсгчгния ерем бгс«онечно бглгли» логголностгй (33). 17.3-12.
Геодезические ляпни поверхностк (см. также и. 17.4.3). Геодезнческей линней регулярного куска поверхности Е называется регулярнан дуга, геодезическая крнзнзна которой (и. 17.3-4, а) гох(дестненно равна нулю; 17.4. НрострлнствА с криаизнОН ГЛ. 17. ДИФФЕРЕНБИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ! 7.4-З. Кринай С В СпуЧаЕ ПапажнтЕЛЬНО Онрсдспсииай КаадратиЧНОй фОрМЫ йсз йзсдза). В иекоторык случаяк йз определяется соотношением 1/! (! хз х)йсйл( (17.4.26) длина дуги з кривой С от точки кривой, соответствующей значению параметра 1=14, определяется интегралом с с с .-~ й = ~ ~' йсл— ' , '— ",' йс.
(17.4-3) Величина интеграла (3) не зависит от выбора параметра С на кривой. (с) Под направлением кривой (1) в каждой ее точке (х'. хх, ..., хи) понимается направление вектора йг> ннымн словамн, угол у между любым вектором а, заданным в точке (х>, хз, ..., х"), и кривой определяется формулой сову=. '' (и.
16.8-1). В частности, угол у между двумя регулярными ! а (, дх ! вугами х! хс (с) и хс=хс (с) находится по формуле ! х гдс, дхз сову=ут —— "их дз (17.4-4) Общие тачке (и — 1) нз а кеардииатиьщ гиасраохерхнестей х =соса! (! =1, 2, ..., и), арсхадхщхх через дзии по точку (хс, хз, ..., х ), лежат из кеордчнатаай лиана, саотхстстзующсй и-й координате (см. твкже а. О.2-2). касааус угла между с-й а з-й координатными личаяин ь тачке (хс, хз...„х ) равен г(Л))/гс>гзз (й) Единичный вектор йг)йз (с компонентами йх')йз) является единичным вектором касательной к кривой С в точке (х', хз, ..., х").
Первый вектор крн- О Сдх ! внзвы сРГ/йгз (с компонентамн — ( — >) перпендикулярен к кривой (ваправ- 45 с(5 ление главной нормали, см. также й. 17.2-2, Ь)1 его абсолютная величина !ь~-(~>-1~„;( — '„')г('-,*;) асяс! называется первой кривизной кривой С в точке (х>, х', ..., хи) (см. также п. 17.3-7).
17Л-3. Геодезические линии в римановом пространстве (см. также и. 17.3-12), (а) Геодезической линней рнманова пространства называется регулярная дуга, геодезическая кривизна которой равна нулю в каждой точке кривой нли, чтз то же, единичный касательный вентор которой йг/йз сокраняе! по- стоянное значение (в смысле параллельного перенесения, п. 16.10-9) вдоль кривой! Дифференциальные уразпгпия (6) (п уразиспий зпирога порядка) определяют гдипстггиную геодюичгскую х' =хс(з), проходящую через дапную тачку (хс =хс (з )~ е любом данном напраглепии (соответствующем заданным значепням йхс)йз при з=з!).
Геодезические линии могут оаределзтьси тххжс уразисиаяии более общего зиха, а именна, дифференциальные уравнсиии дзх( ( С ) дх) г а дс' (17.4-7> !Тм.4, Римзиозы арестреистьз с иеоарсдехеииьй метрикой. нхатроаиыс ианрхьхеиа» и гсодезичссхас нулевой длины. Если Фундамситахьнвя форма г)Л (х>, х2, "., х") дх(дхз рвмхназх арассрхистзз является неопределенной (а 12,5-2) з тачке (х>, хз, ° . х"), тс хзадрат ! а > гсла а" вектора з может быть иалсжитсльиыи, отрицательным ила ! л 1,,-, ) хаиыи нулю. и зз ) з > О хс следует, вообще говор», чта а =4, В любой точке х х, "., х ) !изархзхечзе вектора а же, улазлетеареющсгсуслаьию ) а) =ясса(ил = О.
2 «азызастсх изотрапным хаарвьлеичем. Лхя вектора злсмечтариаго исосмещсчах дг ье О, НиСХКЦСГО иЗСТРаниас НЗПРавлеичс, дс ! гт! О: аРН стаи таЧКи ( 1 42 П) и и (х ->-дх, ° ", х" + дх"), связанные таким хзотрааимм перемещением, разхичиы. Крхееи хс хс (с), удазлстеариющьа услазаю Л(дл гсл — — - о, ат си (нм-о> имеет нзстраахсе наараьленне з каждой своей тачке (хризза аухсзой длины, изетрсаиач хризьи, см. также а 17 3-!О, Ь>. кразах хс х' (с).
улазхетзариющзх одновременно урьзчеихии (7) н (з), иазызхстси геадсвичесхоа линией аулезсй дхаиы. Каждсс игстрсинос наирагхеиис сиредслжьз едиистыиигю сесдсэичесхгю хихию нумссд дхихы, хрсхсдхщгю хсрю дахирю танку 4гжсм хспрасхеиии (одна аз примсисней — трзсктареа сзстазаго луча з рнмаиавсы арасгрзистзс теории стнаснтсльисстн) 17.4-6. Теизор крнвнзяы риманозщ иростраиствж (а) Тенаором кривизны (тензорам Римана — Кристоффеля) данного рнманова пространства называется абсолютный тензор ранга 4 со следующими смещенными компонентамн (здесь г-немой индекс): Р)лл— = дхл)у'А) дхл >С й)+~г й) Д Д (17.4-10) нлн с коварнантными компонентами г д .
° д )тс)лл =йсгЦлл — = д,,! ()И> >1-,„,» ()д> !)+ () й~ (!"' г) — ~( А~ ((й> ') -=' +й'г (()й; з) ((Л> г) — (сй> з) ((й; г)). (17.4-11) )(Иногда пользуются также обозначениями !!С)лз о(А лл " осел ((.!',лл— = плл, С, (с заданными зачальиыми значениями хс и дхс/дс) аарсдслиют геодезическую *с = хс (ск взд функции л (с> = —,/(„— ~ связан с выбором параметра С за геодезической, но яс мсахст «рисую кхк таковую, (Ь) Геодезические линии обладают многнмн свойствами прямых евклидовой геометрии (см. также п.
17.4-6). Если сущгспмуст кразах каи,нскьшсй или наибольшей длины (3), соединяющая дгг дакпмг точки римакоза прастрапстга, то апа яглягтся геодезической, с(ифференцнальные уравнения геоде. знческой (6) илн (7) можно рассматривать как уравнения Эйлера (пп. 11.6.1 н 11.6-2), выражающее тот факт, что первая вариация длины дуги (3), соединяющей данные точки, раааа нулю. Вопрос о существовании геодезической, соединяющей две данные точки рнманова пространства, требует в каждом отдельном случае специального исследования. 537 17.4-7. 173.
ПРОСТРАНСТВА С КРИВИЗНОИ 17»4.а. бл (э, Х) дх — — ЬЧ Р/Рл рз / д»2 /й (17.4-19) ГЛ. 17. ДИффБРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Коипояеятм теязоря крияиэяы удозэетзоряют следующяя соотяошеяиям: / г/ П/ + КЛ О, (17.4.12) П/йл- — П/лй-3 "./Ьл. и/йл+ лл/+ л/й й//лл и йл// — и//йл — пцлж я//лл + и тл( + п(л/л 01 (17 4-13) вторые сшэтяошэяяя в формулах (12) я (13) столбца извиваются тэжджтэами Риччи Тенээр яривиэни «-мерною римаяээа пространство имеет существе яэмязнент. через которые выражаются остзэьяие его яоипояеяти, Абсолютные произ. зодяме теяэорэ крязязяы удозэетзороют зюждэстэам Бианки (Бязяяи — Пздозэ) и. -~-я1 +и о, (тээсдесшэа Биаляи), (17 4-14) и /лл,г + "цлщ «+ й//гл, л - о (Ь) Тензором Риччи данного риманова пространства называется абсолютный тенэор ранга 2 с ковариантными компонентами или со смешаннымн компоиентамн /с',.
а/л/7 Твнзор Риччи в и-мерном римаад я (и+ 1) новом пространстве является симметричным и имеет — существенных компонент. Собственные направления тензора Риччи (п. !4.8-3) называются главными направлениями Риччи; онн определены в каждой точке риманова пространства. (с) Скалярным ннварнантом или скалярной кривизной риманова пространства называется скалярный (абсолютный) инвариант /7 эж /7/ = й'л/7/л аа Е~~Р// (17.4-!6) (й) Тенэором Эйнштейна данного рнманова пространства называется абсо. лютный тензор ранга 2 с компонентами 0( /7/ — 1 /75/ илн О . ии й 66 /7 .
— — /7йц (17.4-!7) 1 / / 2 / ц /й / ц 7(ивержн(/ия (п. 16.10-7) О// твнзора Эйнштейна тождественна равна нулю. !7.4-6. Геометрическое истолкование теизора кривизны. Плоские пространства н евклидовы пространства. (а) Параллельное перенесение вектора вдоль замкнутоо г о ко н ту р а. Параллелыюе перенесение вектора а (/)а/=0, п!6 10 9) вдоль бесконечно малого заикнутого контура (Х', Хз, ..., ХЯ) (Х)+йл), ХЭ+йяз, ..., Хз+йХЯ) (х)+йх)+~1, х +для+аз, ..., хя+йх" +Ж ) (Х)+дую(, Хе+4)СЗ, ..., Хи+для) (Х', Хз, ..., Х") вызывает изменение каждой компоненты а' вектора а на /7/лл "йх'~6" (17.4-18) (см. также уравнение (16. 10-25)). (Ь) э Геодезически параллельные линни. Пусть х(= =х/(з, )ь) ') — уравнения однопараметрнческого семейства геодезических, где э) и взятое здесь обозязчеяиэ з/ л/(з, х) исключает геодезические яулеяой дляям, р яят в †дли дуги геодезической, к †параме семейства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
