Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 119
Текст из файла (страница 119)
ггктоуиое умножение экеигатнтно гнутзгнагму умнагагнию на антисиммгтри ннб тгмюа ранга 2. 16.9-3. Собственные векторы и собствекиые значения (см, также о. !43.3). Собстаеитие вначемяк м собатвеивыо векторы тенэорав рвиго 2 определаются г каждой тачке (хт, хз, „, х") твк же, кэк в п, н,а-а кввффнцменты характеристического урэввеиия (и, !4,8-5). соответствующего теизору, являются вбсолютнымн илн относительными скэлярвми. 'Симметричный тенвор ранга 2 А в трехмерном евклндавом пространстве может быть геометрически ннтерпретировви прн помощи семействе поверхностей второго порядке (3.5-1) с коэффициентами а!й —— А!й(!, й= 1, 2, 3) (сы, также п.
3.6-!). 16.10. АБСОЛЮТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ '! Рели ие огееорено противное, нмеютси в виду абсолютные сквляры, векторы и тевгоры, 16. 10-1. Абсолютные дифференциалы. (а) нн для определения бесконечно малого приращения тензориой величины, нн дли определении ее дифференциала не может быть использовано понятно разности между «значениями> теизора в точках (х!+(/хь, ..., х" +г(та) и (хь, хв ..., х"), тзк квк тензорная алгебра в римзновом прострзистве (пп. 16.3-1 — 16.3-7) не определяет соотношений между езначениямнэ тензора в рззлнчиых точках пространства.
Вместо зтого в теизорном анализе форму. лнруются следующие требования (постулзты), определяющие абсолютные дифференциалы 4(а, 4(а, !/Ь, 4(А, ь/В, ... скзляров, векторов н тензоров ') (компо- ненты скзляров, векторов и теизоров римзиоиа пространства предполагаются дифференпируемыми): 1, Абсолютные дифференциалы 4(а, г/а н 4/А являются тснзорзми того жс ранга н типа, что а, а и А. 2. Абсолютный диффере!щизл 4(а скзлярв а опредсляется в соответствующей коордннзтной системе выражением да / ()и= — с!х ни а,/с/х/. дх) (16.!О-1) 3. Имеют место следующие правила лаффереицировзния: г/(а Ь)= ° с/Ь+Ь ° ба, ь/ (А+ В] = АА+ ь/В, с/(АВ)= А ь/В+В аА, ь/ (аА) = А 4Ъ лс а с(А.
(16.10Л) В частности, (/(а-~-Ь)=с/в+ь/Ь, с/(аа)=а г/а+а!/а/ о!сюда следует, что ь/а=//(аге )= е,. па«+а«с(е)=аг (хь, хз, ..., ха) (/х/е! = = ь/(ае)=е'г/а +а!ь/е'=а! (х', хэ, ..., хл) 4/хе!, (!б !О 3) и. е. компоненты вектора 4/а равны 0а' еп а' 4/х/ или ()а! =— а,. 4/х/. Постулаты, перечисленные выше, определяют инваривнтные оиераним (пп. 16ХР) и 16.10-7) и приводят к независимому обобщению векторного анализа, изложенного в гл. 5; постулаты удовлетворяются, если положить а == — +Г аьн а .ш — — Г""а — у а .. дх! / '/ дх/ Функции Гй. (х), хз...и х ) представляют собой трехиидексные символы Крис тоффеля 2-го рода, определенные в п. !6.10-3.
3 в м е ч в н и е. Формулы (3) и (4) определяют каждую компоненту абсолютного ь дяфференпивлв Зв иэк сумму «относительных дифференциалов За илн За! м члено», выэвэииых иэмгнглигм базисных векторов при переходе ог точна к точке (и, следоветельно. изменением метрики прн этом перехОде). Проиэгьднмг дв/дх/ гектора з можно определить соотношением зв = -- -. зх/ дэ йебле-б) зх/ При этом дэ д дг/ дх/ За', де,, д д./ ' З./ / д./ —.е + дх/ де! +а —.=а а ! дх! де,. де/ де — '.=Гй.е =Г.. ей= —;, — —. — Г е дх/ '! " !!'й дхг ' дх/ (ю.
ю-у) (ГН / — символы Кристоффеля первого рада (см. п. !6.Ю.З)). (Ь) Из постулатов п. !6.10-1, а следует, что абсолютный дифференциал любого теивора А, заданного в рнмвновоы пространстве дифференцмруемымн 5!2 Гл. 16. ТЕНВОРнАя АлГеБРА и тензорныя АиАлиз 16.16-2. дзх( дк! Г'. ь дз хг д»' дййдй» а~ ' — дкг дх! дк' Г„;,= -- ........ дх" дх» дкг г дх( дк! дкг Г„'. йй дкй дй» дкз (16.10-14) р 'г 1З"' ' с с, ... с с с ...
с РА»е"' г Асв"' г с(хс 5 112"' 5/ 1Е где (скмволы Кристоффеля Г определены в п. 16.10-3) с ... с г с ... с ть'" г О сз"' г— 1112- '»Ы дк1 »112-.'з Сс(з - ', й 11'а -.'г й 'сге "С, = — — А ° ..' — Гс.! А . ° — ... — Г.. А,у, + дкС 1'2-. Сг 1»12- Сз гг! 1'2- ь — ! +ГСА з г +...+Г'А'' й! С!»2...» " Н !!12...сз г» =г», г! сс' г». = а»" г. 'с! 0;й ГГ =Г 11: » Л »' г. =а гй.
сс;» йй И да,: —.=г. + дк» С»: ! (!6.10-!6) (16.10.16> (ю,!о !у) г и = а .г,'» + а,„г"., да'! — — = — а йг ! — аюгс, дх» й» й» (16.!0-9) (!6.10-!8) >( иногда для обозначения абсолютного дифференциала вместо сса, аА пишут Ра, РА. 4( 1е.10-2. Абсолютный дифференциал относительного теизорв. Абсолютный дифференциал относительного тензорз (и. 16.2-1) определяется по вивлогня с збсолютвым диффереицизлом тензорз (и. )6.!0-1).
В честности, абсолютный дифференцизл а относительного сквлярз а веса И' определяется в соответствующей координатной системе вырзжениеы Оа а .акг, где а = — — (Гг»а. да й (!6.10-10) '! дкС при и' 0 формула (!О) переходит в (1). Абсолютный дифференциал дд любо~о относительного тензоре веса и' (с ди4ьаереицируемыми вомпонентзыи) определяется вы.
рвжеинем (8) с дополнктельным слагаемым виде »С ...г (ГГ» А1а"' Г (! 6. 10-11) !» С!12 ..!", (!6.10-2!) в правой чести формулы (9), тзк что О 11- Г,— >Р О Г ! )1-,! (ю.!о-ю> дк! 11!2" Сз дк! У ! а !а '112 ... »г дА является относительным теньером, рзнг, тип и вес «второго совпадают с рзигои, тяпам н «есом А 16.10-3. Снмволы Кристоффеля. (в) Если риманово пространство отнесено к координатам х', х', ..., х", то его снмволамн Кристоффеля первого рода [ССС й[ ив м Г;С; »(кт, к', ..., х") п символамн Кристоффеля второго рода (С»С) ==.Г»с,,(х', кв,...,к") (трехиндексными) называются следующие функции координат х', хз, ..., к": (Юло.
!З> где ас» и ас» — компоненты фундаментального тензора риманава пространства. » С ... г компонентами А 1 '. ' " г, »112 " г с! его компоненты РА )3 г 1»г "' сг тт"' Г 1'З "' СЗ является тензором того же ранга и типа, причем Г определяются следующим уравнением: ю.со-е. !а.ю. Апсолютное дифференциальное исчисление 613 Символы Кристоффеля' ) не являются, вообще говоря, тензарами и прн пере- ходе к новой системе координат преобразуются по закону: функцпн Гй».„— - Г„»., (х' х',...,х") и 1"„мГ'»(х' «'...,к")сутьсимволы Кристоффеля, связанные с системой коордянат хс, хз, ..., к .
(Ь) Символы Кристоффеля удовлетворяют следующим соотношениям; д — —, й — —. !п у'! а, .= ГЮ, а = ае( [аг»[, (18.10-19) дхс дес де де» д Г;! —— —: е»= — ' е = — — —. е', Гс.й= —. еа. й (16.!0-20) дх! дх( дх! 11 дк! (с) В важном случае ортоголагьлык координагл «1, хв, "., к'г (пп. 6.4-1 и 16.8-2), с который хзрвктеризуется условием а(» = аиб», предыдущие соотношения прянимевп ввд гсп» -— г„=о (сфс~».ь >, » 1 да!с 2 п;» = — — — (С ~»), 2 дхй басс г и==г 1 да.
Г» — ' (с > и 22»» дхй 1 да»с, 1 д !пас, Г'". — —— 22 дхс 2 дк) »» 16.10-4. Коварнантное дифференцирование. Вследствие аналогии между выражениями (4), (9) и обычными частными производными операцию образо- 12'- г вания функций А. ° ':. =..— А 1'." .; по компонентам тензора Айз »112 "' 'г, С дх! 1112 — Сг 1112 " Сз называют ковариантным дифференцированием по метрике, определяемой тенваром дпр ") В метемзтической литерзтуре символы Крвстоффеля прецпочтнтельно обознзчвй ются Гсс.», Ги. Однако во многих руководствах для них сохреияется обозначение сноб.
"'нн НВ »1 [с 17 Г. Кора н т. Кори 514 Гл, 1а, тензОРИАБ АлГВБРА и тензОРныи АИАлиз 1б.се-з. 1а.се-а. 1блб. АБсолютноя диФФБРБИННАльнОБ исчисления 515 '1'3 - 'г Если А 1» г являются компонентами абсолютного тензора А, то ком- С!12 ...
С» 1111 "' г поиенты А! 3 Р также определяют абсолютный тензор С!12" !» ) ! ...с 7А =А 15 "'; е е.... е. е'се'2 ... е!»ес, 31 СЗ ''' сг 112"" »,С г раз контравариантный н з+1 раз коварнантный. Тензор ЧА (а иногда также каждую отдельную его компоненту) называют коварвантной производной тензора А; для компонент тензора А используют также обозначение (16,10-22) ол.! 1' »с ...! 111» - сг с!12"'св 111 "сг Ч)А,, '.
= — А...'" 11'2- св дхг 1112" С»,С д !11»'" Сг Следует иметь е виду, что ии частные производные- — А °,, ии котдх! с!12 - !» 11!»'" 1Г носительные» дифференциалы »А.).» г не являются, еообиу.' говоря, комлоср2 - !» кентами тснэора. !6.10 5.
Правила коаариаитного двфференцнрования (см. также п. 16.10-7). Применение тензорного анализа часто упрощается благодаря томУ, что обычные правила дифференцирования суммы и произведения (табл. 4.2-5) остаются справедливыми для коварнантного дифференцирования.' (А1»'" г( 81»'" г! А 1»'" г 1 8 11" г С ! ... ! с С ... ! 1, С ! ... ! ! С ... С -'+ дк! '!'2 - !» '!'2 - С»! с!12 -.
С»,) Ч12 - С»,) 11»'" г ьсь»-'агс дху( '1'г ..с,' ы" 22 „Ь) А11" С»В!з"' г +8!1'" гА1 1" ! ! ... с ь ь ... ь ьь ...ь с, си..с 1112 ... 1» 2122 ... 2» 7 ь1л2 ... 2» 21ь2 - ° 21,) !!с»,,ь,, сг сс!» ...а ... »г — - А ) з ",= А гс.» .г (ярадило для свертки). дк! Е»2 ...з., !» гс»2...ь.„!» / (16.10.23) Последние два правила применяются также для коварнантного дифференцирования внутреннего произведения (пп. 16.3-7 н 16.8-1).
Важное значение нмсют соотношения дсь,!.=Сль,! — — 0 (теарема Риччи), ~ (16.10-24) д,;=О. Уравнения (24) показывают, что фуидаменисальиьсе пенкеры ведут себя относительна коьариантного дифференцирования как константы. Коэариаипсная проиэеодная тснэора, агсоциироханиозо теиэору А, яеляется тснэором, ассоциированным ЧА (см. также пп. 16.7-2 н 16.7-3). Кжариантиые лроиэзодьыг 5-симэолоз Кронекера и е-объекта (пп.
16.5-2 и 16.5-3) равны нулю. 16.10-6. Ковариантные производные высших порядков. Если компоненты данного тензора н компоненты метрического тензора уль имеют производные достаточно высокого порялка, то можно рассматривать коварнантные произ! ! ...! водные высшего порядка с компонентамн А °, .... Полученные с!12 ... 1» 1112 "с»ь прн этом тензоры, вообще говоря, не симметричны по нижним индексам ); коэариаиснноя производная не эадисит от лоследсаательткти дафференциро. валия е том и только е том случае, если риманоэо пространсама яеляался плоским (локально саклидаеым) (п.
17.4-6, с). Для яюбого вектора с компонентамн а; а — а; )7! „а, (16.10-25) где )7!'., — компоненты сммианиого теиэора кривизны (п. 17А-5) риманова !'а пространства. 16.10-7. Дифференциальные операторы и дифференциальные инварианты (см, также пп, 5.5-2 и 5.5-5). (а) Если рассматривать выражение о !! ...с,, ! —.— А...;все, ...е;е е ...е'— = 7)А .;все! ...е;е е ...е' дх! !!Сз С» ' '" 'г "' С!12 Ск 11 ~ А 1 1 ' ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
