Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Любые двв тевзорэ одного рэкгэ н веса можво сложить, саглэсво определению, приведенному з п. !6.3-3, дзя чего е случае необчопнмосгн нужно предвэрнгельно поднять нзн опустнть нндексы тэквн образом, чтобы номпонеэты слагаемым прнобрезн одинаковую структуру, т. е. сщннвковае расположение верхнкх н ннжннх нндексов. 2). тензор может быть свернут не любой наре нндсксеэ согзэсно прэвнлу и. !6 3 5, дхя чего в случае кеобэоднмосгн однк нз этих ккденсов должен бы!ь предвэрйтезьно поднят клн опущен. Свертыеэнне по двум верхним ниде»- сэм г, й соответствует внутреннему умноженню нв я,.„; свертывзнне по двум ннжннм индексам !.
й соответствует внутреннему множекню нэ я !й 3. Внутреннее нрэиээеденнэ двух тензаров А н Вчэпределяегся кэк свертка нх внсюнего пронзведення АВ по некоторому индексу !нлн нндексэм) А н соответствующему индексу !нзн ввдексвм) В согласно правилу !2). 16.8. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И СВЯЗАННЫЕ С НИА( ПОНЯТИЯ !6.8-1. Сканярное (внутреннее) произведение двух векторов в рнмановом пространстве. В соответствии с содержанием п.
16.7-4 в римановом пространстве можно определить скалярное (внутреннее) произведение (см. та»же пп. 5.2-6, 6.4-2,а, 14.2-6) а Ь для любых абсолютных нли относительных векторов а и Ь с действительными компонеитамн а! или ай и Ь' илн Ьй! а Ь=я)й (х', х',, х") о! (х', х', ..., хн) Ьй(х', хз, ..., х")= =пйЬй=а'Ь;=6)йщЬй=Ь ° а. (!6.8-1) Длимой (модулем) )а ! абсолютного илн относительного вектора а с компонептамп (действительнымп) а! нлн ай называется соответственно абсолютный или отиосителы!ый скалярный инвариант ~ и ,'=+)!аз, аз=а а=я!йа!ай=а!а)=6™п ай.
()6.8-2) Если квадратичная форма я!й а! ай является положительна определенной, то длину вектора а можно рассматривать как норму )) в!) (см. п. 14.2-5). Единичным вектором называется абсолютный вектор, длина которого равна 1. Косинусом угла у (определение угла) между двумя абсолютными или относительными векторами называется абсолютный скалярный инвариант с!му= —, ;в))Ь!' (16.8-3) Формулы (2) и (3) обобщают элементарное определение скалярного произведения.
3 в м е ч в в н е, Если квадретнчнэя форма й.йа а не являетсн определенной !нэох! й ш рсэехгннея метрика, см, также п. 17. 4-4) в тачке (хт, хэ, ..., х'), то снэлярныа кввдрэт в ° в збсохютного нлв относнтехьного вектора * в этой точне может быть поломке * тельным, отрнцвтельпым влн равным нулю в вввнснмостн от знака выражения 61)а е причем иэ равенстве ! э,' = э не следует, вообще говоря, что в = 6. 16.8-2. Скалярные произведения локальных базисных векторов. Ортогональная система координат (см, также пп. 633, 641, 1747, а). Длины локальных базисных векторов еэ, е, ..., е„; е', е', ... е" и углы между пимн определяются соотношениями хе) (16.8-4) М с' Ь' ст = Ьэ сз = с!/йа!/>ей =)вг!! у! е;/йа'Ь)сэ; 1 )', а ! (16.8-!1) (16.8-12) в частности, (етезез! = У!'а !' (е,ееез! = !' [[), (16.8-6) 06,8-7) А = р р! = ( р .
е.) (зй/е /, Ай =Р ! Ей. (16.9.1> (16 9-2) (Ю,р-э> 1 . 1 1 = е!зма Ь = — =. е "й (а!Ь вЂ” ад;) У!а! ' ' 2 >',а! у,х, е!/э а!Ь/- 1 у',й[е!/й (а!Ь! — а>Ь'). 3 (16.8.8) нди А - ~ ~', А,.йп,.п, в —.— 1 й=) Л>, = А! )Г; Х!18 ! (не суммироэатЫ>, А — .4 =й (16.9-4) Отсюда следует, что е, е, 1 ахЬ==- а, а, У>а! Ь( Ьз в/ 8!в Л, А! ярв — (не суммнроватьй. 7/ ййй Полезно отметить, что (!5.9.5) е,хе, [е,евев)' е* Х е [е'езе*) ' е'= — ', е, Хг, [е,е,е,] ' е' х е' [е'е'еН ' (16.8-10) 508 ГЛ. 16.
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫИ АНАЛИЗ 16.8-4. в каждой точке (хз, х', ..., х") (п. 16.6-1) е; ей=ум (хх, х', ..., е! ез = Аг>й !х', х-'...,, еэ= ба. Векторы е,, направлены по касательным н соответствующим координатным линиям, имеют направления нормалей к координатным гнперпозерхностям Каждый е перпенй е 1 З л дикуляреи ко всем е(, кроме ей. Системз координат х, х, ..., х называется ортовональ- ной, если й.й (х, х, ..., хл! = 9 для ! ш й/ в этом случае е! та также е ) попарно орсо. 1 з лт й ш гональны. Не каждое римаиаво пространство допускает введение ортогональной системы координат. Две системы базисных вектораа е.
и е, связанные соотношениями е адей б най' зываются взанмнымн бависамн рассматриваемого римапова пространстве (см, также п. 14.7-6). 16.8-3. Физические компоненты тензора (см. также п 6.3-4) Локальные единичные «екторы п., каждый нз котармх имеет направление координатной линии, соответствующей !' й, индексу вектора, следуювпнм образом выражаются через е! и е в 1 й —, й !й и, = е! — а.й е , е. = У ! й " ! п, е = й е(, (!6 В 5> в у; у — ! ' ! ' и' 'йй> >йй! Физическими коипоментамн А ! ! тензора А (в частности, физическими ко»покои. >! 3"' !й теми а. вектора а) называются величины, определяеиме уравяеииям» / а ~; о п, а.=у [й/>о/, /=1 л л и .4 .А '".Ъ А/!" !л А А" 'и /1 = 1 /з = 1 !и дяя определения А,/ ..., достаточно внести в (16 8 7) вместо А его выражение (16,6-3) и заменить и! по форчулам (16.8-5), Физнчесная компонента вектора а в направлении вектора Ь определяетс» как а ° Ь/! Ь 1„ 16.8-4, Векторное произведение и аиешанное произведение (см, также пп.
5.2-7, 5.2-8, 6,3-3, 6.4-2), Векторным произведением ах Ь двух абсолютных или относительных векторов а и Ь трехмерного рнманова пространства (п=3) называется вектор с компонентами (см. также п. 16.5-3) ез е' е' ез аз =)/ ! ~у[ а' и' а' = — Ь х а, (16.8-9) Ь( Ьз Ьэ 16.9-1. юд.
тензоры Рднгд 2 В Рнмд!(овощ прострднотве 509 где смешанное произведение (айс! опоеделяется, как и в и. 5.2-8, следующим образом: а, Ь, ст~ а' 1 (айс! = а (В Х с) = -, аз Ь с 1 — рг)[!~ аз У>й! оз Ьз сз1 оэ Формулы табл. 5.2-2 н п. 5.2-9 остаются в силе. 3 е и е ч з н и с Определение векторного произведения (В) охватывает элементарное соотношение (5.2-6) н определяет векторное произведение двух абсолютных векторов как абсолютный вектор. Некоторые авторы опускают множитель у ! 8 ! в определенна (8), вследствие чего векторное произведение двух абсолютных вектороа становится «аксналь[ иым» ееитором (воглнчисот «полярного или абсолютного иектора), ноторый можиорвссмвтриеать либо как относительный «онтрввариаитный вектор веса -Ь ), либо как относительный коввриантвый вектор веса — 1 16.9.
ТЕНЗОРЫ РАНГА 2 В РНМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 16.9-!. Диадные произведения. Абсолютные (истинные> или относительные т »зары ранга 2 А, В,, риманова пространства, определенные, например, своими смешанными компонентамн Л, и „. (с». также п. !6.7.2, звмечзние о поряшсе индексов>, представлшот в интерес дл» миогик приложений.
О ними иногда связывают особую систему обозначевнй, краткое описание которой данО в следующих пунктах, Каждый тензор А (ранга 2) может бмть представлен в виде суммы л днадных произведений (диад), т. е. теиэорных (внешних) произведений двух векторов: Либо левые множители р/, либо правые множители р! могут быть выбранм произвольно, если только они являютсл ввпне~1но независимыми (п. !4.2.3) В частности, А=Айе!е А>,ее =А ее =А! сей, й в й (й а ! ! а А = е.А = А,е, А = Айе, Ай = Лье!.
Используя физические компоненты А. (п 168-3>, конско представить тешор А в виде Гй В случае ортогоиальных координат (п. !6.8.2) 4! 3 а меч а и и е Иногда диадой называют произвольную сумму диадлых произведений, т е.произвольный теизор ранга 2 44 610 гл. 18. тпнзорнйи длгиврд и тпнзорнын дндлнз !зл-т, двсОлготнОВ диффп пнпндльнОв исцнслпнип 5! ! !8.Р-2. Умножение тенторов ранга 2 н векторов и связанная с ним система обошв- чсний. Для обозявчеиян внутреннего пронзведевия, образованного нз (действительных) теиворов ранга 2 н векторов римвновв пространства (см твклсе п, 16.8-!), используются следующие обозна'!ения: А ° в р (ч/ ° в) — гекторе компонентами А а, й / й (!6 9-6) в ° А = (э ° р ) ч/ — тктеу с компонентами А!ар А ° В р.(Ч/ Р ) 4 — тгнэоу с комлонгнтами А! В/, (!69-8) / й / й' где В = р «! / Вй е! е, благодаря принятым обозначениям алгебра аынгауог ранги 2 г то«ности гэгааааг и с агггброй линейных операторов (аффиноаог), изложенной в пп 14,3-! — !4.3-6, так кек тенвор ранге 2 связывает с каждой точкой (хз, х, ....
хн) некоторое линейное преобрв. возвиве. и табл. !4 7-! огущ тгглется сравнение тгнэоуньт обгэна«гииз, «класси«эски«» эбгэнаьгний гг, 14 и матли«ннг обозна«ение тенэорог и эгктгугг. Определения симмгтуи«ного и антисиммгтуи«нэгг тензорэ ранга 2 аналогичны соот- ветсэвующкм опреаеленням нз п, 16.6-1.
Именно, теизор А называется симметричным, если А А нли А. А !, нля Аг А .; но отсюда ие следует с необходимостью, Ж 1й .й й, !й ы !' тоА! А й, твк лсе квк вто соотношение ие означает, что А симметричен (см. также й ! п, Рцт.б), След матрицы[А.й), т, е, Тг (А) р ° ч/. называется первым скалярам сеньоре (!), /' 3 3 Сивлау А " В А~ гьи /Р.
° Р 1(Ч ° Ч ) называетсЯ Двойным скалЯРным иРонзве(ь й) ! 1й ! двинем, Прн л 3 можно определить векторное произведение В Х А =(ЭХ Р/) Ч), А Х В Р/(Ч/Х В), А Х В Р/(Ч/Х Р„) Ч ° (!69-9) !ьб 9-7) Вектор тл = Р х ч/ нэзыввется вектором тенэорв (1). тл =9 в том и только в том / случае, есле А сммметричен. Если А знтисяммчтричеи, то дли любого вектора в 1 в ° А — т хе= — А ° э, 2 А (!6,9-Ю) т е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
