Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 116
Текст из файла (страница 116)
В общем случае можно образовать несколько таких внутренних произведений. Каждое внутреннее произведение тензоров А н В «вляетс» тензороы того жс веса, чго н АВ. Ранг внутреннего произведения раасн разности между рангам АВ и числом попарно взятых индексов, по которым производилось суммирование Внутреннее умно>»типе днстрнбутнвно относительно слаженна те»воров, Иногда внутреннее умно»се»не те»воров нааывают сэгршыеаннеи этна тензоров П Р и не Р ы, а Ь,.=У, А'ай с(, А'Ь( Р„, В( Ь.=(я, Смаз =й. !6.3-8. Признак теизора. Пусть в координатной системе х заданы пл компонент О ((1, Лм ..., (л! х', хз, ..., хл) объекта О и пусть Х вЂ” тензор, (( ( оиисываеьгый компонентами Х,!.1 ' ' '(х', хз...,, х"), Как и в п. 16.3.6, г!>2 (з внешнее произнсд>ние Ох будет определяться лл4 "+' компонентами > О (с, сз,..., (Л) Х ! ', '" .Г. Виутреинее лроизгедениеО и Х определяется сумма>2 ми, образованнымн таким свертыванием (п.
16.3-5) объекта ОХ, при котором один или пескогько индексов каждой компоненты О(у, у, ..., ! ) совпадает с одним или несколькими индексами (верхними или нижннмя) (( компоненты Х.) 2 '" ', входящей в то же слагаемое, Для того чтобы объект О >!>2 (з был тензором, необходимо и доспштпчпо, чтобы для каждого тензора Х некоторого опредежлиого (д>и»спрогис(ного) раиса, типа и веса зн шпее произв дение ОХ или какое-нибудь внутреннее произеед(пие объекта О и тензора Х было пынзором '!' определенною (фиксированного) ран а, типа и асса, Можно получить аналогичвую теорему, заменвв Х анги(ниилраизаигнием Л Паззич лмх апоизаельныа аекшопоа о»пад лгнпь>х Фиксированных тинов и весов.
Ранг н т»п с! мо. туг быть в кан(дом случае определены на основаввн пснсчета веркин» и нижних индексов Вес О равен разности весов У и 'Х. П р н м е р ы, !) О является абсолютным те»вором, г рвз контраварнавтиым и а раз «о(ыриаптным, если для каждого абсолютного вентора а с коыпонс>шами а О(! у, у )агьз=В( -. г у у у у 1' 2' ° - ' г.>з ! ! у г->2 где правые ча«тн служат «омпонгнтамн абсолютного тензора, завнсящего от а 2) и явлнется насолю> ым тензороч, г раз контрааарна т ым н з раз коварнаотвым, ес((г для каждого абсолютного те»зара А с компонентвмн А, . '" 12 а у!> (г л и л у ! у ()((1, уз „,) ! ь' „А122 у=!(=1 ! =1 241 242 .. Гуа 1 2 г>а гне а — абсолютный скаляр, зависящий от А 4(З а м е ч а н и е, Объект О, определяемый»* компонентамн От, является абсолютвым новарнантным тенэором ранга 2 в том и только в том случае, если л л О( а(ь" =а ( 12=! для каждык двух абсолютных контраварнантны» векторов с компонентамн а( н Ь .
3 Объект а. являетс» тензором, если ы » в ('=! 2=! есть абсолютный сналяр для каждого абсолютного контраварнантного вектора а с «ом. понентамн а, п Ос~ — — ййгп 16.4. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА. ИНВАРИАНТНОСТЬ ТЕНЗОРНЬ(Х УРАВНЕНИЙ 16.4-1. Иивариантность тензорных уравнений.
При любом допустимом преобразовании координат (16.!.1) козшонеппнн тензарог преобразуются по локонам, сохраняющим результап>ы сложения, свертывания и внешнего (следовательно, и внутреннего) умножения, а также разе»ство тензараг. Каждое соотношение между тенэораыи, которое можно выразить через эти операции (п операцию предельного перехода), ингарианп(иа относительно группы донуслшмых преобразований координап(. Если соотношение, записанное в виде уравнений между компонентами, имеет место в одной координатной системе, то оно справедливо во всех координатных системах (см, также пп.
12.1-6 и 16.1-4), П ример, Иэ >В" Г !В" г !Я" Г с с ... ( ( с ... с ( ( ... ( А ° ° ° -(-В...=С (1'2 ° ° ° >а >!(1 ° ° ° сэ 1>2 ° ° (2 следует А  — С с( (,у ( сс А,. ° .+В...=С.. (! >2 ... ( (1! ... С > (2 ... ( ' и обратно; зто соотношение может быть символически записано в виде А+В=С. Следовательно, о тензорах и тензорных операциях можно говорить безотносительно к координатным системам (системам отсчета), Каждую подобранную 505 (! 6.5-2) С l Если А . 5! 52 ( 16.5-3) за Если А 612 '' »А 12''' г г 4 12''' г с/ ...с л// ...й //122...
Ьг (16.5-4) Следует тзн5ке отметить, что Ь» Ь»/' е' (16.5-6) 502 ГЛ. 16. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫИ АНАЛИЗ 18.8-1. подходящим образом систему тензорных величии мож:ю рассматривать нак класс инвариантных объектов с определеняымн в этом классе и вполне определяющими его (с точностью до изоморфизма, п. 12.1.6) абстрактными операцнямв, не связанными с координатным представлением объектов. Тзк, клзссм абсолютных тензоров рзигв б, 1 н 2 представляют собой соответственно скзлярнь!е поля (п.
!2.3.1, с), векторные пространстве (п. !2А-1), линейные алгебры (п. 12.4.2; см. также и. 16.8.2) ялн кольца линейных оперзторов (пп. 14.5.2, !4.6-2, 16.3-8), Классы тензоров ранга 2, 3, ° ° ° можно рассматривать кап прямые произведения векторных пространств (и. 12.7-3; сы. также п. !6 6.1, с). 16.5. СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕНЗОРЫ 16.5-1. Симметричные н витвсимметричиме объекты.
Объеит О с и иом- Я понентаыи (;)(11, )8, ..., ) ), каждая нз которых снабжена упорядоченной системой нз Р индексов 1, 1, ..., )Р, называется 1. Симметричным по никой-нибудь паре индексов, например 11 и 12, если 4)(),=1, с,=й („..., )„)=1)(),=й, С,=(, )„...,,). 2. Антнсимметрнчнмм (кососнмметричнмм) по какой-нибудь паре индексов, например )1 и )з, если Е (!1 1 )2 й' 13' '" ' !Я) а (11 й' )2 !' )8' ''' '!н) для всех значений 1, й, 1, ..., )1 от 1 до л.
Объект О называется симметричным (абсолютно снмнетричнмм) или анти- снмметричнмм (абсолютно антнснмметричнмм) относительно всех индексов, если он соответственно симметричен илн антисимметричен по любой паре индексов, Симметричность (интисиммгтричногть) тензора или лщедолмнзора отно- сительно некоторой лары верхних или иихсних индексов является свойством, инеариалтлым относительно группы допустимых преобразований координат. 16.5-2. Символы Кроиекера. Обобщенным символом Кроиекера ранга 2г (Ь-объектом ранга 2г) называется абсолютный тензор, лзг компонент которого Ь ' ' 'определяются следующим образом: Ь,йз... Ь, 1) б 1 з ' " г=+ 1 нлн — 1, если все веркине индексы 1, 12, ...
Сс ...С 81йз " аг ..., С, различны и система нижних индексов й(, йм ..., й, получена соответственно четным или нечетным числом транспозиций из системы верхних индексов. 2) бй ь 'ь 0 для всех других комбинаций верхних и ниж- /1/2". СГ "1 з ' них нндсксов. Особенна важную раль играют б-символы Кронекера ранга 2, определяе- мые следующими условиями: (!6,5-1) ( 1 (1=2). Свертывзнне любого смешанного тензорз /2( по верхнему индексу 1 н вижнену индексу С' (п. !6.3-6) равносильно внутреннему умножению (п. 16.3-7) р( нз б . Кзжный символ Кронеизре абсолютно знтнсвмметричен (п.
16.5-1) кз« по нерзиппв, тви в ио мвжннм иядексам. Все символм Кровекерз увито 2г >2н равны вулвь 16,54. 18.5. СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕНЗОРЫ '1'2" ' 'г Если А .. . симметричен по любой варе зерхьнх индексов, то 51 52 512 '' гл/2 г /52 .../: '1/3 " /Г 51 12 ... 55 симметричен по любщ! паре ннжкнх индексов, то 6 ''' »А !2''' »=а. с /' .../ 2122 25 /112" 15 "' ебсолютио знтнсимчетрнчен, то '1'т '' 'г (е — 5)' ' 152 'г 'г + 1 ' /5 1112 ' Сг п ! 16.5-3, 4(е-объекты (сиыволы Лепи-Чивита) (см, также п. 16.7-2). е-свм- СС ...5' С/,,С 1 2...л е ' 2 ' ' ' " = б ' ' ' ' '," и е, , = б ' ' ' (16.5-7) 1 2...п (/' ...1 апрелели:ат абсолютно антиснмметричные относительные тензары (е-объекты) ранга л н веса + 1 и — 1 соответственно.
Из (16.5-7) следует: !. е ' 2''' "=е, . =О, если среди инлексав С,, сю ..., 1' — с,с,, 1 З " В имеется хотя бы два одинаковых. ! 2. е ' ''' "=с . =1, если упорядоченная система ин- 11'З ' СЛ дексав !',, Сз, ..., 1 отличается четным числом траиспозиций от систеь)ы 1, 2, ..., л. 5, .5 3. е ' з' ' "=е ., = — 1, если упорядоченная система 11/З ' ' СВ инденсов С,, 1'„..., („ отличается ат 1, 2, ..., л нечетным числом траиспозицнй.
Слелует также апиетить, что / 5,,1 15 ...С е 1 '' '' " г+1' '' "е =(л — г)(б ' ''' ' г, (1656) 8182".Ьг)гт( 'я ' 5122."йг' е' ''' ле,, с —— и(, сс,, с (16.5-9) /1/з''' Л е ' '' '' "А; А, А =г. А (А з А н =йе1(А/). (16.5:10) 51 12 сл 152 сп 1 2 н ь !6.5-4.
Альтеривровзнное пронзведенве двух венгеров (см. также пп. 16.8.4 н !6.18-6). Альтернвроваиным произведением двух коитрзвзризнтных нлн двух «овз. рнентных вектороз (нногдз бееекторол) нззывеют антнснмметрнчный тензор ранга 2 с компонентзии У'/= а'Ь/ — е/Ь влн ";/ а/ЬС вЂ” е/ЬС (16.5-11) Вес зльщрняровавиого произведения равен сумме весов его сомножмтелей. 606 16.7. ТЕИЗОРЫ В РИМАНОВЪ|Х ПРОСТРАНСТВАХ 16.7-1 16. В-|. ГЛ. 16 ТЕИЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕИЗОРНЫИ АНАЛИЗ 16.6. ЛОКАЛЬНАЯ СИСТЕМА БАЗИСНЫХ ВЕКТОРОВ (ЛОКАЛЬНЫЙ БАЗИС) 16.6-1. Выражение векторов н тензоров через векторы локального базиса.
(а) Если задана координатная система к, то каждый (абсолютный илд ОтНОСИтЕЛЬНЫй) КаитранарнаитиЫй ВЕКтар С КОМПОВЕНтаМИ а' (Хл, Х'...,, Ха) может быть представлен в виде инвариантной формы а=а! (х|, хз...,, кэ) е; (х', кэ...,, х"). (!6.6-!) координатной системы х: Ь=д)(х|, х"', ..., к")е|(х|, хэ ... х") (!6.6-2) 7(ал(лангитм (-га базисного вектора е| рагим 61, 61, ..., 6„'.
Следует отме~ит~, что векторы (!) и (2) прннадлежзт, вообще говоря, различным венторныы пространствам. (с) Каждый абсолютный или относительный тензор А с компонентами ! А 3 э' ' ' г может быть представлен в виде инаариантной формы 1,14 .. 55 1 1 (16.6-3) 51 54 ' ' ' 55 Вта форма однородна относительно локальных базисных векторов е; и ев. 16.6-2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
