Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Сналпром (абсолютным скалярам) тензором ранга 0) а называется объект, иоторый з координатной системе х определяется функцией а(х), х', ..., к") и в иоординзтной системе х фуницией ц (Х), Ха, ..., Х"), СВяэаННОй С Ш (Х), К", ..., Хл) В Каждай ТОЧКЕ пространства соот!)ошением 16.2. АБСОЛЮТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ Т а б л и ц а 16.2-1 Определения теизорных величии наиболее распространенного типа, основанные иа законе преобразования их компонент (и. !6.2 1; а. 16.1-3, система индексны« обозначений) 3.
Абсолютный «онер пан тный вектор а (и=э=!, г 0) 4. абсолютный коитравэрпантный тензор А ранга 2 (и=с=2, э 6) 3 Лбсолютный «оеарнантный теньер А ранга 2 (И= э = 2, г= в) 6. Лбсолют«ый смешанный тензор А ранга 2 (и=2, г=э=() 2. Коитравариаитиым вектором (абсолютным контравариаитиым вектором; абсолютным коитравариантным теизором ранга 1) называется объект, который в координатной системе х определяется и упорядоченными числами илн функциями (компонеитамн) э) а'(х', хэ, ..., л ) и в системе х определяется л упорядоченными компонентами й)(Х1, Хз, ..., Х"), связанными с а'(х', х', ..., х") в каждой точке пространства преобразованием „-а аь = — 1- а'.
(16. 2-2) дк 3. Коварнаитиым вектором (абсолютным ковариаитимм вектором; абсолютным коваряаитиым теизором ранга 1) называется объект, который з координатной системе х определяется и упорядоченными компонентами а;(х', хэ, ..., х") и з системе Х определяется п упорядоченными компонентами й!(Х', Хз, ..., Х"), связзнными с а;(х', х', ..., хн) в каждой точке пространства преобразованием ') В векторной алгебре (гл, б) компоненты вектора наэывалнсь каординатоли вентора Отметим, что термины коллэнелтм тенэора и координатм тензора прнменяэпся взаимозаменяемо.
499 Язта ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА 16.2-6. 498 ГЛ. 16. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЪ|Н АНАЛИЗ 16.2-2. ваннем (16.3.0) айщ а» ах»г ах' д ' »1»й" »э дх(» дх| ах|с ак»| дх»э д,с; с,с,... с, [а (,л,й,л)~(Р дх -» с!!я -сэ д(х! к' " ° хл) Н6.2-6] э | 4. Тензором А, г раз коитравариаитным н з раз коварнантиым (истинным тензором, абсолютммм тензором, г раз коитравариантным и з раз коварнантяым), называется объект, который в координатных системэх х и х определяется соответственно л"" компоцентамн с! ...с — А» ...» А ! я '" д(кл, хя, ..., хх) и пгщ компонентами А ' э " г(Х! Ля дя) »;»;... »; свяэаниымн с А ! "" г(хл, к', ..., к") в каждой точке преобраэо.
|112 -. 14 Г ах» а»э ах»' ах ' а. ' ах" слся"'г »;»2 -»э дхг дх| "д лг д„-»; а„-»; »' С!(я-'з Общее число индексов г+з называется рангом (валентностью) теи- зора А. Ь. Отпосятсльпым тепэором (псеэдатенэором) А «ясэ Н', г рээ «о«тра«яр«энтмыы «э рээ «езэр«ант«мы, «ээыээется объект. опрэлеляемыа е «людой итюрдяыэтяай системе хт+э упорядочея«ымы «о«попе«т«мп, поторые пря переходе « павой сыстеме «оордыыат преобрээуются по закону где 67 — целое ч«ело. Пры П' = + 1 отпоситель«ый те«эор пээыээется те«хор«ай плотностью.
«ры Н' — | — теыэорпой ем«остью. ура««еапе (5) э«лючэет (1), (2), (3) п (4) кэя част«ые случая, соответствующие и' =о. с,ся ... с Те«э ар с компонент«ми А л , г «ээы вьется смею эппыы те«хором, если «« г, «« э 1'С ' ... 1 ' «е разны нулю. Преобрээовэ«яе (Я), хэрэ«теряэующее любую тепэориую пел«ч«яу, я«ляется лыпойпым я одыородыым от«ос«тельно ыампопеят те«эарл.
Преобрээоээ««е, абрэтяое преобрээопэнзю (6), имеет эпд дх(э дх|э дх г дх ! дк э дх х — »!|я "»с[а(х~ хз, ..., х") ~(п 1Я'" э )х э дх»э дк»г ах ! дхэ а |э 1 Я"' э д(х х ° хх) (16.2.6) 3 «мече и я е. Дхя тэю чтобы ле щадить новы» химю.юэ, хам«охваты юеиэорав атыда различают аюиагихыхьиым лэюжелихм ээркхях и и«юлих иидекгоа.
тэх, А'» « А„С обоэпзчэ«лт рээл«чяые сястыэы «оыпопеят (см. пп. !6.7-2 я !6.9-1). Ш.Я-Я. в«бы««тех«мыльное «ереме«!епяе. Граяиепт сказтярпще паля (см. такие ип. 6 2.2, 6.7.1, 6.2-3, 16.10-7). Д«фферепц«элы коорянаэт ахс определяют «оытрэзэраэ«таня эектор, йаторый «ээызээтся хе«тором пифа««теэымэльяато переыэщеппя дт.
Если скэляр а э««э« лпф4юрепцыруемой фуикц«ей от хоорлппэт х, то дасдх' служат иомпоиеытэы««азэраэятпота вектора — грэдпе«тэ па си«ларя а. Каэариахтиыа вехюар. задан«ма колпюислтами а, является грод«с«том сяэлярэ э там я только э том случэе, есле да д໠— — — Э дяя асах С, »; прн этом предполагается, чта эсе чэст«ые яра«э«ад«ые дхй д«1 пепрерыз«ы, 16.3. Тензорндя Алгеврд( определенне основных опердпдйп 16.3-1. Равенство тензоров. Два тензора А н В одного н того же типа, ранга н веса называются равнымм (А««В) в точке (к', кз, ..., к"), если в этой точке равны соответствующие компоненты тепэоров относительно некоторон координатной системы сс ...с 1112"'СГ А.(4 '(х' хэ, ..., х")=В(й г(к|, к', „, «я) ~ (ралепстао тгиэарол).
|!Ся... Сх ' ' ' 1!|2...1» (1 6, 3-1) Огсюда следует, что саол!яетппвующие компоненты тсизоров А п В равны а каждой координатной системе (см. также п. 16.4-1). Равенство тепэоров обладает свойствами симметрии, рефлексивиости и транзитнввостн (п. 12 1-3). 3 э м е ч э ««е. Б тэ«хор«ой алгебре ые определяются п«кэкзе соотяоэ|еыпя между эпэче«иями те«заро« э рээл«чных тачках прострэпстээ.
Некоторые ыэ этик соотяощепяй дая чзстяого случая теыэароэ э рпмэноэых прострэ«стээк рэссматрнзтются э п. 16. И1-9. 16.3-2. Нуль-тензор. Нуль-тензором О любого заданного типа, ранга н веса называется тензор, обладавший тем свойством, что все его компоненты в некоторой координатной системе равны пул|о.
Условие того, что А =О э точке (х', хэ, ..., хя), имеет вид с,с,...с, А.', Я .г(кл, кз, ..., к")=О (нуль-лмизор), |!|Я... С" Все компоненты нуль.пмнзоро А равны кулю е любой координатной сиппехсе 16.3-3. Сложение тензоров. Если задан класс тенэоров одного и того жз типа, ранга и веса, то суммой С=А+В двух тензоров А н В наэываетсп тензор, компоненты которого в некоторой координэтной системе (и, следовательно, в каждой координатной системе) равны суммам соответствующих компонент эепзоров А н В: С! Я "' г=А ! Я"' с+В!э"' г 1 (сложение тенэораа).
(16 3 3) 1112 „, Сх |1(я ..Сх 1112., Сэ 1 Сумма те«заро«А+ В является теыэором того же ранга, тыпа ы веса, чта з «аждае иэ слагаемых. Сложение теыэороз «оммутэтяэяо ы ассоц«эта«по. 16.3-4. Умножение тензора на абсолютный сиаляр. Произведением В=аА тензорэ А иа скалвр а называется тевзор, компоненты которого в каждой координатной системе равны произведениям компонент тензора А на скаляр а: В 1,' "' Г= аА ', '" ' 1 (умножение иа скаляр). (!6,3.4) аА является те«хором тога же ранга, т«пэ ы веса, что и А. Умяоже«яе «э схэляр «оммутэт«эыо ассоц«этыэ«о « дястрябутпэпо отвосытель«о сложения кэх тепэороэ, тэ« ы с«эляроэ З частности, (- П А =— — А есть тсаэор, противоположный теыэору А, т, е.
А+ ( — А) О, 16.3-6. Свертывание смешанного тензора. Свертывание — операция, которая может быть применена к смешанному тенэору. Рассмотрим смепшнный 11 с тензор А с компонентами А ',з'" '. Если выбрать какой-нибудь верхний 1119 .„Сх индекс и какой-нибудь нижний индекс и просуммировать все компоненты с совпадающими значениями этих индексов, то полученные н'+' я суммы будут компонентамн нового тензора того же веса, что н А, г — 1 раз контрэварйантного и з — 1 раэ ковариавтного. Смешанный тензор может быть, Гй)О ГЛ. 1б. ТЕНЗОРНЛЯ ЛЛГЕВРЛ И ТЕНЗОРНЪ!П ЛПЛЛИЗ !З.З-З.
1бл. ИНВАРИАНТНОСТЬ ТЕНЗОРНЫХ УРЛВИЕНИН 42.4-!. вообще говоря, свернут различными способами; кроме того, свертывание может быть повторено несиолько раз. П р им е р. Свертывание абсолютного нлн относительного смешанного тензора А ранга й с компонеятамн А', порождает абсолютньщ нлн относительный скаляр А'. А 1 + > 1 + Аз+ ... + Ал (слел А). 16.3-6. Произведение (внешнее) двух теизоров (см, также п. 12.7-3). Произведением С =АВ (внешним) дв(х тегшоров А н В веса йг и ИУ' соот>( > Ьй Ь ветственно, определяемых компонентами А ! 2 "' г и В 1 2 "' и, называется (!(2 >з 2!22 Зр текзор с компонентами ,>, »,з, С>, -'; 2 '" Р=А ',.2"' ..'В,! .2 "' и 1 (гпешнсг умножение). (16.3-5) >!(2, (22!»2, зр >1!2 (з Ь!й! Ьр Произведение АВ является те»вором веса П' ' П", г+ р рав контрвварнантным н 2+ р рав коварнантным.
Умножение тензоров ассоинативно н »истр»пут»вне от»осп тельно сложения Однако оно, воозше говоря, не номчутативно, твк как порядок следования индексов в формулас (5) является существенным, П ример ы. а Ь А, а ЬЬ вЂ” — А ° аЬ„= Л.й. Произведение (4) явл»етс» част. й т у ! (й ы' пь(м случаем внешнего произволения те»воров. 16,3-7. Внутреннее произведение. Если произведение двух тензоров А и В, определяемое формулами (5), можно свернуть (п. 16,3-5) таким образом, что в каждом из слагаемых один пли несколько верхних индексов компоненты А )з"' ' будут совпадать с одним или несколькими нижними индексами 2 й * компоненты В 1 з"' и, то полученные суммы будут служить кампонситами й!йз, У(У' нового тензора, который называется внутренним произведением тензоров А и В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
