Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Решеапе Ф (г) задачи дкрпхке (3) доставляет стацпокзрное значение интегралу дкрнхле ! (5Ф)' иу, где Ф (г) предполагается дважды непрерывно днфференцкруемоа э у У а на 3 н удовлетворяющей данным краевым у«лопнем (см. также и. 15.4.7, а), задача дзрпхле имеет особую важность для электростзтпкк (см и. 16.4-5). (Ь) 3 а д а ч а Н е й м а н а. Для второй классической краевой задачи (Нгйа|ана) 7'Ф(г)=0 (г~ у), --=Ь(г) (г ш 5), (15.6-4) где Ь (г) — данная непрерывная функция; существование решения требует выполнения условия )Ь(г)йА=О (см, также теорему Гаусса, табл.
5.6-1). й Если 17 — неограниченная обкастьч то для существования решения необходимо Ф (г)=0(1,'г) н дФ)да=0(1)гз) при г со. Решение задачи Неймана е ограниченной области У едингпыгкно с точностью до аддитибной поспюякной. Задача Неймана возникает, э частности, прн заученна течения песжпмаеыойжндкостк (см. и. !0.4-5) 1Б.б-з. Теорема кельанпа об ннаерспн. если Ф (г) есть решение деффсрскчно«ькэго рроэкские Лпчэосо е некоторой оп«ости р, а«тощей ««утри сферы | г — а | й, то фгчкких Ф(г) =, а«1 (г — а)+ а| й Г й' ,'г — а| 1)г — а,' ° (15.6-5) есть ргшгняе ореэпспиа Лапласа е сеетттствдвщгй ебатти, жкгощей аке сферы, и сгротко.
В сферических коордппатах г, 6, О это означает, что есин Ф (г. 9, 71 сспм решение й Гй' зри г < й, тс — Ф ( —, 9, ч) есть рсш кис при г > й, и обратно. г )(г' Отсюда следует, что так назыааеыаа внешняя красав» задача 7* Ф (г) = О и. — ФВФ= Ь (г) оФ бп (гшз), г со (! 5.6.6) 71) Ф(г)=0( — ) прн ( ) рля ограанчепноа области У может быть преобразоэана а соотаетстэующую краевую задачу длк екртренкей области У, полученной па У посредством ореобраэоааппя нпперснн й' г — а= (г — а).
(15.6-7) , с — а |э 15.6-4. Свойства гармонических функций. (а) Т е о р е м ы о с р е д н е м з н а ч е н и и и и а к с и и у м е и ой у л я. Решения Ф (г) уравнения Лапллсз (1) называют гармоническими функциями. Каждая функция Ф(г), гармоническая а открытой аблпспш 1', окали|яичка (и. 4.10-5, Ь) и имеет а у гармонические произоодкыг любого порядка. Каждое значение Ф (г,) рагко сргднгарифме)пичгскому (п. 4.6-3) экач'кпй Ф (г) на поверхности (а отшода и по объему) сферы с цени|ром а томы г=г, а предположении, чпю сфера содержится знутри области у (лморема о среднею энаыиии). Обратно, непрерывная функция Ф (г) яаляется гармонической г каждой открыпюй обласп|и, а которой аыполнягтся сеойс)пко среднего значения. Функция Ф(г), гпрмоничшкая внутри ограниченной области У и на ге границе 5, не может иметь максимума или минимума внутри )7 (теорема 156 ТЕОРИЯ ПОТЕН([ИАЛА 15.6-6.
481 15.5-5. ГЛ. 15. ЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ о максимуме э!одуля, см, также п. 1.8-5). Если Ф(г) — гармоническая в 17, непрерывна в У и па 5 и равна нул!о на 5, то Ф (г) = — 0 в У. Если Ф(г)— гармоническая з У, непрерывно диффереицируема в )7 и па 5 и дФ(Оп=О на 5, то Ф(г) постоянна в У. Теорема об инверсии п. 15.6-3 доставляет аналогичные теоремы для неограниченной области У' вне 5, (Ш Теоремы Г ар и а ха Следуюп!ие ниже теоремы ипгереспм в геязи с эпира.
«симацией гармаиических функций. Если лослгдаэатгюхоггш зэ (г),, (г), ээ (г), ... функций, еариониыс«ых э у и пг ргоиэнмх ка гуаничг 5 обхшти У, разном рно сходится ка 5', то эта посгедоэагт,ит кость сходится разномерно е У к некоторой функции з (г), гармонической е У и пгахгй, что з (г) =- Нпз з (г) иа 5. Пжхедоэогэегьишть частим» ароызэодхих от функеии з (г) и ы сходипгсл раэхомерча к соответствующей числ|ной производной з (г) е хахсдой залкиуп о~! подобласти У (пгрэая теорема Горного). НхстЬ даьи ЛОСЛГдзеатешхаетЬ фУХКЧий Зэ (Г), З, (Г), З, (Г), ..., Галпаииежкиэ Э У и такач, что зе (г) > эг (г) Ш з,(г) > ...
дхх есех г э У. Иэ гходимоспш этой лосхгдээо теюиэсти э некоторой точке У схедует сходимшть пжхсдоэатгхьиасти всюду е у и раэчомернчх схедихость э каждой эалкиутой подобаю ги У; пред х дахной посл доеиппхьхотпи есть фуххиих, гормопычюхал э У (эторая теореии Гарнахо!. потенциал единичного дипаля, яапраехгняаго вдоль единичного вектора и е точке (р): гр (г — р) = — (п 7) грэ(г — р) (гчь р), Более общо, потенциал мультиполя порядка 1 в !пачке Р=О: Ф,(г)=( — Ц)(р; 7)(р;, 7)...(р, 7)ср,(г)= =ХХ;Е Огу),„';;;,", !+я+1 7 (г ~ 0), (15.6.10) где так называемые компоненты момента мультнполя О,е( суть константы, (Л определяемые посредством 1 векторов рз, рю ..., р, образующих мультиполь.
В сферических координатах г, 5, ц) имеем Ф)(г)=-! — -;Ф ( — г)= — '~, у)(Ф, 5) (гтьО), (15,6.1ц где У). (4), 6) — сферическая функция ).го порядка (п. 21.8 12). Мультиполи второго и третьего поряднов известны под названием соответствен!ю квадрииоля и оптино)ш. (Ь) Потенциалы распределений зарядов. Соотношения для ра з р ыв о в. Другие частные решения уравнения Лапласа получаются линейной суперпозицией (или интегрированием) простых потенциалов и потеициалоп ДИПОлЕй. В частности, представляют интерес абвеммые поглгнциалы распределений зарядов и дипогей ~О(р) ць( -р)йУ(р)=) („",', й)'(р), У У (15:6-12) — $)Р(Р) 7)фо(г — Р)йр(Р)= — $!Р(Р) 7! „' ! ЙУ(Р) (15.6.18) У 15.6-5. Решения уравнений Лапласа и Пуассона как потенциалы. (а) Потенциалы точечного заряда, диполя и мульти- поля.
Следующие ниже частные решения уравнения Лапласа имеют осо. бенно простую физическую интерпретацию: потенциал единичного тачечмаеа заряда в тачке (р) = — (В, т), ь)! ,(г — р) = 1, ' (г=йр); (15.6 8) Р!го)у(х — 1)1(ун)г-(ги ~п(р)гр,(г — р)йА(р)=) а('и йА(р», (15.6-14) г(р (р) да' "А (р)= = — ) р(Р) д,—,()г !)йА(р).
(15.6-15) Потенциалы одномерных распределений зарядов (лииейвые интегралы) представле~аг нпгерес глазпмм образом з двумериай теории погеициала (п. 15,6.7), Если плотность зарядов О (г) ограничена и пктегрируема в У, та простой объемный патеициал (12) и все его праизвадиме существуют и равпамерио пепрерывим при всех г; производные могут быть получены диффереицираааиием пад звакам иягеграла. Патеицпзл удовлетворяет уравнению Пуассоеа (2), если О (г) ограимчеиа и иепрермвио дпффгреицируема.
Если фуикции поеерхпасгиой плотиости а(г) и р(с) дважды дпфферез. ьируемм па 5, то: 1. ПагеиЦпал пРостого слоЯ (14) иепРеРмвеи в кажДой РегУлЯРпай точке гз повеРх. пасти 5. Та ив самое имеет место для праизводиой дФ/д1 в некотором ваправлеинп. кэсательзом к 5 в точке гю однако производная дФ)дл вдаль вармалы к 5 в точке гэ претерпевает разрыв, пригеы дФ) дФ) — — — = — 4яа (г,). дл )4 дп )- (15.6 16) Здесь ивдексм + и — указывают соответствугащие односторонние пределы, когда г гз по положительной или осрицатеэьиой стороне нормали к *.
2. Разрывы потенциала дзойиога слоя (!5) и его касагельимх производпмк удовлетворяют саогиошеииям Фч. (гэ) — Ф (гз) Ф (гэ) — Ф (гэ) 2пр (гз), (15.6-17) (15.6-16) -д(-1,--0(1гтгз- ги-1г=г, — — „,1 — . дй в каждой регулярной тачке гэ, принадлежащей Ь', в которой иормальяая произеадпа» дФ(дп иепрермвка. 3 з м е ч а в и е. В частиом случае, когда р (г) = р, патсициал двойного слоя (15) равен умиожеииому иа р тглссиому углу с вершиной в точке (г); этот угол примимаетси палажительимм, если точка (г) располажеиа ка положительной стороне иормал» к 5. для замкнутой паверхиости 5 потенциал равен — 4пр, если (г) внутри 5, и равен «улю, если (г) находится впе 5. (с) Разложение по Мультиыолям и теорема Гаусса.
Рассмотрим потенциал Ф (г), порождаемый некоторой комбиыацией распределений зарядов, заллючеипых в ограиичеииой сфере )г( щ'88 пусть Оу — конечный общий заряд. Ф (г) яаляетса линейной комбинацией патепциалав типа (121 — (15): для , 'г 1 > и можно разложить Ф (г) в ряд Тейлора (5.5-4) с членами (10) или в радио с4юрвческим фуикцквм (11). Для достаточно большак г потеициал таким образом последавзтелшга аппроксимируется потенциалом точечкаго заряде ОГ, расположеыыого в иачале, потенциалом тачечиаго заряда плюс ыатеыциал диполя и т.
д. (Раээожгхиг по муэьтипоэлм). Для каждОй регуляриой поверхности, заключающей внутри себя распределеиие зарядов. теоРема Гаусса (табл. 5.6-!) првиимает специальный вид ~ йА УФ=~ а — йд--(пЕГ, дФ 5 5 (15.6-19) (й) Общие решения уравнений Лапласа и Пуассона как потенциал ы.
Пусть У вЂ” односвязиая, ограниченная нлн неограниченная трехмерная область с регулярной граничной поверхностью 5, и пусть Ф(г) дважды непрерывно дифференцируема в )7 и непрерывно дифференпл. и потенциалы ппаерхиастиых распределений зарядов и дипалей (потенциалы прастога и двойного слоев) )э.п-а. ГЛ. !5. ЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !5Э. ТЕОРИЯ ПОТЕНПИАЛА !э.э-э. руема на 5; Ф(г)=О(1)г) при г со, Тогда теорема Грина (табл. 5,6-1 или п. !5.4-3, с) позволяет представить Ф(г) в форме Ф (г) = — ~ (йьо (г — р) 7р Ф (р)] ЛА (Р) 4 ~ (Ф (Р) 7р !Ро (г — Р)1 дА (Р) — — ~ гр,(г — р) 7а Ф (р) й У (р) (г !к !'), (15.6-20а) ! 'Ра Р) )„о! где 7р означает дифференцирование по компоненте р; заметим, что 7рсро(г — р)=- = 7срв(г — р). Формула (20) выражагпь любое рсшсиие Ф (г) уравнения Пуассона (2) как иотпициал, порожденный тремя раслрсдеяекиями: 1. Раслредпягния простого слоя (14) с плотностью ! УФ дА 1 дФ 4«х ад 4л дп ' 2.
Распределения двойного слоя (15) с плотностью ! 4Л 3. Объемного рагпредгягиил (12) с паап!кость!а — — „7эФ =. (г (г). 3 а и а ч а а и е Выражавсиа 12эо) обращается а яуяь, если точка г находится аяс у, я ранна Ф !«))2 хяя точек г, орика»лежащих ооаерхпдстя Б. 15.6-6. Решение трехмерных краевых задач посредством функций Грива. Метод функций Грина пп. 15.5-1 и 15.5-4 позволяет выразить решение Ф(г) задачи Дирихле (3) и задачи Неймана (4) для подходящих областей У в форне поверхностных интегралов Ф (г)=[ 65(г, р) Ь(р) йА (р). 5 (15.6-21) В п.
15.5-4,6 указана связь люжду «поверхностной» функцией б (г, р) Грина и обычной функциеа Грина 6(г, р), доставляющей решение Ф(г) =4л [ 6(г, р) б(р) йу (р) У уравнения Пуассона (2) при «дополнительных» однородных условиях Дирихле или Неймана. Суперпозиция решений (21) и (22) доставляет рщпеьне уравнения Пуассона с заданными граничными значениями Ь(р) функции Ф вли дФ!дп (п. 15.4-2). Заметим, что С(р, г) С(г, р) (п. !5.5-1). Функции Грина легко найти в следующих частных случаях (заметим, что положительное направление нормали идет экг замкнутой поверхности). (в) функция Грина для всего пространства. Если У есть все трехмерное пространство, то формула (20) доставляет едипствешюо решение (22) уравнения Пуассона при «краевом уснопии» Ф(г)=О(1)г) прл г — оэ.
Соответствующая функция Грина есть 1 ! 6 (г, р) = — = л 9 4(г — р) (см. таньке и. 5,7-3). (!5,6-23) Последний погпсициая равен нулю, если Ф (г) удоаяе)апаряет а У уравиениьо Лапласа (1). где 7 — угол между г и р, или соху=соя О соэ 0 +выл 0 э!п О' сох (ьр — !р'), (15.6-28) если сферические координаты точек (г) и (Р) обозначены соответственно через г, О, ьу и р', 0', ~Р'. Второй член в формуле (26) можно рассматривать хаи эффект индунированного заряда, симметричного данному относительно сйьеры в соответствии с теоремой !хельвнна об инверсии (п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
