Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 109
Текст из файла (страница 109)
также п. 15.4-6); интегрирование по частям приводит к обобщенной формуле Грина Ь Ь ) (о(.и — и! о) ей= — р (х) (ои' — ио') а а В трехмерном случае определим скалярное произведение формулой (2), а оператор рз — так же как в табл. 6.4-1 или 16.10-1. Тогда, считая 4= 5 й(хт, хз, хз) действительной дифференцируемой фуницией, будем иметь, что действительный дифференциальный оператор Š— — Рз — 4(х, х', (!5.4-1 1) является самосопряженным и удовлетворяет обобщенной формуле Грина ~ (ойп — иЫ) йу = — ~ (о ри — и ро) йА = — ~ (о о" — -а" ) йА (15.4-12) для каждой пары соответственно дифференцируемых функций и = и (х), о = о (х), удовлетворяющих одинаковым однородвым краевым условиям, определяющим некоторое линейное многообразие функций.
Эрмитово сопряженные краевые задачи с зрмитовыми операторами, имеющие одинаковые ираевые условия, тождественны (самогопряжгнные краевые задачи). (с) Ч а с т н ы е с л у ч а н. Д е й с т в и т е л ь и ы е о п е р а т о р ы Ш т у рма — Л н у нилл я и обобщение теоремы Гр ни а(см. также пп.5 6.1 и 15.5-4). В одномерном случае уравнения (За) и (ба) являются обыиновеннымн линейными дифференциальными уравнениями с заданными краевымн условиями на концах интервала (а, 5) = 1'. Если скалярное произведение ь определено формулой (и, о)=) ио йх (п.
15.2-1), то для действительных ди)ра ференцнальных операторов второго порядка имеем (см, также табл. 5.6-1). Аналогичная формула может быть написана для двуыерного случая. 15.4-4. Теорема Фредгольма об альтернативе (см, также пп. 14.8-10, 15.3-7,а, 15.4-12). Линейнал краевая энда«а, определяемая дифференципльным уравнением (15.4-13а) 1 Ф (х) =) (х) (х )ы У) с однородными краевыми услозиями В; Ф (х) = О () = 1, 2, ..., гУ; х ~ 8), (15.4.! 35) имеет гдинспменное решение тогда и только тогда, когда зрмитоео сопряженная (сопряженнол) краееал задача (5) имеет лишь решение 7(х), толгдестеенно равное нулю, у (х) = — О. Если же однородная краевая задача (5) имеет решения 2(х), отличные от ну)я, то данная задача (13) разрешима, лишь если 7(х) ортогональна к каждому у (х), т. е.
з) (, Л=! 2)йУ=О. (1би614) Если последнее условие выполнено, лю данная задача (13) имеет бесчисленное множхстео решений. 3 в м в ч з и и в. Вв миогвх приложениях Ь есть вриитвв овервтор, и зрыитовв соа ряжввивя задача 45) совладает с дзиивй задачей Оз).
15.4-5. Задачи о собственных значениях для линейных днфференциальных уравнений (см. также пп. 10.4-2,с, 14.8-3, 15.1-!). (а) Для заданной совокупности линейных краевых условий собственной функцией (характеристической функцией) линейного дифференциального оператора Е называется решение ф(х), не равное тождественно нулю в 1', дифференциального уравнения 1.ф(х)=)ьф(х) (х щ У), (15,4-15) где Л есть соответствующил) образом определенное число, называемое собственным значением (характеристическим числом) оператора !., связанным с собственной функцией ф (х). (Ь) Более общие задачи о собственных значениях приводят к нахождению собственных функций ф(х) ФО и собственных значений )ь, удовлетворяющих линейному дифференциальному уравнению Е ф (х) = )ь В (х) ф (х) (х ьж 1') (!5.4-16) и ззданным линейным однородным краевым условиям; В(х) есть действительная н положительная функция в У.
(с) Если ф(х) есть собственная функция, принадлежащая собственному значению А, тоета же самое можно скоэал)в о иф(х) ФО. Если фг(х), фз (х), ... ,, ф (х) суть собственные функции, принадлежащие согктвенному значению А, то )по же самое имеет место для любой функции игф) (х)+нефе (х)+" +с44фз (х) ЕЕ О. Эта теорема приложима также к равномерно сходящимся рядам по собственным фуннцняы. Собсоменные функции, принадлежащие различным собппаенным значения,н, линейно независимы (пп. !.9-3, 9.3-2). Если собственному значению )ь принадлежат т»1 линейно независимых собственных функций, то число т называется рангом собственного значения з) В вдвоивривм случае ау совпадает С Нл. 474 15.4-5.
475 1541. 15.4. ЛИНЕИНЫЕ КРАЕВЫЕ ЭАДАЧ11 ГЛ. 15. ЛИИЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНсНИЯ (б> Спектр линейной задачи особственямк вначенияк. НепР е Р ы в н ы й с п е к т о н о б о б щ е н н ы е с о б с т в е н н и е ф у н к ц и н (см. также пп. 14.5-5, б н 15Л.12>, для заданных однородных лннейныэ «реевы э условна н В (х» ь О спектр линейной ээдачй о собственных значениях (15) есть множество «омплекснык чисел А текин, ято дифференциальное уравнение (эш щ 1. Ф (4> — ). В (х> Ф (х) Е <к) (<бм-Н> с эвдэнной нормируемой «воэмущэ(ошей» функцией Е <х) не имеет единственного нормируемого решения, удовлетэорэющего ээдэнным краевым условием. Спектр может быть нгэ<ырывлии н сстатоэныи в также дискретным, которма определея уранненнен (15) с нормируемыми собственнынк фуикцяямн ф (х>, В частном случае, когда В (4) = — 1, говорят о соек(нрсгсффгренчислыюгсоператоре 1., Если Ь вЂ” эрмито» оператор н В (э) )О, то дискретный н непрерывный спектр вэдачн <15) включвстси в лредеэьимй спектр (п.
14.5-5, б). Часто можно получить предельный спектр приближением вэдэчн о собственнык энэченвях последовательностью ээдэч о собственник значениях, имеющих лишь дискретный спектр. В процессе тэкнк предельнык перексдоэ собственные функции эвмеияютсн множеством Функций, завися(цик от непРерывно нзмевнющегося параметра х! такие функции известны нод наэээннем обобщеииык собствеииык (эуикцнй; оии удовлетворяют урэвнению (1б!. П р н м е р.
Обыкновенное днффереициэлькое уравнение — — ХФ <х) с У вЂ” (О, со) авф (х> алэ нрв краешек услевиик Ф<О>=О, (<Ф<П!' ЕС О имеет непрерывный спектр О С А С (о. Этот спектр аппроксимнруется дискретным спект- ром А = (Зя(с)э (З = О, 1, 2, ...) задач о собствеиныэ значениях вафа (к) <х, а - — А Ф <э> с у ме <О, о), Ф <0) = Ф (а) = О при и оэ. Собственные функции э(п — х (3 О, 1, 2, ...) последней эадэчи аппрокснэтй а мяруют обобщенные собственные функции э<п ТГА х при е со (перекод от редон Фурье к ннтегрэлэм Фурье).
!5.4-6. Собственные значения и собстаеннме функции армнтовой задачи о собственных значениях. Полные ортонпрмированные множества собственных функций (см. таки(е пп. 14.8-4, 14.8-7, !5.2-4, !5.3-3, 15.4-3, Ь). (а) Если опграпшр 1 в уравнении (15) зрмшлов, то 1, Все значения 7> сагктра действительны.
2. Нормируемые собственные функции трп фз, гоотле(пглюуюи(нг различным собспменным значениям, запил<но ортогональны! (ф! фз) =) ф ф «!'=0 ( ~ ) Если Ь вЂ” эрмитов апгратар, имеющий чисто дискретный спектр, то имгюп место следующая тгореэ(а разложению 3. Сущгствугт ортонармированиая последовательность габгтзгннь!х функций <р! (х), фэ(х), ..., доставляющая разложеииг в ряд <р (х) = а, <р, (х) -1- а, ф, (х) + ... в среднем (аз=~фз<рй1>, А=1, 2, ...) (15.4.18а) каждой кзадратиииа интегрируемой функции ф(х), удовлетворяющей краевым условиям задачи и питой, чта Ь ц((х) существует л<жти зподу з У.
(Ь) Эти жг теоремы рагнрастраишотся на еобсбщгннуюь задачу о собственных значениях (16), где Ь-эрмитоз оператор и В (х) ю 0 в предположении, что ортогональность и нормированность переопределены посредством скалярного произведения ') (, )в — — ~иоВйу. Р Таким образом, разложение (18 а) заменяется более общим разложением <Р(х)=а1'Р1(х)+а!фа(х)+...
(аа=~ фзй(В йу, 2=1, 2, ...). (15 4-18 Ь) — =') ( О, если Е ф й, 1 ф!фзВВУ=5!Ажь > ' ' ) (4, й~!, 2, ...). (15.4-19 а) ( 1, если Е=А ) Этн соотношения содержат как частный случай соотношения, полученные для задачи (15). (с) Для эрмнтовой задачи с (необходимо действительным) непрерывным спентром, обладающим обобщеннымн собетвеннынн функциэмн (см. п. !Ом-з, б), существует мно. жество обобщенных собственных функций ф, (к, А), для когерык ) фп, ю рп. А) в<па !Яп=б(А — А ). (!5.4-12 П У 15.4-7. Эрмитова задача о собственных значениях нак варнацнанная задача (см, также пп. 11.7-! — 11 7-3, 14.8-8, 15.3-6, Ь, 15.4-10). (а) Задача о собственных значениях (16) для эрмитова дифференциального апгралшра Ь с дискргтньиш собственными значениями Х„>ь„... эктиалгнпта коз!дай из следующих вариационных задач ').
1. Найти функии!о ф(х)НОО в У, удовлетворяющую данным краевым условиям и обращз)ощую вариаиию (пп. 11.5-! и 1!.5-2) функционала ( 42! фа1' (ф, >фи 1' (частное Рглгя! (Ф Вф) ) Гфрвау У (15.4-20) в нуль. 2. Найти функцию ф(х), удовлетворяющую данным краевым условиям и обращающую вариацию функиионала (ф Ьф)=~ФЬфйу в нуль при условии, что (ф, Вф)=~~ф;эВй =!.
В каждом из этих случаев функция ф=фв(х) доставляет функционалу стациояарное значение Еьз. Таням образом, возможно использовать прямые методы варианионного исчисления, в частности, метод Рглея — Рнтца (п. 11.?-2), при решении задачи о собственных зяачениях для обыкновенных дифференциальных уравяений и уравнений с частаыми производными. (Ь) Пусть дан эрмнтов оператор Ь с дискретным спектром, содержащим не более конечного числа отрицательных собственных значений (пп. !5.4 8, 15жь9), и пусть собственные значения расположены в порядке нх возрастаиид, ') И одномерном случае а1' = ах.
Ортонормпрованиость собственных функций фз(х) определена как (!5,4-21) (15.4-22) 15.4. ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 476 477 15.4 >В. ГЛ !5. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЕ 25.4-3 причем собственные значения ранга т повторены т раз: Л,:=Лэ(... Наименьшее собгамгииог значение Л, розно мииимул(у частного Редея (20) дгя произвольных «долустимыхэ функций ф(х), т, е. для произвольных нормируемых ф(х), которые удовлетворяют данным краевым условияь, и таких, что частное Релея существует. Аналогично г-е гобспмеилог значение Л указанной выше логлгдозатгльиости не лргзогходит час>иного Рглгя для есех «дойус>лимыхз функций тр(х) >лаках, что Г фвф Вйр=О (15.4-23) для каждой собственной функции тре, гоол>егтгтгу»ои(гй Лы Л«, ..., Лг ! (принцип мииимакса Кураита).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
