Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Е Класс 7.2 (более точно С (У)) всех действительных или комплексных квадратично интегрируемых функций на некотором интервале или в некоторой области соответственно образует бесконечномерное дейстгитгльиое или комплексное унитарное векторное пространство (п. 14.2-6), если рассматривать функции 1(х), й(х), ...
как векторы и определить венгор-сумму функций 1(с) и й (х) как 1(х)+йг (х), произведение вектора 1(х) иа скаллр а как сс1(х); сналнрное произведение векторов 1(х) и й(х) как (1, й)ив~Тая)йейЬ (!5.2-1) где у (х) — данная действительная неотрицательная функция (весовая функции), квадратично интегрируемая на У. Замене весовой функпии соответствует замена независимой переменной; во многих приложениях у (х) ем 1 или у Н) сф есть элемент объема (п. !5.4-1, Ь). линейная нгэаьисимьсть мгюжьстьь (эуякппо (ьектьраь) ь ь, определяется спьссбпль П. ).З-З (СМ. сляжь П. ((.2-2).
КгадРатичьа интггРиРигллг фиклкиь ) (Х), ) (Х), ..., )т (Х) лимгйнь игэаьисмлм тогда и полька магда, когда алргдглилиль Грэма йе( (((( ) )) ьтлимгм ьгл милл (см. также и. ((.2-6, «). (Ь) Как и в п. 14.2-7, норма функции (вектора) 1(х) в бь есть число (!1 !) = У (1 1) = ) ~ у (Р ! 1(5) ! "$~ А. (15.2-2) Функция 1(х) (необходимо квадратвчно интегрируемая) нормнруема тогда и только тогда, когда ()1(, существует и отлична от нуля.
Умножение на 11((1(! нормируемой функции 1(х) доставляет функшпо 1(х)А1(! с единичной нормой (нормирование 1 (х)). (с) Скалярное произведение, определенное равенством (1), имеет свойства, перечисленные в п, !4.2-6. В частности, если 1(х), й(х) и действительная неотрицательная агсогач фуикцил у (х) каадратично интегрируемы на У, то имгет Мгспю мграаенсгпло Коши — Шварца !(1, й) )г=~ ~У1йй5)л( ~ У (1!»(Ц ~У ! й !»оеь=(1 В(й, й) (15 2 3) ') Обаьяьчепмя см. п. Ш.)-2.
15. 2-2, ГЛ. 15. ЛИНЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.2.4. 15.2. РАЗЛОЖЕ)Ц!Я ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ г,о и неравснсглзо Минковского (7+А 6=- = )у(7+Л! ж')" (')у))Гж)'+(')У)Л!Яйь~"'==-)Л~+))Л)). (5. мВ у / '(р / 15.2-2, МетРика и сходимость в (ч, Сходимость в сРеднем (см. также пп. 12.5-2 — 12.5-4, 14.2-7 н 16.6-3). (а) Ка«унитарное векторное пространство, Бз допускает введение расстолнил между функцичми (мгтрика, п. 12.5-2) йд, л)е— и )7 л()= — Г~у(и(1(5) — ла)я ц1'*. (15.2-5) Корень (5) иа средне~о квадратичного разности между 7(х) и Л(х) равен нулю (метрическая эквивалентность 7(х) и Л (х)) тогда и только тогда, когда 1(х)=Л(х) для почти всех х в У (п.
4,6-14, Ь). (Ь) С ходим ость в с реди ем. Метрика (5) порождает следующее определение сходнмостн по метрике в Бм Для данного интервала вли области У последовательность квадратично интегрируемых функций зз (х), з, (х), ... сходится в среднем (с индексом 2) к пределу з (х) (з„(х) —,„„„— „з(х) при п со), если йз(зя,з)=))зя — з,')зим~у($),'зя($)-з($) ~2($0 при л оо. (152-6) В ятом случае последовательность определяет ее предел в среднем: 1,1. ш. 2„(х)=з(х), единственным образом почти всюду з У и, в частности, я со в каждой точке непрерывности з(х). Сходимость в среднем не обязательно имеет своим следствием обычную сходимость последовательности зз (х), з, (х), ... в каждой точке, а обычная сходнмость последовательности в каждой точке области У не имеет следствием сходимость в среднем.
В частности, бесконечный ряд квадратично интегрируемых функций аз(х)+аз (х) + аз (х)+ " сходится в среднем к пределу з(х), если я Х аа (х) в среднем з (х) при л со. *=О В этом случае пишут аз(х)+а,(х)+а,(х)+... = 2(х). з среанем (с) Полнота Бш Теорема Рисса — Фишера. Пространство Бм ассоциированное с данным интервалом илн областью У, является нолньы( (п. 12.5-4, а). Именно, кождал фундамгнтальнал последовательность кзадратично инлыгриругмых функций зз(х), з, (х), з,(х), ..., т. е. последовательнжть, для корня)юй 1!и й(з, з„)=0, схшуирюя з среднем к кгадратично и л со интегрируемой функции з(х) и определяет з(х) однозначно длл почти всех х в У (теорема Рисса-фшигра). В я м е ч я н я е, Свойство полноты, выраженное гзоремой Рясса — Фишера, превра.
Шязт ьз З гиязбгРШРВС ЯРОСШРЯНСШВР (а. 14.2 7, С)4 В «Яы МОЖНО Язееты ЯРтяЯОРМНРОЯЯЯ- нмй базис со зсемн сяойстяямя, укззяннимн з яя. 14 7.4 н 15.2-4. Это язляетс» важным обстоятельством лля ясяользозяямя мнтягрярояаняя яо Лябегу н сяолммостн в среднем, (б) По определению, !(х, а) —,, аням г (х) при и а, если 1)п( Ц)(х, сс) — Р(х)'1=0. о а !5.2-3, Ортогональные фуикцин и ортонормироаанные послеловательностн функций (см. также п. 14.7-3). (а) Две квадрао(чпо интегрируемые функции ! (х), Л(х) называются взаимно ортогомальнымн (ортогональнымн относительно действительной неотрицательной весовой функции у(х) ')), если (Д Л)= — ") у(7))д>й(5)йз,=о. (1 5.2-7) Последовательность функций и, (х), из (х), ... называется ортонормированной, если (О, если ( ~ Л1 (ип иа)= 1 уи из йя5=5(а = ~ ', ~ ((', Л=1, 2, ...).
(!5 2 8) 11, если (=Л! Каждое л(ножгс)пн) нормируемых взаимно ортогональних функций (и, з частносгни, каждая ортонорнирозанная последовательность) лвлягтсл линейно нгэазисимим. (Ь) Неравенство Бе с сел я. Для любой конгчной или бесконечной ортонормироеанной послгдоватгльности и, (х), из(х), ... и любой кяадратично интегрируемой на У функции 7(х) выполняется нграагнстео Бесселя ~~(~(нз (') !'=Ч )).
(15,2-9) Знак равенства эотможгн тогда и только тогда, ю)гда 7(х) лринадлгжшл линейному многообразию, натянутому на и, (х), и, (х), ... (см. пп. 14.2-2, 14.7-3 н 15.2-4). 15.2-4. Полные ортонормнрованиые последовательности функций. Ортонормированные базисы (см. также п. 14.7-4). Ортонормированная послелователыюсть и, (х), из(х), ... в Сз ()') является полной ортоиормированной последовательностью (ортонормнрованным базисом) тшда и толька тогда, когда выполняются следующие условия: 1. Каждая квадрат:шно интегрируенан функция может быть представлена в форме 7(х) = )тат(х)+),и,(х)+..., где !а = а среднем - (ию )) (Л = 1, 2, " ) 2.
Для каждой квадратично интегрируемой функции 7(х) такой, что Гзит (х)+Гзиз (х)+... = 1(х), имеет место тождество Вара среднем сгзаля или соотношение полноты (см. также п. !4.7-3, Ь и 15.2-3, Ь) () )) =- ~ 72 )з + ~ 72 (2 + " 3. Для каждой пары квадратично интегрируемых функций 7(х), Л(х) таких, что 7 и (х)+(яи (х)+" = 7(х). в среднем Л,и, (х)+)Ьи,(х)+... = Л(х), в среднем имсст место соотношение (7, !1)=7)Л)+)'зй + " ') Некоторые авторы называют ! (л) н Л РЗ зззямно оргогоязльнымм только а случяе у (л) — 1, т. е.
есля ! 75 Лй = О. У 13.3-1. 15.К ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И УРАВНЕНИЯ 461 460 15.2.3. ГЛ. !5. ЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 4. Ортопормнрованная послелонательность и, (х), ие (х), ... не содержится в какой-либо другой ортопормировавной последовательности в Ея(У)! каждая квадратично интегрируемая функция 1(к), ортогональная к ка'кдой и„(х), равна нулю почти всюду в У. Каждое иэ этих чгтыргх предложений имеет следствиями три осталь- ных. Если на интгргалс или е обласлш У дана полная ортонэрмироганная последоватгльногть функций и, (х), и (х), ...
и некоторал послсдогательность комплексных чисел /ю 1„... такал, нто ~', 11» Е сходится, то сущгстгует »=1 кеадратично интегрируемая функция ((х) такпл, что (!и!(х)+(и,(х)+... сходи/лся г среднем к 1(х) (теорема Рисса — Фшагра, см. также п. 15.2-2, с); !» опрехеля!от 1(х) однозначно почти всюлу в У и, в частности, если ((х) непрерывна, то всюду в У (теорема единственности, см. также и. 4.11-5). 15.2-5. Ортогонализвция и нормирование последовательности функций (см.
также п. 14.7-4, Ь), Пусть дано счетное (конечное или бесконечное) множгстго линейно нгзаеисиммх (п. 1.9-3) функций (р! (х), цз(х), ..., нормируемых на 1'; тогда существует ортонормиронанная последовательность функций и,(х), из(х), ..., порождающая то же самое многообразие функций. Эта последова- тельность может быть построена посредством следующих рекуррентных фор- мул (процесс ортогонолизации Грама — Шмидта): н,.
<х) е (х> и, (х)= () "/ <">)! у/('/ "д (15.2-10) о, (х) = «р! (х), о;ы (х) = !р;4! (х) — ~ (и», ср!4,) и» (х), » 1 (!=1, 2, ...). См. также п. 2!.7-1, примеры. !5.2-6. Аппроксимации и разложения в ряды по ортогональным функциям (см. также пп. 4.11-2, с, 4.11-4, Ь. 15.4-!2, 20.6-2, 20.6-3, 20.9-9, 21.8-12). Пусть дана кнадратично интегрируемая функция !(х) и оряюнормированнпя послгдоготельность и (х), из(х), ...
Аппроксимация /(х) з форме 3„(х)=а<и, (х)+азия(х)+...-!-а„и„(х) (л=1, 2, ...) (15.2-11) достаеллгт наименьшее значение средней квадратической погрешности ~ ! 3„(х) — /(х) !3 дх, если ໠— — (и», /). р Заметим, что выбор коэффициентов а„не:зависит от и. Это свойство вместе с относительной простотой формул, указанных в п. 15.2-4, делает о!ень ввжнымн разложения в ряды 1(х) = !!и (х)+/яия(х)+..., где !»=(и», 1) (3=1, 2, ...) н среднем по подходящим образом выбранной последовательности ортоиормированных функций.
!злит. лннеаные онерец вел функциям . В . зп.(, 36-! — зл-э, !5.3.» щ 4.1, 2о.4-2 енеденм разлнчнме лил«ллем ел«рация (н, 14.3-1> р (х) = ЬФ Й). ( 15. 2-12) сннзыняющне функцию ч (к> с денной функцнеа Ф (3> тяк, что Ь 1Ф«$>+ Ф» (5>1=(.Ф» ($) + 1 Ф» <5>. Ь (а Ф <Н1 - а ).Ф <1). <15.2.!З1 Ф РВ н о (х) могут прннедлежеть окнеа нлн резлнчным обнес»ям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
