Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Кек н е и ы,)-3, существуют две резлнчнме ннтерпретецнн функцненельнеге преобрезенення (12): 1. уревненне (12> еннсмнеет операцию нед функцнеа (течке зрения «е!!ы» нлн «ектннне я»). 2. Ф <1> н о (л> представляют одни н тот же ебстректнмя вектор <н тем же смысле, кек нее метрнцм, и. 14.6.1, Ь), н уревненне <12) еннеынеет земену яредстенлеяня (точке зрения «янез» нлн «няеенннея, особенно используемая е кнентоноа механике, см. также и.
3.1-1). 15.3. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.3-1. Линейные интегральные преобразованиях). (а) В пп. 15.3.1 — 15.3-10 рассматриваются линейные интегральные пре- образования К / (») = — ~ К (х, $) / (е) 4)» = Р (х), (15ЯЬ1) (Ь) Пля данного ядра К(х, »), К(х, 1) = — К (5, х) называется транспонированным ядром, К*(х, ») К(ррю х) называется сопряженным (эрмитово сопряженным) ядром (см, также п.
14,4-3). Данное ядро К(х, ») называется симметричным, если К (», х) == К (х, »); врмитовым, если К (», х) = — К(х, 1)! нормируемым, если ~ ~! К (х, ») !ей»дх существует и отл!тен от нуля; непрерывным в среднем на У, если Ит 3 !К(к+Ах,8) — К(х,й)!зд5=0 а -оу (см, также п. 12.5-1, с); вырожлениым (разлеляющимся), если К(х, е) может быль прсдставлсно в виде конечной суммы К (х, 5) = ~~.", (1(х) А/(сь). /=! Нормируемое лире нредстевляет огреннченнма еперзтер <и.
!4.4-1) тек, что Г<я] нермнруемн, если /И) нермяруеме (н 15.2-1, Ы. Вмрожденнме ядра пренс»являют сне. реторм канечноге ранга <и. !4.3-2). Если К СИ $) зрмитсво, нермиррсмс и лелрерм«не е «е днем на у и / (1> «елдретн«яе илттрнрг«мс ла у, тс Р (л) нели«риека е у. »> Обознеченея «м.
и. 15.!-2, см. текже л. 15М-!, Ь, ) связывающие пары функций (($) и Р(х). Функция К(х, ») называется ядром линейного интегрального преобразования. Все интегралы предполагаются существующими в смысле Лебега (п, 4.6-15). Области, которым принадлежат функция.
объект /(е) и результирующая функция Р (х) в уравнении (1), пе обязательно тождественны (см., например, преобразования Лапласа, п. 8.2-1). В пп. 15.3-1, Ь вЂ” 15.3-10 предполагается, что х н» изменяются в одном и том же интервале или в одной и той же области. «Символическосз интегральное преобразование ~ 5(х, $)((%)дую=У(~) представляет единичное преобразование (см. также пп.
15.5-1 и 2! 9.2). Линейное ннтегрельнее нреобрезевенве <1) может быть трек!сеяно нян с точки зре. ння т>)Ь(ь нлн с точки зрения з!!ем (и !5.2-7). !(еждае ядро представляет лннеяяма оператор и тем же сммсле, чза н мзтрнце (я. 14.5-2, сч также и. 16.3-1, с). 462 ! я я>, Л(к) = ~ Р>яа(к), 1 а среднем Э ~"„й>,( > й(,>, а=! >(В в среднем а К (к, 1) з среднем; (!5.5-2) й( = ]']' к( рн К(х, Ф яйбд гкг51. УУ (Р(» = [й>ь! (!э». [](х) Ф (х) — Х ~ К (х, [) Ф (5) й; = Р (х) Р(х) = ~ Рэфй(х) (хам У), в среднем а (15.3 6) ГЛ. 1Е ЛИНЕЯНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАННЕНИЯ (с)матричное представление.
ПРэизвскэиие Дзтк иитсгр а л ь н ы к п рсобо азова н и й. Лана нормируемое ядро К (к, $> н ортонормярованный базис (п. Б.2.() и, (к>, Яэ (к>, ... в пРостРанстае фУнкцнй ! (с). ПУсть со сэ Тогда уравнение (1) эквивалентно матричному уравнению Запетым, что произведение матриц [тт] [Ь,.й], соответствующее ядру ] и (к, ч> к(ч, 1>гч, У представляет поонззедсние даук последовательных интеграллнык прсо5разованкй (1>, ЯДРа котоРых К (к, йн М (х, $) соответствУют [а,.й], ]т,.а] Если К (к, 3> — выРожДениов ядро, то возможен выбор э>, (к) такой, что матрица [й «] будет конечной.
15.3-2. Линейные интегральные уравнения. Обзор. Интегральное уравнение есть функциональное уравнение (п. 9.1-2), включающее интегральное преобразование пад неизвестной функцией Ф (х) (если функциональное уравнение вилючает танже производные от Ф(х), то говорят об илл>ггро-диффгрег(- циальнам уравнении). Интегральное уравнение называется однородным, если каждое кратное аФ(х) некоторого решения Ф(х) также есть решение. В пп. 15.3-2 — 15,3-10 рассматриваются линейные илтегралвньм уравнения в общей форме (15.3-3) где ядро К(х, $) и функции [] (х), Р(х) являются заданными. Область интегрирования У может быть фиксированной (интегральные уравнения тило фредгольмовых) или переменной (интегральные уравнения тило вольтерроаых, п. 15,3-!0). Назовем трн важных типа задач.
1. Линейные интегральные уравнения первого рода (р(х) —= . О, Х= — 1; п, 15.3.9), в которых надо найти неизвестную функцию Ф(х) по данному ее интегральному преобразованы!о Р(х). Соответствующее операторное уравнение КФ=Р аналогично матричному уравнению [й!й] (Фь» = (Р!». 2. Однородное линейное интегральное уравнение второго рода (Р(х)жч О, ]) (х) = 1, А неизвестно; пп. 15.3-3 — 15.3-6) представляет задачу о собственных значениях. Соответствующее операторное уравнение кКФ = Ф аналогично матричному уравнению к [йы) (Фэ ) = (Ф!». 3.
Неоднородное линейное имтегральное уравнение второго рода ([!(х)= 1, к задано; п, 15.3-7) может быть записано в виде Ф вЂ” ХКФ =Р н представляет задачу, тип которой был обсужден в п. 14.8-10. Если б (к) — действительная положительная функция вооду в У, тэ можно свести эбгцее линейное интегральное уравнемие (3) посредством преобразовании Ф (к) = — , Р (к> = — Р (к) У Р (к), К (к, й> = К [к, 4) У Р (к) Р (3), [!5.5.4> У 3 (к) к линейному интегральному ураамению второю рода.
>э.з-э. Нкз. интегральные преоврйзовйния н урйвнення 463 15.3-3. Однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Собственные функции н собственные значения (см. также п. 14.8-3 н 15.4.5). (а) Функции ф=ф(х), ие равная тождественно нулю в У и удовлетво. ряющая однороднол>у интегральному уравнению Фредгольма второго рода )>Кф(ь) = — )> ) К(х, ь)ф(ь) йь=(Р(х) (15.3.5) при определенном значении параметра )>, называется собственной функцией (характеристической функцией) линейного интегрального уравнения (5) или ядра К (х, 5).
Соответствующее значение А есть собственное значение интегрального уравнения. Если ф,(х) и фя(х) — собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению )>, то то же самое оптосится к их линейной комбинации атф,(х)+аэфэ(х). Число т линейно независимых собственных функций, соответствующих некоторому собственному значению, называется рангом к; если К(х, 5) — нормируемое ядро, то каждое т конечно. Собственные функции, соолметствующие различным собслыенным значениям линейного интегрального уравнения (5), линейно независимы. Общее количество линейно нгэавасимых собственных функций конечно только в том случае, когда К (х, 5) — вырожденное ядро. Если линейный оператор К, описываемый линейным интегральным преобразованием (5>, имеет единственный сбрэтиый с = К-Ц то ф (к) н Х суть собственная фуинцин и собственное значение неособенного оцератэра к (см. также п.
!5.4-5) и все собстзеивыв значения отличны от нуля. По многих приложениях к является дифференцнэльным опе рзтором, а К (к, Ц вЂ” функцией Грана (п. 15.5-1). (Ь) Собственные функции и собственные значения в р миг о в ы х ядер (см. также пп. 14.8-4 и 15.4-6). Если К(х, 5) — эрмитово ядро, то имеют лысто следующие свойслма: 1. Всг собспюег!ныг значения интегрального уравнения (5) действительны. 2. Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогоналэны (с весом 1, и.
15.2-3). 3. Если ядро К(х, Ц нормируемо, то вес собственные значения отличны от нуля. 4. Существует ло эмнэшей мере одно собственное эначениг, отличное от иулл; собстеенныг значения образуют д!>скргтлую последовательность, содержащую не более конечною числа собстленлых значений е каждом конечном интервале, и каждое собственное значение имеет конечный ранг. !5.3-4. Теоремы разлол(ения. (а] Теоремы разложения для эрмитовых ядер. В соответствии с определен>шми скалпрного произведения (п. 15.2-!) п сходнмостп в среднем (п.
15.2-2) с у(х) = 1 каждое нормираелюе эрмитово ядро К(х, 5) обладает ортонормировалной лослгдоеалыльностью собс>лвгнных функций фт(х], (р, (х), ... так, что для каждой функции Р (х), лргдслшвимой в форме Р (х) = = ! К(х, 5) [(5) й[ (интегральное преобразование (1) функции 7'(5) пли зистоко. обраэносэ представление Р(х)), справедливо разложение Рй=(фю Р)=$'ЬЯР(5) 5 (й=! 2 ") К (к, $) = Р— ф, Ф> ф, (к) (х, $ ш 1'>. в средНем Иа.з-т> (Ф, КФ> = ~ ~Ф (к> К (к, $) Ф И> йк Н$ (!5.3-Ы) Р (к> = ~~ Ь св (к>, в среднем й (! 5.3-3а) где Ь, =(в,, Р) (кш У), илн (Ф, кФ) = ~ ~~ Ь,„Ф,Ф„.
! 16=1 (16. 3-! 6) г 464 ГЛ. 15, ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15м-а, Ряд (6) ссодилшя абсолготно и равномерно к Р (х) бы всех х ен У, если /($) кусочна-непрерывна е У или если 7($) квадратично интегрируема, а ядро К(х, 5) непрерывна е среднем. Эрмнтово ядро К(х, $) называется полным, если каждая квадратнчно интегрируемая функция Р (х) может быть представлена в форме (1) нли (6), так что собственные функции фе(к) образуют псиную ортонормнроаанную последовательность (и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
