Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 108
Текст из файла (страница 108)
(с) Формулы Фредгольма для резольнентного ядра. Если К(х, 5) нормируемо, резольнеитное ядро Г(к, 5; >с) может быть выражено в виде отношения двух целых функций (см. также и. 7.6-7) Се — — 1, Т>е(х, 5>=К(х, Ц) н для й = 1, 2, ... С, =~ О, ,(5, 5) д;-, Оь (х, 5) = Сь К ( 5) й 1 К (х, Ч) О (Ч, 5) г(Ч Оба степенных ряда сходятся для всех конечных Х; степенной ряд для Р(х, 5; >с) сходится равномерно н )г.
Полюсы Г(х, 5; Х) совпадают с нулями 0 (в). Отметим аналогию между функцнямн О (х. В А), О (А) н определнтелямн, в»поль. Еуемыии для нахождения репюння х аналогичной «оеечеомерной задачи, по правилу К!»амера (!.9-4) ~~ (а(й — Хб(,) х>,— — д,. (г = >, 2, ..., л). э=! (й) Ов и гулар н не я ар а. Если данное ядро К (х, !! не ограничено в окрестности к=В тогда как нтернровзнное яцро К, (х, 5> остается ограниченным, решение р (х) уравнения (>6) находят посредством реа»еейз ннЬегрального уравнения Ф (к> — йл ~ к» (к, Ь Ф ($) дй=н(к\ 4- А ~ к (х, 5> Уф) лф (ш.3-27) У Урапиеине (27] попучено подстановкой Ф (к) = г'(х -1- Х ~ К (к, 5) Ф (5] д» в левую часть уравнения (>6).
Эта процедура может быть использована, если первым нтерврованним ядром, остающимся ограниченным, являетсп К, (к, !), К, (к, !)... 15.3-9. Решение линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода (см. также пп. 14.8-10, Ь, 15,4-12, 15,5-1). Если линейное интегральное уравнение 1 К(х 6)Ф(5)д5=р(х) (1 5.3-28) У >5.3->е. !53. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И УРАВНЕНИЯ 469 с нормируемым ядром К(х, 5) имеет решение Ф(к), то теорема разложения п. !5.3-4, Ь дает Ф(к) = ~р ~рь(шь, г) рь(х)(-(р(х), (15.3-29) в среднем Ь= ! где оь (х), шэ(к) и рэ определены в п. 15.3-4, Ь и (р(х) — произвольная функ- ция, ортогональная ио всем оь (х). Если и (к) абра»уют полную ертскармиаагаикую паслгдегатгюкаст» г !о (У] (и.
)5.2.4>, та О(х]=-О для лэчти гсгк к г у и решение (29) единственно лечти гсюду г у. если ш (х), «ак и о (х), абра»ум»л лолмую арпакермилегакиую лс лгдегатгг»кос»э е Е» (У), та йлтггралэкэг лвгебратгвакие (23) агаяопсн неособенным и далускагт адлазна»- каг аблаи(гкиг ~К, (х. !] Н (!) Л$ =. Ф (к), у (>5.3.3Э> К (к, !) = ~ нь юь (!) е (х!. ь = ! К. » (к, !) называется взаимным ядром, ассоциированным с К (к, !), и представляет линейный опеРзтоР к-м дла гамитогык ЯдеР к (х, В писем ев (х! = юэ (к), не = ) кй !.
15.3-10. Интегральные уравнения Водьтерра, (а) Пусть к и 5 — одномгрныс действительные переменные. Тогда !. Интегральное уравнение Вольтгррп второго рода к Ф(х) — >с ~ И(х, 5) Ф(5) Щ=Р(к) о сводится к интегральному уравнению Фредгольма (16) на интервале 1': — (О, оз), если ввести новое ядро 2. Интггрпльног уравнение Волшнгрро первого рода к ) 7((х, 5) Фа) д5=р(х) о посредством дифференцирования сводится и виду (31), где дй (к, !) УР (х) И(х, $) = ", Р(х) = =, (!5.3-34) Й (к, х) Й (к, х) (Ш следующяя пример иплюстрнрует метод решение длв одного влас»а интегральных уравнений Вальтерра, имеющих неограниченные ядра. Для нахождения решение уравиенея л дй=р(х] ФСаС)] (]5.3-35) (х — $]о а умножают абе ега части на (у — к)а ! и интегрируют по х в пределах от а до у.
Получаемое ори этом интегральное уравнение имеет ограниченное ядро. Его решением В частном случае при о '7» уравнение [35! известно под назпанием интеграл»лаге ураанелил Лбглл. 1З,4-3. )ЗЛ. ЛИНЕЙНЫЕ КРЬЕВЫЕ Зйцйцн 471 470 14.4-1. ГЛ. 1$. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !5.4. ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ д У (х) = Уг )й (х', х', ...,х"), йхл йхз ...
йх" = =Ьг) ~й (х] ' йх тем же способом, что в пп. 6.2-3, Ь и 16.10-10; Уг!6(х))действителен и положителен всюду в У. Тогда ) (р(5) йУ(5) есть л-мерный объемный инаиграл по У и можно определить скалярное произведение двух функций и (х], о(х), иак в п. 15.2-1, ( о)е— н ~у ($) $) (5)йь= ~ (5] (й)йУ(й). (15.4-2) Заметим, что ув (х) ив е У ! д (х) ) зависит от системы координат.
Аналогично можно предположить существование соответствующего элемента ноеерхиос1пи йА (х) (х в Б) на гранипе гиперповеркностн 5; тогда ~ 1р(5) йА (5] — интеграл ло поверхности в л-мерном пространстве (см. также п. 4.6-!2 и 6.4-3, Ь). В частности, при л=З У есть ограничеииаи нлн неограниченная открытая область пространства с граничной пооерхиослю1о 5; 5 есть регулярное поверхность (п. 3.1.14). При л =2 1' есть соответственно плоская область с (регулярной) грани«ной линией 5. 15.4-2.
Дополиптеяьное дифференциальное уравнение и краевые условия для линейной краевой задачи. Теоремы о суперпозиции (см. также пп. 9.3-1, 10.4-2, 14.3-1, !5.2-7). С каждой линейной краевой задачей (1) можно связать однородное дополнительное или приведенное дифференциальное уравнение 1 Ф (х)=0 (х ш У) (!5.4-3а) и совокупность однородных «допблнительпых ираевык условий» ВГФ(х)=0 (1=1, 2, ..., Н] х (п 5). (15.4-ЗЬ) 16И-1. Лпнейнме краевые задачи. Постановив задачи я обозначения (см, также пп. 9,3-1, !0.3-4, 15.1-2, 15.2.7). (а) Линейную однородную функцию от функции Ф(х) н ее производных будем записывать в виде произведении И)(х) функции Ф(х) и линейного дифференциального оператора Ь, например, вида й)йх или — Ув — д(хл, хз, хз). Требуется найти неизвестную функцию Ф (х), удовлетворяющую линейному дифференцнальиоиу уравнению 1.Ф (х) =7(х) (х ее У) (!5.4-!а] внутри открытого интервала или области У, и Н линейным краевым усло.
виям В(Ф(х)=Ь((х) (( 1, 2, ..., Н; хш 5), (15.4-!Ь) где Б — граница области У; каждая из В(Ф(х) есть линейная однородная фуииция от Ф(х) и ее пронзводнык. (Ь) Обозначения, Объемные интегралы и скалярные произ веде ни я (см. также пп. 4.6-12, 15.1-2, 15.2-1, 16.!0-10). В одномерном случае х есть действительная переменная, уравнение (1а) есть обыкновенное дифференциальное уравнение, У есть ограниченный или неограниченный открытый интервал, концы которого х= а, х=б образуют границу 5.
В и-мерном случае х обозначает «точку» (х,, х„ ..., х„) в л-мернои пространстве, уравнение (1а) есть уравнение с частными производными. Г1редполагается возможным ввести объемный элемент Следующие важные теоремы устанавливают связь между решениямн Ф(л) данной линейной краевой задачи (1) н функциями, удовлетворяющими более простым условиям вида (3). 1. Решение каждой линейной краевой вада«и (1) может блинь сведено к линейной краевой задаче с лзгм же оператором Ь и крае.
ными условиями (3) (см. также п. 15,5-4)'). 2, Наиболее общий еид функции, удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению (1а), может быть записан в еидг суммы некоторого частного реи1еиия уравнения (1а) и наиболее общего решения дополнительного уравнения (За). 3, Однородному линейному дифференциальному уравнению удовлеяморяет любая линейная комбинация его решений. 4.
Лугть Ф) (х] и Фз (х) удовлелморяют пюпюетственно дифференциальным уравнениям ЬФ)(х]=71 (х) и 1.Фт(х)=1 (х) с одинаковыми линейными однородными краевыми условиями В;Ф(х)=0. Тогда ФФ)(х]+(]Фз(х) удовлетворяет уравнению ЬФ(х)=а/1(х)+ + (]Ге (х) лРи Указанных кРаееых Услоеилх. 5. Пусл1ь Ф,(х) и Ф,(х) удовлетворяют однородному линейному дифференциальному уравнению 1Ф(х)=0 с соотвелитлениыми линейными краевыми условиями В;Ф)(х) = Фи (х) н В;Фз (х) =Ьы(х). Тогда ФФ,(х)+(]Фз(х) удовлетворяет заданному уравнению и красным условиям В;Ф (х)=-аЬы (х)+5бы(х).
15.4-3. Зрмитово сопряженные н сопряженные краевые задачи. Зрмнтовы операторы (см, также пп. 14.4-3, 14.4.4, 15.3-1, Ь). (а) Данная однородная линейная краевая задача (3) н определение скалярного произведения (2) порождают эрмнтоао сопряженную краевую задачу (х:— У), (15.4-5а) В«у(х)=0 ((=1, 2, ..., Н) х(п 5) (15. 4-5Ь) посредством условия (о, 1 и] — (1 "о, и)=~ (о!.и+иЬ«о) йу=й, (15.4-6) где и=и(х), о=о(х) — пара соответственно дифферснцнруел)ых функций, причем и (х) удовлетворяет заданным краевым условиям (ЗЬ), о (х) удовлетворяет зрмитово сопряженным краевым условиям (5Ь); и и о могут рассматрпвзться как принадлежащие сопряженным векторным иросл1раигтеам (Ы.4-9). Лвз лииейиых диффереицезлъиых ооерзгорз второго поряд«з Ь и Ь" являются зрыитово сопряженными тогда в толька тогда, когда Функции Ььи — иь "о имеет форыу л.верной дзверге чии ц 1 ъ-1 д ./ — (у, и (з); рй! (тзбл.
16.10-1), где каждая рй есть Функция от и, о, У) й (х) , '~"~ дкй й =-1 и о и их лроизволиык первого порядка *) Нри этом егзиовитсз возыожиыы предо»»вить объемный интеграл ! («оцв — вцао) ду через интеграл по границе 3; формулы «»кого тина к»вес»им кзк обобщенлые Форме»и '1 Если звоисзть Ф (л) = Ф (л) + о (л), где о (л) — соответствующим образом выбрзиизе Функция, удовлетворяющее грзвичвыы условивы (1), то Ф («) есть решение лииейиой ар«евой зздзчи ЬЪ (Л) 1(Х) — ЬО (Х) (ХШ УК Е(Ф (Х) О (( 1, й, ..., Ь(1 Л В Зк (1».4-4) Ье (л) оирелеляетсв выбором о (х) и может солержзть члены с б.фуиицивыв; часто возможно изйти о (х) тзк, зто (о (л] О («ы также и 10.4-2).
з) Перлине зввчки й кзк и в гл. б и 1б, ве являются цовзззтелвыи стеееви, 472 15Л, ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 473 Гл. )5. линеЙные интегРАльные уРАВнения !6.4-6, Грина (см талые и )5,4-6, с) Зрмитовв свлрвлвииыв краевые условия В)и = О, Вг в о(х в э) виредвляютсв из условия вбрзщвиив в нуль витвгрзлв по грзииив, т. е. выполнения условия 46). В случвв двйствительиых руинавй и операторов зрыитвво сопряженные задачи, ввврвторы и краевые условя» обычво иззыввются взввиив соиряиеиииыи. (Ь) Э р и и тоны опер итар ы.
Дифференциальный оператор Е называется эрмнтовым (самосопряжеиным), если (о, (и)-((о, и)=~ (о( и — и(о)йУ=О (!5.4-7) ьаи ав 1.и ив ав (х) е, + а)(х) е — +а, (х) и, !. о †, !а, (х) ь! — е„- ! а, (х) о! + оз (х) о, гз а * ЛР )х) о1.и — и1.*с = —, ел р (х) = ар (х) (ои' — ио') + ! а, (х) — а', (л) ! ио. (15.4-8) Р (х) иногда называют конъюнкцией и (х) и о(х) относительно оператора 1, Условие а,(х) = а,(х) превращает Е в самосопряженный оператор Штур- ма — Лиувилля — — — )р(х) — „] — д (х), е г ах! ах (15.4-9) где р(х)= — ав(х) н д(х)= — а,(х) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
