Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 111
Текст из файла (страница 111)
(с) МетоДы Решений пп. 15ж-!2, а и !5ьф12, Ь могУт быть пРименепы и тогда, когда данный оператор Ь не эрмитов, если только доказано существование соответствующих ортоиормированных разлол(опий по собственным функциям. 15.5. ФУНКЦИИ ГРИНА. СВЯЗЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ЗАДАЧ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ !5.5-1. Функции Грина для краевой задачи с одиородиымн краевымн условнямн (см. также пп. 9.3-3, 9.4-3, 15,4-4; примеры см. в табл, 9.3.1, пп. 15.6-6, 15.6-9). (а) Линейная краевая задача 1 Ф (х)=1(х) (х (Б У), (15.5-!а) ВсФ (х) =0 (! = 1, 2, ..., Н; х ш В) (!5.5-!Ь) представляет данную функцию 7(х) как результат линейной операции над неизвестной функцией Ф (х), удовлетворяющей заданным краевым условиям.
Если возможно записать соответствующую обратную операцию в форме линейного интегрального преобразования (п. 15.3-1) ') для каждой возможной функции 7(х), то ядро 6(х, 5) называют функцией Грина дли данной краевой задачи (!). 6 (х, $) должна удовлетворять одпородлым краевым условиям (1Ь) вмеппе с условиями 1. 6 (х, 5) =-0 (х, 5(ц У; хф5), 1 ) где 5 (х, 5) есть дельта-функция в сиоп!еме координат, в которой поставлена краевая задача (и. 2!.9-7).
Формула (2) представляет решение Ф (х) краевой задачи (1) как суперпозицию але. ментарных решений С (х, $) ((1>, имеющих особенноть при х=Ь Втн злемеитзрние решения могут быть интерпретйроваии кяк эф4юкт имлрхэсяих сяа, точа«яма зараз«э н т. д., 1($) б (х, 1) в точке х=й (см оп. 9.4-5, 15.5.4, 156-6, !5.6-6). Функция Грина часто может быть найдена непосредственно цнтегрнроэанием «символического дифзеРеициального травненияэ (ЗЬ) с данники краевыми условиями методами, указанными в . зл-б, )о 5.1, плыл.
см, табл. з.з.з, . 15 г 5 и 15.6.2, где лани примеры фуккций Грина, (Ы Модифицированная функция Грина(см также и. 16.4-4). Краевая задача (1> не имеет фущсцнн Грана, удовлетворя!ощеп ур«виенню (3>, если эрмнтово сопряхсенная краевая задача 1.'Х (х)= О (хт )'), В; Х (х> =О (хтб) (15,5-4) имеет рея!сине у (х), отличное от Х (х\ =— О (си. п. 15.4-4>.
В этом случае тем не менее возмозкпо построить моднфнцвроаанную функцию Грина С (х, !), досгаэляюя!ую пр дсзаяленне (2) для всех ! (х), ортогональних к х (х) С (х, 4> должна удовлетворять уравнению и краевым условиям (сэ). алеть у (х) есть полная ортонормнроааннан последовательность решений задачи И>, В рассмгсрнваемом слу ~ае результирующее рен!ение (2\ не может бть единственным, однако су~пестяует единственная модифицированная функция ! рэпа, которая удовлетворяет дополнительным условиям ортогональностн ) ХОЭ В) Г (х, 4) 61'(1) =О Ф =1, 2, ...), Если Š— эРчитов опеРатоР, то Хэ сУть пРосто его собстзеиниефУнкцни Дла Х=.— О.
(с) Функции Грина для эрмитоао сопряженных ираевых задач (п. 15.4-3, а) являются эрмнтово сопряженными ядрами (и. 15.3-1, Ь), Для каждой функции Грина 6(х, $), принадлежащей зрмитову оператору 1 (п. 15.4-3), 6$, х)ы вшб(х, 5). 15.5-2. Связь краевых задач н задач о собственных зиачеииих с интегральными уравнениями. Резольвента Грина. (а) Если существует функция Грина 6(х, 5) краевой задачи (1), то из формулы (2) следует, что общая краевая задача Ь Ф (х) — )с В (х) Ф (х) =((х) (х ш У), ~ (15.5-7) В(Ф(х)=0 (1=1, 2, ..., Н! х(ц 8) эквивалентна линейному интегральному уравнению Ф (х) — >ь ') К (х, 5) Ф (5) й~ = Г (х), К (х, 5) = б (х, 5) В (5) )с ( й (5)(, Р (х) = 1 б (х, с) ! (5) й)г Й).
Заметим, что интегральное уоавнение включает в себя заданные краевые условия. В одномерном случае' йУ (5) = йй и й (5)! — = !. Полученное интегральное уравнение распространяет теорию пп. 15.3-1— 15.3-9 и численные л!гтодш п. 20.9-10 на линейные хржзэ!е задачи и задачи о собственных значениях. В частности, можно использовать ряды Неймана (15.3-23) и аналитическое продолжение для введения резольвентпого ядра (п.
15.3-7, с) Г (х, 5; А) так, что решение принимает форму Ф(х)=Г (х)+А ) Г (х, 5; Ы Г (5) (Е, (15.5-9) 0 Г (х; еь( А) называют резольвептой Грина; опа является ядром линейного преобразования, представляющего резольвсптный оператор (1.— )с) '1 (и. 14.8-3, 4). Г(х, сь; )() часто можно построить методами п. 15.3-8; слелует отметить, что ядро 14 (х, 5) не необходимо должно быть нормируемым.
А(пожгспмо особых точек )ь функции Г (х, 5; А) совпадает со спектром опероторп Ь (п. !5.4-5, й), который может включать и непрерывный спектр. В частности, полюсы Г(х, 5; А) соотзетствугот дискргтпыл! собственным значениям Ь, тогда как точки разагтзлслпя указывают ка наличае непрерывного спектра (см.
15.2). >6 Г. Кори и Т, Кори 15.3. ФЬНКЦИИ П ИНА 05,5-!7> Ф (х) =Ф (х) 1' В (х) )У, ,у (х) ! (15.5-10) Ф (х) — )[ ~ К (х, $) Ф ($)(рь Р (х), (!5,5-11) 4>зл- [за> (15, 5-21) Ф(х)=~ 6 (х, ~) Ь(5) дА(5) (!5.5-22) Вф(фалу = ~фи(фа гу Ь(ти [15,5-!3> В 6 (х, 5) =0 (х, 5 ш 3; х чь 5), ~ В 63(х, 5) дА (5) =1. (15.5-23) 16* 482 ГЛ.
15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЪНЫЕ УРАВНЕГИ1Я ж.з-з, (Ь) Задачи для эрмитовых операторов. разложение функции Грина по собственным функциям(см. также и. 1533, 15,3-4, 15.4-6, 15.4.12). В важном частном случае, когда (.— грмитог алгратор и Б(х) дед!ими. тельна и лоложилыльна в У, можно ввести новую неизвестную функцию и заменить уравнение (8) линейным интегральным уравнением с зрмиттым ядром К (х, $) = 6 (х, Ц Г (х) = )' В (х) Уг) у (х) ! ~ 6 (х, 5) ! (5) д У ($).
Эрия««м мдаче о собствевных значениях 1. ф (х> = А В (х> ф [г> (х Ф У>, и!ф(х> о и->, 3, ..., М! »шз> ! н интегральное уравнение ф (х> - А ~ К (х, 1> Ф [(> и1 [15.5- >тю У имеют идентичный спектр; соответствуи»цне ообстаеннме функция ф (з> н ф (х> се»зазы соотношением ф (х>=ф(г>)' В(х> У[г [х> Если спентр со«огнен»их значений ~»сто Ннснретный, та существует полная последовательность собст»с»низ фунацнй ф! (з> н ф>(х> так, что В атон случае К (х, В есть нормнруеиае ядро и б <х, В - '~ -' — фа <В Ь„ <х> <х, ТФ У>.
<!5.7-!4> в среднем а нюслелоее вмрзженае не содержит нано В (х> «лн к (х>. Е случае жжачи Штурм« вЂ” Лиу вилл» с часто лнскретным спектром (пп. <5.4-3, а и >5.4-3> рвам (!4> сзадзтс» абсолютно в равномерно в У (см также теорему Мерсера о, 15.3-4>. (с> Есля дан«а» «раева«задаче [7> вмрежаетсн з терминах днфференпвельяын инва. рн»итон (и. !5.10-7>, то и <х, Гь К (х, 1> н К (х, 1> «»ломте» фун««няни точки, инвариантны«и относнтельна преайрааовзвйй используемой системы каардннат, Ш.з-а.
Приложение метода функций Грина «задаче е «а»альпин« успев««миг абеб ще«оое уравнение диффузии (сн, также пп. 10,4-7, <0,5-3, 10.5-4>. Требуется найт» рене вне Ф=Ф (х, г> задач» дФ У*Ф вЂ” а — — ьФ-1(ж (>. 1 д! [хы У> (!5.5-!51 Ф (! 0> Фе (х> с запоя»мни константаин а', Ь н ояноролнымн «раен«ми у«ловя«ми Ф О влн дФ(ди 0 ва границе ханной и.мерной области У, л = 1,3 нлн 3, Имеем ! Ф(х, 4>- ! ( С [а, г: 1, И>Д, т> от ау [5> — а* ( б(х, <; 5, О> ям [3> гу <В [! >0>. 0 !' У ( ! 3. 5- 15> тле и (х, г; $, т> — фун«цн» Грина, уаавлетворяющан заданным краевым усл«тнам н О' — аа — — ЬО 0 Рь 1> Ь [! — т>, до д! (хб !'>, и=о и<«> Если ф (х> н Х вЂ” соответственно собственные функции и собственные значении пров страиственвого волнового уран»сная О*ф [х> + Аф (Ю О [хс У> ([5.5- [3> орн залзнвых краезыз уславназ (ап.
<0.4.4 н 10.4-5, Ц, то Аь+ Ь 'ь (! С[и, и В т! = — —;~3 е а' фа<1>фа [а> (г~т>. [[5.5-[3> г Если !' совпадает со всем пространство«, та ь (х, (; Ь т> ( аз ти(3 ! Г аз !г — О! ° Ь вЂ”,. езр — — — — и — т>] [! > т! л=>, г, 3>, [!5.5-30> [ел <! — т>! а! ( 4 ! — т оз где ! г — о [ — расстояние межлу тачкам» (ю = (г> н (1> = (0>. Резулынрующее решен»е ([5> нзвесюга «ак интегральное реимиие Пуассона ааязчв о днффузнв 15.5-4.
Метод функций Грина для неоднородных краевых условий (см. также и. 15.4-2). (а) решение Ф(х) трехмерной линейной краевой задачи ЕФ(х)=0 (хш У), ВФ(х)=Ь(х) (х(ИЗ) часто может быть записано в форме поверхностного интеграла для кажкой заданной функции Ь (х), интегрируемой иа 3. 6 (х, 5) должна удоалгтвартль данному дифференциальному уравнению лри х <ж У, 5 (и 3 и 63(х, ь) называют либо функцией Грина второго рода, либо просто функцией Грина (см. также и. 15.6-6). Аналогичные соотношения имеют место и в доумерном случае (см. также и. 15.6-9).
Линейные краевые задачи для неоднородных дифференциальных уравнений, так же как и нрн неоднородных краевых условйях, могут быть часто решены сулгрлозиг<игб объемного (2) и поверхностногоо (22) интегралов. (Ь) Как указано в и. 15.4-2, каждая краевая знцача (21) может рассматриваться как краевая задача типа (1). Отсюда следует, что 6 (х, $) может быть зырижсиа через обычную функцию Грина 6(х, $), определенную слособан и, 15.5-1 дла задачи с «долалиитгльнымиз однородными криееыми условиями. В частности, рассмотрим двумерную н трехмерную краевую галану для действительного самосопряженного дифференциального уравнения вила ~Ф(х) ~ — (уз+!7) Ф(х)=О (х ш У), (15.5.24) где дь у (х) †действительн дифференцируемая функция.
Вели 6 (х, 5)— функция Грина, удовлетворяющая уравнению — (у +4) 6 (х, ~) =5 (х, 5) (15.5.25) 464 !Б. 9-|. Гл. 15 линшчиые интеГРдльные урдниения щз. теория потеии)чдлд 435 |Б 9-4. при заданных однородных краевых условияя (п. 15.5-1), то формула Грина (15.4-12) дает дт (!| (5) д 1 йА (т) (х |ш 7), (15,5-26) где символ д(дч обозначает производную по нормали.
Отсюда для краевых условий вида В Ф (х) = Ф (х) = Ь (х) (х (ы В) (15.5-27) (т. е. для условий Днрихле) решение (22) приводит к соотношению О,(, 5) оп(' !) (т В) (15,5-23) где С (х, с) удовлетворяет в у уравнению (26) и обращается в нуль на 5. Для краевых усповнй (задача Неймана) ВФ(х) з- — — Ь(х) (х ш 5) (15.5-29) где 0(х, 5) удовлетворяет уравнению (25) в )г и дб(х, 5))дл=О на В. В пп. !5.6-6 к!56.6 указааы приложения эткх соотношений прн решении крег«их эезеч для э..«апти«сских диффгргкчиапкых ори«некиа. В и |О-э-б показан сходныа «стад прн решенпп задач с качохькмми значением«дэе ура«некий спэербошшского оп|«о (см. также и. !ОЛ.5).
!5.6. ТЕОРИЯ ПОТЕИПИАЛА Пуассона (см. связаны с ре- 15.6-!. Введение. Дифференциальные уравнения Лапласа В также п. 5.7-3, 10.4-3 и 10.4-5). Многие важные приложения шепнем Ф (г) линейных уравнений с частными производными: урагкекия Лапласа Га Ф (г) =О, (15.6-1) (!5,6-2) уравнения Пуассона 7з Ф ( г) =- — 4я)',) (г), где Ф(г) и 0(г) — функции точки в трехмерном точечнол! евклндовол! пространстве (г):— .= (х, у, г) = (х', ха, хэ) нли двумерном точечном евклндовом пространстве (г) — (х, у) (х', хэ), Ф (г) часто интерпретируется как пагпснципл 6!эаахргзого аехиюркого шия Р (г) = 7 Ф (г), порождаемого распределением зарялов или ласс, так что 7 Е(г)=4л0(г) (пп.
5.7-2, 5.7-3, 15.6-5). Изучение таких потенциалов и, в частности, решений дифференциального уравненпя Лапласа (1) известно как теория потенциала. !5.6-2. Трехмерная теория потенциала. Классические краевые условия задачи. (а) 3 а да ч а Л и р и х л е, Ограниченная область 17, допускающая ревевие краевой задачи (Дирихле) 79Ф (г)=0 (ге Ъ'), Ф(г)=Ь (г) (г см 5) (15.6. 3) для всякой заданной непрерывной функции Ь (г), натыкается областью Дирихле. Если ранение суп(гсчпз|(ггп, то оно нюбходимо сдикстагнко. Если 1'— неограниченная область, то должно быть указано асимптотическое поведения реп|ение (22) дифференциального уравнения (24) сводится к использованию «функции Неймана» 05(х $)=0(х, $) а (ы В), (15.5-30) решения па бесконечности, скажел|, Ф(г)=0(1(г) (при г со; последнее усхоаие влечет сдикппеснкость решения 9 случае его сущестаоаакия. В п. 15.6.6, б обсуждаются вопросы существования решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
