Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 114
Текст из файла (страница 114)
21.8.1). (15.6-60) (й) Существование функций Г),нна и коиформпые о т о б р а ж е и н я. Из п. 15.6-9,с и теоремы Романа об отображениях п. 7.9-6) слепует существование функции Грина (а отсюда и решения задачи ирихле) для некоторой области О, которая вместе со своей границея ноже~ бьиь отображена конформно на единичный круг, Более то пю, пут>в ю =-ш (г)— аналитическая функция, отображп>ои(ал точки г=х+1у замкнутой облагпш 0 в точки единичного круга так, что точка 9=5+1)1 обласлги 0 переходит в начало, или ш(г)=1 (г на С), ш(4)=0.
(!5.6-54) Тогда задача Дирихле длч области 0 имееп> функцшо Грина 6 (х, у; $, 51) = — 6(г, Т)=1п (15.6-55) !5,6-10, Распространение теории на более общие дифференциальнь>е уравнении. Запаздывающие и опеРежаюЩие пОтенциалы (см. также п. 10»94). Теория пп. 15.6-5, 15.6-7 и 15.6-9 позволяет конструнронать решения уравнения Лапласа и Пуассона посредством суперпозиция точечных и деполь>)ых по>еициалоз. эта теория легно обобщается иа более общие дифференциальные ураанепия 7'Ф+ й»Ф = О, (15.6-56) 72Ф + й»Ф = — 4 ну (г), (!5.6-57) которые включают пространственную форму волнового уравнения (й — денствительно, п.
10.4-4) и пространственную форму уравнений Клейна — Гордона, используемого в ядерной физике (И=(и). Дифференциальное уравнение (57) принадлежит к типу, изученному в п, 15.5-4, Ь. (а) Трех не р и ы й ел у ч а й. Трехмерное уравнение (56) имеег элементарное частное решение ,,— т(5.— ш р, (г — р).= ' (г чь р). (15,6-58) 14.1-4. 1а.!, Введение !6,1. ВВЕДЕНИЕ ~ А' В„=С' й=( л л (1=1, 2, ..., а) как Аг»Вл=С', а также суммы, содержащие векторы: а"ей=а кап айса=а. Х"= 2=1 ГЛАВА 16 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ 16.1-1.
Вводные замечания. В тепзорном исчислении рассматриваются специальные математическис объекты (см. п, 12.1-1), тензоры, задаваемые обычно в каждой точке пространства и меняющиеся от точки к точке. Этн объекты представляют собой, следовательно, функции точки; роль «точен» могут играть элементы различной природы, определяемые системами чисел — координат этих точек, Предполагаетсн, что каждый тензор может быть аналитически окарактеризован упорядоченной системой функций от координат точки (компонент тензора); эти функции могут иыбираться по-разному, но так, чтобы введенные с нх помощью математические соотношения между тензорами не заэкселя от коннретного выбора аналитической характеристики.
Тепэорнал алгебра язляется обобщением теории нектарных прострзнсто (пп. 12Я.! н 14.2-!†!4.2-7), лпнейных элгебр (пп. 12.4-2 н Ы.а-б) н пл представлений (и. 4Х!»2). Тгнэорнмй анализ ззапмзется научением тензороз как функпнй точка (тензорное пале) н применяется з оспозном для описания прострзостзз с кривизной(гл. 17) а н' теорнн поля з фазане. Теьзорные методы часто поззолявт проследить нз отпосптельно простой мзтемзтнческой модена нзмененне сложных колнчестзенных характерлстнк прп переходе от адно» снстемы отсчета к другой. 16.1-2, Системы координат и допустимые преобразования.
Расс»(Отри»1 Мно. июство объектов, которые будем называть точками. Предположим, что каждой точке множества отнесена по определенному правилу упорядоченная система л Ссо действительных чисел хэ, хэ, ..., х" (ее координат), причем точки миажяства взаимно однозначно соответствуют точкам некоторой области а-мерного арифметического пространства переменных 1) х', хэ, ..., х". Преобразование координат («пассивная» точка зрения на формулы преобразования, см. п. !4.1.3), далрстимог в смысле последующего изложения, состоит в том, что каждой точке относятся а новых координат Хэ, Х', ..., Д", связанных следую. шими формулами преобразования с координатами относительно исходной системы: Дае Да(«1, Хэ, ..., Хл) (2=1, 2...,, П). (16.1-1) 3(равнении ()) должны удовлетворять н рассматриваемой области следующим двум требованиям; 1) функции дй (хт, хз, ..., хо~ непрерывно дифференцируемы, 2) якобиан (п.
4.5-5) бе1 (дх / дх') отличен от нуля. Мнозтсамо допустимых лрэобрээтаиий обраэугт группу (о. !2.2-1) отнтитг.био «тмпожепня», т. г. пжггдогатэгзиот гилогнгнил ни«абра»агоний (сн, также и 12.2-з), дкобиан алоиз««у«низ дгул ли«образо«опий иагги ллоиэггдгиию лхобионог этих аогобиаэогаинй. Каждое доньстимог пи«образо»анис (1) имеет гдиигтггиног обратное ар«образо«ание, лхэбиан которого равен обратной гггичилг лхэбиоиа данного ар«образо»аман, 16А-3. Компоненты объектов.
Индексные обозначения. В тензорноы анализе рассматрива)отея объекты, связанные с точками (х», хэ, ..., х") пространства л измерений (а ( со, п. 14.1-2) и представляющие собой фрик)(ии точек (п. 5А-!), определенные в некоторой области пространства. Каждая такая функция, »1 здесь н дальше зерхнне индексы не являются степенямп, обозначим ее с((хт, х', ..., «"), может быть, по предположению, определена (координатное представление объекта О) системой л ю.со скалярных функций 7( (3(71, )з,..., !В! хт, хэ, ... хл) ее компонент (координат) (см. также п.
14, 1-2); мидексы )„ /з, ..., (д пробегают целые значения от 1 до а. В зависимости от пипа объекта (пп. 16.2-1 и 16.2-2) некоторые из индексов записываются в каждой компоненте наверху, другие — внизу. Например, объект С( может определяться агтз компонентами О 1 ! '" '. (х', х', ..., хл), где все индексы приипма1оз г! 12 ... 1» значения от 1 до л. Эти обозначения позволяют сокращенно записать суммы вида Аа(В~С(а=О)й (1, И=), 2, ..., и) как А!.ВаСМ=О „, 1=1»=! Сокращенная запись суммы основааа иа следующих соглашениях: 1, Соглашение о суммировании.
Суммирование от 1 до а производится по каждому немому индексу, встречающемуся дважды, одни раз внизу и один раз наверху. С)боэнэчепне лвбого немого индекса мажет быть изменено, тзк кзк немые индексы «взаимно уничтожаются» прп суммпроззнпн. (П р п ме р: Я™В !а а Я В7 — —.Я Вй,) Прн перечножепнн сумм следует нспользоззть Гззлнчнье заденем гул~нарезаная, 2.
Соглтиеиие а ранге. Все свободные индексы, встречающиеся только внизу или только наиерху, пробегают зяачення от 1 до и, так что уравнение с )с свободными индексами является сокращенной записью л" уравнении: Кзк перхнне, тзк н нпжнпе индексы ш рззлпчныа частей урззнення должны совпадать. 3. В ароизподных вида да((дха индекс й считаптсл нижним. В настоящей главе немые индексы в соответствии с соглашениамя 1), 2) всегда используются для обозиаченив суммировании. Так, выражения вида А(аВ» следует рассматривать как суммы, если специально не оговорено про- тивное, например А("Ва (не суммировать!). Во многнх прнложеппях надексные обознзчення окззмзавтся более сонертенпымн, чем мзтрпчззя азпнсь, использованная о гл.
12 (см. табл, 14.7-1 для срззпенпя обоз- нзченнй). !6П-4. Системы отсчета и индуцнрованные преобразояамнв. Геометрические объекты (см. также пп. 14.1-3 и 16.2-1). Рассмотрим класс объектов, являю- щихся фуннциямн точки.,Говорят, что для этого класса пли для множества нлассов задана система отсчета (координатная система), если каждому объекту по некоторому правилу соответстиует (взаимно однозначно) система лействп. тельных чисел — компонент (координат) объекта.
Каждый объект должен определяться зо всех снстемзх отсчета одним н тем же числом компонент. В фнзнке знзчеппе каждой компоненты предстэвляет собой обычно Ре»Ультат 4»нзпческого пзмеРенна. 497 16.2-1. Компоненты в системе «оординат хэ,хз,...,. Компоненты в системе «оординат х(,к,...,х Тнп теп«орной величины 1 Лбсолготный скаляр (теньер ранга 0) (И == г = з =-.—.
6) 2, Абсолютный «онтранарнэитный не«тор а (П=г=), 5=0) а(х), «э, ...,х")= =а (хэ хэ .... хл) дх 1 -ь о = —.и длг а («1, кз...,, х ) а (.«1, х, ..., х") а.(хэ, э, ..., лл) А'» (х'. х', ..., хл) дх' еь — а дхь А = — — А — !Ь дх) дх" Ы дл( дкэ дх' дк Ауз = =„= '4 дх! дх ' А ° («1, хэ,, ° ., х ) А( (хэ хз «л) — ) дх) дх 1 А) — — — А дк! дтз и дх йз= -„.а(. дх (16.2-3) (16.2-1) 496 ГЛ. 16. ТЕНЗОРНЛЯ ЛЛГЕБРЛ И ТЕНЗОРНЫИ ЛНЛЛИЗ !6.2-1.
Полезно считать, чпю с каждой системой координат х', хэ, ..., хл связана саоя система огпсчета (система отсчета х). Тогда компоненты 12 О.'' г(х', хэ, ..., хч) объекта С((х), х', ..., хи) в системе отсчета х и иом- 1,'1,' ... 1,' Ь1ат ' " йг поненты (3 ' ' Г(х', х', ..., х") того же объекта в системе отсчета х сзяЬ1эз "' йэ зины иидуцироваииым преобразованием Оа)ьэ'" ьг ( -1 хз хл) ь!ьз - ьэ = О ' ', " ф1'" 1(х', хэ, ..., х"), ..., О'„'„л'" л"(х1, х', ..., х")1, (16.1-2) 1 2'" которое порождается каждым допустимым преобразованием координат (1). Класс С объектов О («1, хэ, "° хл), определяемых в системе отсчета х скалярными 11«2 - гг компонеитамя () °: («1, хэ „,, хл), назмвается «лассом инвариантны«нли геоме- 1!!2 ...
гз трическн«обье«тов (иногда назмзаемык тенэорамн в наиболее широком смысле слова>, ег«и матгмити«еское гаойстэа ебьектое этого к«асса логам быть ол«саны э терминах олграиий, не эаэислщик ет системы отмета (см. также пп. !2.!.1 и 16.4-1) Это значит, что индуцироваиные преобразования (2) следующим образом связаны с операцнимп, заданнымн а С: 1. Соответствие между допустнмымн преобразованиями координат (1) и соответствующими нидуцнрованными преобразованиями (2] есть гомомор- 6«изм (и.
12.1-6), сохраняющий произведение дву«индуцироваяяы«преобразований. 2. Каждое индуцированное преобразование является нзоморфнэмом, со«раняющзм операции, определенные э С (см. также а. !6.4.1). Если апре. велены операции, связывающие элементы дауа нли более классов С,, С„... (аапример, скзляры и векторы), то оии также со«рааяютса при преобразования«, нндуцярованиык в фф... Можно рассматривать также классы объектов, инвариантны« лишь относительно подгруппы множества допустимык преобразований (п.
12.2-6). )ВСЕ АЕСОЛЮТНЫЕ (ИСТИННЫЕ) ТЕНЗОРЫ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ (ПСЕВДОТЕНЗОРЫ) 16.2-1. Определение абсолютных н относительных теиэоров, основанное иа законе преобразования нх компонент (см. также табл. 16.2-1 и п. 6.3-3). В настоящем справочнике, а также в большинстее приложений рассматриба«отся действительные (аба)л)отиыг или относитгльныс) тензоры, т. г. тгпэоры с дгйсташпсльными компокгнталш. В основу определения тензора можно положить соотношения, связывающие компоненты Тензорп в различных каор. дипатных системах, При переходе ал) одной координатной системы к другой компоненты тгь юра пэдэгргаютгл липсииаму однородному пргобраэоаанию (4) или (6), различному для абсолютнык или относительных тспэороа различного типа; тип тент)ра определяется законом лргобуаэозанил его компонект, Если задано пространство точек (хг, х'-, ..., хв) и группа допустимых преобразований координат (16.1-2), то 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
